Замкнутая моноидальная категория

В математике , особенно в теории категорий , закрытая моноидальная категория (или моноидальная закрытая категория ) — это категория , которая является одновременно моноидальной категорией и закрытой категорией таким образом, что структуры совместимы.

Классическим примером является категория множеств Set , где моноидальное произведение множеств $A$ и $B$ это обычное декартово произведение $A\times B$ и внутренний Hom $B^{A}$ представляет собой набор функций из $A$ к $B$ . Недекартовым категория примером является векторных пространств K - Vect над полем. $K$ . Здесь моноидальное произведение — это обычное тензорное произведение векторных пространств , а внутреннее Hom — векторное пространство линейных отображений из одного векторного пространства в другое.

Внутренний язык замкнутых симметричных моноидальных категорий — линейная логика , а система типов — система линейных типов . Многие примеры замкнутых моноидальных категорий симметричны . можно встретить несимметричные моноидальные категории Однако это не всегда так, поскольку в теоретико-категорных формулировках лингвистики ; грубо говоря, это потому, что порядок слов в естественном языке имеет значение.

Определение

— Замкнутая моноидальная категория это моноидальная категория. ${\mathcal {C}}$ такой, что для каждого объекта $B$ функтор , заданный правым тензором с $B$

A\mapsto A\otimes B

имеет право сопряженное , записанное

A\mapsto (B\Rightarrow A).

существует биекция, называемая « каррированием ». Это означает, что между Hom-множествами

{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)

это естественно как для A так и для C. , В других, но общепринятых обозначениях можно было бы сказать, что функтор

-\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}

имеет правый сопряженный

[B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}

Эквивалентно, закрытая моноидальная категория ${\mathcal {C}}$ категория, оснащенная для каждых двух A и B объектов

объект $A\Rightarrow B$ ,
морфизм $\mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B$ ,

удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любого морфизма

f:X\otimes A\to B

существует единственный морфизм

h:X\to A\Rightarrow B

такой, что

f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).

Это можно показать ^{[ нужна ссылка ]} что эта конструкция определяет функтор $\Rightarrow :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ . Этот функтор называется внутренним функтором Hom , а объект $A\Rightarrow B$ называется Hom внутренним $A$ и $B$ . Для внутреннего Hom обычно используются многие другие обозначения. Когда тензорное произведение на ${\mathcal {C}}$ – декартово произведение, обычное обозначение $B^{A}$ и этот объект называется экспоненциальным объектом .

Бизамкнутые и симметричные категории

Строго говоря, мы определили правозамкнутую моноидальную категорию, поскольку нам требовалось правое тензорирование с любым объектом $A$ имеет правый сопряженный. В левозамкнутой моноидальной категории вместо этого мы требуем, чтобы функтор левого тензорирования с любым объектом $A$

B\mapsto A\otimes B

иметь правый сопряженный

B\mapsto (B\Leftarrow A)

Бизамкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, замкнутая как слева, так и справа.

Симметричная моноидальная категория замкнута слева тогда и только тогда, когда она замкнута справа. Таким образом, мы можем смело говорить о «симметричной моноидальной замкнутой категории», не уточняя, замкнута ли она слева или справа. Фактически, то же самое верно и в более общем плане для сплетенных моноидальных категорий : поскольку сплетение делает $A\otimes B$ естественно изоморфен $B\otimes A$ , различие между тензоризацией слева и тензоризацией справа становится несущественным, поэтому каждая замкнутая справа сплетенная моноидальная категория становится замкнутой слева каноническим образом, и наоборот.

Мы описали закрытые моноидальные категории как моноидальные категории с дополнительным свойством. Эквивалентно можно определить закрытую моноидальную категорию как закрытую категорию с дополнительным свойством. А именно, мы можем потребовать существования тензорного произведения , левого сопряженного с внутренним функтором Hom .В этом подходе закрытые моноидальные категории также называются моноидальными закрытыми категориями . ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры

Каждая декартова замкнутая категория является симметричной моноидальной закрытой категорией, когда моноидальная структура является декартовой структурой произведения. Внутренний функтор Hom задается экспоненциальным объектом $B^{A}$ $B^{A}$ .
- частности, категория множеств Set В является симметричной замкнутой моноидальной категорией. Здесь внутренний Hom $A\Rightarrow B$ это просто набор функций из $A$ к $B$ .
Категория модулей R - Mod над коммутативным кольцом R является недекартовой, симметричной, моноидальной замкнутой категорией. Моноидальное произведение задается тензорным произведением модулей и внутренним Hom $M\Rightarrow N$ $M\Rightarrow N$ задается пространством R -линейных отображений $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ с его естественной структурой R -модуля.
- В частности, категория векторных пространств над полем $K$ является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
- Абелевы группы можно рассматривать как Z -модули, поэтому категория абелевых групп также является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
Симметричная компактная замкнутая категория — это симметричная моноидальная замкнутая категория, в которой внутренний функтор Hom $A\Rightarrow B$ дается $A^{*}\otimes B$ . Каноническим примером является категория конечномерных векторных пространств FdVect .

Контрпримеры

Категория колец — симметричная моноидальная категория относительно тензорного произведения колец с $\mathbb {Z}$ выступающий в качестве единичного объекта. Данная категория не является закрытой. Если бы это было так, между любой парой колец был бы ровно один гомоморфизм: $\operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}$ . для категории R - алгебр над коммутативным кольцом R. То же самое справедливо и

См. также

Сопряжение Исбелла

Ссылки

Келли, генеральный директор (1982). Основные понятия расширенной теории категорий (PDF) . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 64. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-28702-9 . OCLC 1015056596 .
Мельес, Поль-Андре (2009). «Категорическая семантика линейной логики» (PDF) . Обзоры и синтезы . 27 : 1–197. CiteSeerX 10.1.1.62.5117 .
Закрытая моноидальная категория в n Lab