Двойственность Исбелла
Сопряжение Исбелла (также известное как двойственность Исбелла или присоединение Исбелла ) (названо в честь Джона Р. Исбелла [1] [2] ) — это фундаментальная конструкция расширенной теории категорий, формально представленная Уильямом Лоувером в 1986 году. [3] [4] Это двойственность между ковариантными и контравариантными представимыми предпучками, связанными с объектами категорий при вложении Йонеды. [5] [6] Кроме того, Ловер (1986 , стр. 169) говорит то же самое; «Тогда сопряжения являются первым шагом к выражению фундаментальной для математики двойственности между пространством и количеством». [7]
Определение [ править ]
Встраивание Йонеды [ править ]
(Ковариантное) вложение Йонеды — это ковариантный функтор из небольшой категории. в категорию предшкивов на , принимая контравариантному представимому функтору : [1] [8] [9]
и вложение Ко-Йонеды [1] [10] [8] [11] (также известное как контравариантное вложение Йонеды [12] [примечание 1] или двойное вложение Йонеды [17] ) — контравариантный функтор (ковариантный функтор противоположной категории) из малой категории в категорию сопредшкивов на , принимая к ковариантному представимому функтору:
Каждый функтор имеет сопряжение Исбелла [1] , заданный
Напротив, каждый функтор имеет сопряжение Исбелла [1] данный
Двойственность Исбелла [ править ]
Дуальность Исбелла — это взаимосвязь между вложением Йонеды и вложением ко-Йонеды;
Позволять — симметричная моноидальная замкнутая категория и пусть быть небольшой категорией, обогащенной .
— Двойственность Исбелла это соединение категорий; . [3] [1] [22] [23] [10] [24]
Функторы дуальности Исбелла таковы, что и . [22] [25] [примечание 2]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж ( Баэз 2022 )
- ^ ( Di Liberti 2020 , 2. Двойственность Исбелла)
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б ( Ловере 1986 , стр. 169)
- ^ ( Маршрут 1998 г. )
- ^ ( Меллиес и Зейльбергер 2018 )
- ^ ( Виллертон 2013 )
- ^ ( Пространство и количество в nlab )
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б ( встраивание Йонеды в nlab )
- ^ ( Валенсия 2017 , Следствие 2)
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б ( Двойственность Исбелла в nlab )
- ^ ( Валенсия 2017 , Определение 67)
- ^ ( В Liberti & Loregian 2019 , определение 5.12)
- ^ ( Риль 2016 , Теорема 3.4.6.)
- ^ ( Старр 2020 , Пример 4.7.)
- ^ ( Противоположные функторы в nlab )
- ^ ( Пратт 1996 , §.4 Симметризация вложения Йонеды)
- ^ ( Day & Lack 2007 , §9. Сопряжение Исбелла)
- ^ ( Di Liberti 2020 , Замечание 2.3 (Конструкция (ко) нерва).)
- ^ ( Келли 1982 , Предложение 4.33)
- ^ ( Риль 2016 , Замечание 6.5.9.)
- ^ ( Имамура 2022 , Теорема 2.4)
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б ( Ди Либерти 2020 , Примечание 2.4)
- ^ ( Фоско 2021 )
- ^ ( Валенсия 2017 , Определение 68)
- ^ ( Ди Либерти и Лорегиан, 2019 , Лемма 5.13.)
Библиография [ править ]
- Эйвери, Том; Ленстер, Том (2021), «Сопряженность Исбелла и рефлексивное пополнение» (PDF) , Теория и применение категорий , 36 : 306–347, arXiv : 2102.08290
- Баэз, Джон К. (2022), «Двойственность Исбелла» (PDF) , Notes Amer. Математика. Соц. , 70 : 140–141, arXiv : 2212.11079
- Дэй, Брайан Дж.; Лэк, Стивен (2007), «Пределы малых функторов», Журнал чистой и прикладной алгебры , 210 (3): 651–663, arXiv : math/0610439 , doi : 10.1016/j.jpaa.2006.10.019 , MR 2324597 , S2CID 15424936 .
- Ди Либерти, Иван (2020), «Кодовая плотность: двойственность Исбелла, прообъекты, компактность и доступность», Журнал чистой и прикладной алгебры , 224 (10), arXiv : 1910.01014 , doi : 10.1016/j.jpaa.2020.106379 , S2CID 203626566
- Фоско, Лорегиан (22 июля 2021 г.), (Co)end Calculus , Cambridge University Press, arXiv : 1501.02503 , doi : 10.1017/9781108778657 , ISBN 9781108746120 , S2CID 237839003
- Гутьеррес, Гонсалу; Хофманн, Дирк (2013), «Приближение к метрическим областям», Прикладные категориальные структуры , 21 (6): 617–650, arXiv : 1103.4744 , doi : 10.1007/s10485-011-9274-z , S2CID 254225188
- Шен, Лили; Чжан, Дексю (2013), «Категории, обогащенные кванталоидом: дополнения Исбелла и дополнения Кана» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 (20): 577–615, arXiv : 1307.5625
- Исбелл, младший (1960), «Адекватные подкатегории», Illinois Journal of Mathematics , 4 (4), doi : 10.1215/ijm/1255456274
- Исбелл, Джон Р. (1966), «Структура категорий», Бюллетень Американского математического общества , 72 (4): 619–656, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11541-0 , S2CID 40822693
- Келли, Грегори Максвелл (1982), Основные понятия расширенной теории категорий (PDF) , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 64, Издательство Кембриджского университета, Кембридж-Нью-Йорк, ISBN 0-521-28702-2 , МР 0651714 . [ нужна страница ]
- Ловер, Ф.В. (1986), «Серьезное отношение к категориям» , Колумбийский журнал математики , 20 (3–4): 147–178, MR 0948965
- Ловер, FW (2005), «Серьезное отношение к категориям» (PDF) , Отпечатки в теории и применении категорий (8): 1–24, MR 0948965
- Ловер, Ф. Уильям (февраль 2016 г.), «Теорема Биркгофа с геометрической точки зрения: простой пример» , Категории и общие алгебраические структуры с приложениями , 4 (1): 1–8
- Мельес, Поль-Андре; Зейлбергер, Ноам (2018), «Теорема двойственности Исбелла для систем уточнения типов», Mathematical Structures in Computer Science , 28 (6): 736–774, arXiv : 1501.05115 , doi : 10.1017/S0960129517000068 , S2CID 2716529
- Рил, Эмили (2016), Теория категорий в контексте , Dover Publications, Inc Mineola, Нью-Йорк, ISBN 9780486809038
- Руттен, JJMM (1998), «Весовые копределы и формальные шары в обобщенных метрических пространствах», Топология и ее приложения , 89 (1–2): 179–202, doi : 10.1016/S0166-8641(97)00224-1
- Штурц, Кирк (2018), «Факторизация монады Жири», Успехи в математике , 340 : 76–105, arXiv : 1707.00488 , doi : 10.1016/j.aim.2018.10.007
- Штурц, К. (2019). «Ошибка и дополнение: факторизация монады Жири». arXiv : 1907.00372 [ math.CT ].
- Пратт, Воган (1996), «Расширение денотационной семантики линейной логики», Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 3 : 155–166, doi : 10.1016/S1571-0661(05)80415-3
- Вуд, Р.Дж. (1982), «Некоторые замечания по общим категориям», Journal of Algebra , 75 (2): 538–545, doi : 10.1016/0021-8693(82)90055-2
- Уиллертон, Саймон (2013), «Узкие пролеты, пополнения Исбелла и полутропические модули» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 (22): 696–732, arXiv : 1302.4370
- Имамура, Юки (2022), «Расширенные категории Гротендика», Прикладные категориальные структуры , 30 (5): 1017–1041, arXiv : 2105.05108 , doi : 10.1007/s10485-022-09681-1
Сноска [ править ]
- ^ Обратите внимание: контравариантное вложение Йонеды, описанное в статье, заменяется категорией, противоположной как для домена, так и для кодомена, по сравнению с категорией, написанной в учебнике. [13] См. противоположный функтор . [14] [15] Кроме того, эта пара вложений Йонеды вместе называется двумя вложениями Йонеды. [16]
- ^ Символ Lan см. в левом расширении Kan .
Внешние ссылки [ править ]
- Лорегиан, Фоско (2018), «Расширения Кана» (PDF) , Tetrapharmakon.github.io
- Ди Либерти, Иван; Лорегиан, Фоско (2019). «О единстве теорий формальных категорий». arXiv : 1901.01594 [ мат.CT ].
- Сорокин, Алекс (2022), Производные профунторы , Бостон, Массачусетс: Северо-Восточный университет, doi : 10.17760/D20467288 , hdl : 2047/D20467288
- Валанс, Арно (2017), Очерк междисциплинарной геометро-алгебраической двойственности: двойственность Исбелла , диссертация по философии - изучению систем под совместным руководством, защищена 30 мая 2017 г. (PDF)
- Старр, Джейсон (2020), «Некоторые заметки по теории категорий в алгебраической геометрии MAT 589» (PDF) , math.stonybrook.edu
- «Дуальность Исбелла» , ncatlab.org
- «Пространство и количество» , ncatlab.org
- «Встраивание Йонеды» , ncatlab.org
- «Лемма Ко-Йонеды» , ncatlab.org
- «Копресноп» , ncatlab.org
- «Естественные преобразования и предпучки: замечание 1.28. (предпучки как обобщенные пространства)» , ncatlab.org
- «Противоположные функторы» , ncatlab.org.