Двойственность Исбелла

Сопряжение Исбелла (также известное как двойственность Исбелла или присоединение Исбелла ) (названо в честь Джона Р. Исбелла ) — это фундаментальная конструкция расширенной теории категорий, формально представленная Уильямом Лоувером в 1986 году. Это двойственность между ковариантными и контравариантными представимыми предпучками, связанными с объектами категорий при вложении Йонеды. Кроме того, Ловер (1986 , стр. 169) говорит то же самое; «Тогда сопряжения являются первым шагом к выражению фундаментальной для математики двойственности между пространством и количеством».

Определение

Встраивание Йонеды

(Ковариантное) вложение Йонеды — это ковариантный функтор из небольшой категории. ${\mathcal {A}}$ в категорию предшкивов $\left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]$ на ${\mathcal {A}}$, принимая $X\in {\mathcal {A}}$ контравариантному представимому функтору :

$Y\;(h^{\bullet }):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]$

$X\mapsto \mathrm {hom} (-,X).$

и вложение Ко-Йонеды (также известное как контравариантное вложение Йонеды или двойное вложение Йонеды ) — контравариантный функтор (ковариантный функтор противоположной категории) из малой категории ${\mathcal {A}}$ в категорию сопредшкивов $\left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}$ на ${\mathcal {A}}$, принимая $X\in {\mathcal {A}}$ к ковариантному представимому функтору:

$Z\;({h_{\bullet }}^{op}):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}$

$X\mapsto \mathrm {hom} (X,-).$

Каждый функтор $F\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}$ имеет сопряжение Исбелла $F^{\ast }\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}$, заданный

$F^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (F,y(X)).$

Напротив, каждый функтор $G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}$ имеет сопряжение Исбелла $G^{\ast }\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}$ данный

$G^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (z(X),G).$

Двойственность Исбелла

Происхождение символов ${\mathcal {O}}$ и $\mathrm {Spec}$: Ловере (1986 , стр. 169) говорит это; " ${\mathcal {O}}$"сопоставляет каждому общему пространству алгебру функций на нем, тогда как " $\mathrm {Spec}$«сопоставляет каждой алгебре свой «спектр», который представляет собой общее пространство.

примечание: для того, чтобы эта коммутативная диаграмма сохранялась, необходимо, чтобы E было кополным.

Дуальность Исбелла — это взаимосвязь между вложением Йонеды и вложением ко-Йонеды;

Позволять ${\mathcal {V}}$ — симметричная моноидальная замкнутая категория и пусть ${\mathcal {A}}$ быть небольшой категорией, обогащенной ${\mathcal {V}}$.

— Двойственность Исбелла это соединение категорий; $\left({\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec} \right)\colon \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]{\underset {\mathrm {Spec} }{\overset {\mathcal {O}}{\rightleftarrows }}}\left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}$.

Функторы ${\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec}$ дуальности Исбелла таковы, что ${\mathcal {O}}\cong \mathrm {Lan_{Y}Z}$ и $\mathrm {Spec} \cong \mathrm {Lan_{Z}Y}$.

См. также

• Может расширение
• Предел (теория категорий)

Библиография

• Эйвери, Том; Ленстер, Том (2021), «Сопряженность Исбелла и рефлексивное пополнение» (PDF) , Теория и применение категорий , 36 : 306–347, arXiv : 2102.08290
• Баэз, Джон К. (2022), «Двойственность Исбелла» (PDF) , Notes Amer. Математика. Соц. , 70 : 140–141, arXiv : 2212.11079
• Дэй, Брайан Дж.; Лэк, Стивен (2007), «Пределы малых функторов», Журнал чистой и прикладной алгебры , 210 (3): 651–663, arXiv : math/0610439 , doi : 10.1016/j.jpaa.2006.10.019 , MR   2324597 , S2CID   15424936 .
• Ди Либерти, Иван (2020), «Кодовая плотность: двойственность Исбелла, прообъекты, компактность и доступность», Журнал чистой и прикладной алгебры , 224 (10), arXiv : 1910.01014 , doi : 10.1016/j.jpaa.2020.106379 , S2CID   203626566
• Фоско, Лорегиан (22 июля 2021 г.), (Co)end Calculus , Cambridge University Press, arXiv : 1501.02503 , doi : 10.1017/9781108778657 , ISBN  9781108746120 , S2CID   237839003
• Гутьеррес, Гонсалу; Хофманн, Дирк (2013), «Приближение к метрическим областям», Прикладные категориальные структуры , 21 (6): 617–650, arXiv : 1103.4744 , doi : 10.1007/s10485-011-9274-z , S2CID   254225188
• Шен, Лили; Чжан, Дексю (2013), «Категории, обогащенные кванталоидом: дополнения Исбелла и дополнения Кана» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 (20): 577–615, arXiv : 1307.5625
• Исбелл, младший (1960), «Адекватные подкатегории», Illinois Journal of Mathematics , 4 (4), doi : 10.1215/ijm/1255456274
• Исбелл, Джон Р. (1966), «Структура категорий», Бюллетень Американского математического общества , 72 (4): 619–656, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11541-0 , S2CID   40822693
• Келли, Грегори Максвелл (1982), Основные понятия расширенной теории категорий (PDF) , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 64, Издательство Кембриджского университета, Кембридж-Нью-Йорк, ISBN  0-521-28702-2 , МР   0651714 .
• Ловер, Ф.В. (1986), «Серьезное отношение к категориям» , Колумбийский журнал математики , 20 (3–4): 147–178, MR   0948965
  • Ловер, FW (2005), «Серьезное отношение к категориям» (PDF) , Отпечатки в теории и применении категорий (8): 1–24, MR   0948965
• Ловер, Ф. Уильям (февраль 2016 г.), «Теорема Биркгофа с геометрической точки зрения: простой пример» , Категории и общие алгебраические структуры с приложениями , 4 (1): 1–8
• Мельес, Поль-Андре; Зейлбергер, Ноам (2018), «Теорема двойственности Исбелла для систем уточнения типов», Mathematical Structures in Computer Science , 28 (6): 736–774, arXiv : 1501.05115 , doi : 10.1017/S0960129517000068 , S2CID   2716529
• Рил, Эмили (2016), Теория категорий в контексте , Dover Publications, Inc Mineola, Нью-Йорк, ISBN  9780486809038
• Руттен, JJMM (1998), «Весовые копределы и формальные шары в обобщенных метрических пространствах», Топология и ее приложения , 89 (1–2): 179–202, doi : 10.1016/S0166-8641(97)00224-1
• Штурц, Кирк (2018), «Факторизация монады Жири», Успехи в математике , 340 : 76–105, arXiv : 1707.00488 , doi : 10.1016/j.aim.2018.10.007
  • Штурц, К. (2019). «Ошибка и дополнение: факторизация монады Жири». arXiv : 1907.00372 [ math.CT ].
• Пратт, Воган (1996), «Расширение денотационной семантики линейной логики», Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 3 : 155–166, doi : 10.1016/S1571-0661(05)80415-3
• Вуд, Р.Дж. (1982), «Некоторые замечания по общим категориям», Journal of Algebra , 75 (2): 538–545, doi : 10.1016/0021-8693(82)90055-2
• Уиллертон, Саймон (2013), «Узкие пролеты, пополнения Исбелла и полутропические модули» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 (22): 696–732, arXiv : 1302.4370
• Имамура, Юки (2022), «Расширенные категории Гротендика», Прикладные категориальные структуры , 30 (5): 1017–1041, arXiv : 2105.05108 , doi : 10.1007/s10485-022-09681-1

Внешние ссылки

• Лорегиан, Фоско (2018), «Расширения Кана» (PDF) , Tetrapharmakon.github.io
• Ди Либерти, Иван; Лорегиан, Фоско (2019). «О единстве теорий формальных категорий». arXiv : 1901.01594 [ мат.CT ].
• Сорокин, Алекс (2022), Производные профунторы , Бостон, Массачусетс: Северо-Восточный университет, doi : 10.17760/D20467288 , hdl : 2047/D20467288
• Валанс, Арно (2017), Очерк междисциплинарной геометро-алгебраической двойственности: двойственность Исбелла , диссертация по философии - изучению систем под совместным руководством, защищена 30 мая 2017 г. (PDF)
• Старр, Джейсон (2020), «Некоторые заметки по теории категорий в алгебраической геометрии MAT 589» (PDF) , math.stonybrook.edu
• «Дуальность Исбелла» , ncatlab.org
• «Пространство и количество» , ncatlab.org
• «Встраивание Йонеды» , ncatlab.org
• «Лемма Ко-Йонеды» , ncatlab.org
• «Копресноп» , ncatlab.org
• «Естественные преобразования и предпучки: замечание 1.28. (предпучки как обобщенные пространства)» , ncatlab.org
• «Противоположные функторы» , ncatlab.org.