Jump to content

Внешняя ковариантная производная

В математической области дифференциальной геометрии внешняя ковариантная производная является расширением понятия внешней производной на случай дифференцируемого главного расслоения или векторного расслоения со связностью .

Определение

[ редактировать ]

Пусть G группа Ли и P M главное G -расслоение на гладком M. многообразии имеется соединение Предположим, что на P ; это дает естественное разложение в прямую сумму каждого касательного пространства на горизонтальное и вертикальное подпространства. Позволять — проекция на горизонтальное подпространство.

Если φ k -форма на P со значениями в векторном пространстве V , то её внешняя ковариантная производная — это форма, определенная формулой

где v i — касательные векторы к P в точке u .

Предположим, что G GL ( V ) представление G : в векторном пространстве V. ρ Если φ эквивариантен что в том смысле,

где , то является тензорной ( k + 1) -формой на P типа ρ : она эквивариантна и горизонтальна (форма ψ горизонтальна, если ψ ( v 0 , ..., v k ) = ψ ( hv 0 , ..., хв к ) .)

Злоупотребляя обозначениями , дифференциал ρ в единичном элементе можно снова обозначить через ρ :

Позволять быть связью одноформной и представление связи в То есть, это -значная форма , исчезающая на горизонтальном подпространстве. Если φ — тензорная k -форма типа ρ , то

[1]

где, следуя обозначениям в дифференциальной форме со значениями алгебры Ли § Операции , мы написали

В отличие от обычной внешней производной , которая приводится в квадрат 0, внешняя ковариантная производная этого не делает. имеем φ В общем случае для тензорной нулевой формы

[2]

где F = ρ (Ω) — представление [ нужны разъяснения ] в Ω двуформы кривизны . Форму F иногда называют тензором напряженности поля по аналогии с той ролью, которую она играет в электромагнетизме . Обратите внимание, что Д 2 исчезает для плоской связности (т.е. когда Ω = 0 ).

Если ρ : G → GL( R н ) , то можно написать

где — матрица с 1 в ( i , j ) -й записи и нулем в остальных записях. Матрица элементы которого являются 2-формами на P, называется матрицей кривизны .

Для векторных расслоений

[ редактировать ]

Учитывая гладкое вещественное векторное расслоение E M со связностью и рангом r , внешняя ковариантная производная представляет собой вещественно-линейное отображение векторнозначных дифференциальных форм , которые оцениваются в E :

Ковариантная производная является таким отображением для k = 0 . Внешние ковариантные производные расширяют это отображение до общего k . Существует несколько эквивалентных способов определения этого объекта:

  • [3] Предположим, что векторнозначная дифференциальная 2-форма рассматривается как присваивающая каждому p полилинейное отображение s p : T p M × T p M E p , которое полностью антисимметрично. Тогда внешняя ковариантная производная d s сопоставляет каждому p полилинейное отображение T p M × T p M × T p M E p, заданное формулой
где x 1 , x 2 , x 3 — произвольные касательные векторы в точке p, которые продолжаются до гладких локально определенных векторных полей X 1 , X 2 X 3 . Правомерность этого определения зависит от того, что приведенное выше выражение зависит только от x 1 , x 2 , x 3 , а не от выбора расширения. Это можно проверить с помощью правила Лейбница для ковариантного дифференцирования и для скобки Ли векторных полей . Схема, установленная в приведенной выше формуле в случае k = 2, может быть непосредственно расширена для определения внешней ковариантной производной для произвольного k .
  • [4] Внешняя ковариантная производная может быть охарактеризована аксиоматическим свойством определения для каждого k вещественно-линейного отображения Ω к ( М , Е ) → Ом к + 1 ( M , E ), которая при k = 0 является ковариантной производной и в общем случае удовлетворяет правилу Лейбница
для любой дифференциальной k -формы ω и любой векторной формы s . Это также можно рассматривать как прямое индуктивное определение. Например, для любой векторнозначной дифференциальной 1-формы s и любого локального репера e 1 , ..., e r векторного расслоения координаты s являются локально определенными дифференциальными 1-формами ω 1 , ..., ω р . Тогда приведенная выше индуктивная формула говорит, что [5]
Для того, чтобы это было законным определением d s , необходимо убедиться, что выбор локального кадра не имеет значения. Это можно проверить, рассмотрев второй локальный кадр, полученный с помощью произвольной матрицы смены базиса; обеспечивает обратная матрица матрицу замены базиса для 1-форм ω 1 , ..., ω r . При подстановке в приведенную выше формулу правило Лейбница, примененное к стандартной внешней производной и ковариантной производной ∇, отменяет произвольный выбор.
  • [6] Векторнозначную дифференциальную 2-форму s можно рассматривать как некоторый набор функций s а ij, присвоенный произвольной локальной системе координат E над локальной координатной картой M . Тогда внешняя ковариантная производная определяется как заданная функциями
Тот факт, что это определяет тензорное поле со значением в E, является прямым следствием того же факта для ковариантной производной. Дополнительный факт, что это дифференциальная 3-форма со значением в E, утверждает полную антисимметрию в i , j , k и непосредственно проверяется из приведенной выше формулы и контекстуального предположения, что s является векторнозначной дифференциальной 2-формой, так что это а ij = − s а джи . Схема этого определения внешней ковариантной производной для k = 2 может быть непосредственно распространена на большие значения k .
Альтернативно это определение может быть выражено в терминах произвольной локальной системы отсчета E, без учета координат на M. но Тогда векторнозначная дифференциальная 2-форма выражается дифференциальными 2-формами s 1 , ..., с р а связь выражается связностью 1-форм, кососимметричной r × r- матрицей дифференциальных 1-форм θ α б . Внешняя ковариантная производная s как векторнозначной дифференциальной 3-формы выражается относительно локальной системы отсчета с помощью r множества дифференциальных 3-форм, определяемых формулой

В случае тривиального вещественного расслоения ℝ × M M с его стандартной связностью векторнозначные дифференциальные формы и дифференциальные формы естественным образом отождествляются друг с другом, и каждое из приведенных выше определений совпадает со стандартной внешней производной .

Учитывая главный расслоение, любое линейное представление структурной группы определяет ассоциированный расслоение , и любое соединение в главном расслоении индуцирует соединение в ассоциированном векторном расслоении. Дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении естественным образом можно отождествить с вполне антисимметричными тензорными формами на всем пространстве главного расслоения. При таком отождествлении понятия внешней ковариантной производной для главного расслоения и векторного расслоения совпадают. [7]

Кривизну связности векторного расслоения можно определить как композицию двух внешних ковариантных производных Ω. 0 ( М , Е ) → Ом 1 ( M , E ) и Ω 1 ( М , Е ) → Ом 2 ( M , E ) , так что оно определяется как вещественно-линейное отображение F : Ω 0 ( М , Е ) → Ом 2 ( МНЕ ) . Это фундаментальный, но не очевидный факт, что F ( s ) p : T p M × T p M E p зависит только от s ( p ) и делает это линейно. Таким образом, кривизну можно рассматривать как элемент Ω 2 ( М , Конец( Е )) . В зависимости от того, как формулируется внешняя ковариантная производная, могут быть получены различные альтернативные, но эквивалентные определения кривизны (некоторые без языка внешнего дифференцирования).

Хорошо известен факт, что композиция стандартной внешней производной с самой собой равна нулю: d ( d ω) = 0 . В данном контексте это можно рассматривать как утверждение о том, что стандартная связность на тривиальном линейном расслоении ℝ × M M имеет нулевую кривизну.

  • Второе тождество Бьянки , которое гласит, что внешняя ковариантная производная Ω равна нулю (т. е. D Ω = 0 ), можно сформулировать как: .

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Если k = 0 , то, написав для фундаментального векторного поля (т.е. вертикального векторного поля), порожденного X в на P имеем:
    ,
    поскольку φ ( гу ) = ρ ( грамм −1 ) φ ( ты ) . С другой стороны, ( X # ) = 0 . Если X — горизонтальный касательный вектор, то и . В общем случае, пусть X i будут касательными векторами к P в некоторой точке, причем некоторые из X i горизонтальны, а остальные вертикальны. Если X i вертикально, мы думаем о нем как об элементе алгебры Ли, а затем отождествляем его с порожденным им фундаментальным векторным полем. Если X i горизонтально, мы заменяем его горизонтальным подъемом векторного поля, расширяющим движение вперед π X i . Таким образом, мы расширили X i до векторных полей. Обратите внимание, что расширение таково, что мы имеем: [ X i , X j ] = 0, если X i горизонтально, а X j вертикально. Наконец, по инвариантной формуле для внешней производной имеем:
    ,
    который .
  2. ^ Доказательство: поскольку ρ действует на постоянную часть ω , он коммутирует с d и, следовательно,
    .
    Тогда, согласно примеру в дифференциальной форме со значениями алгебры Ли § Операции ,
    который по структурному уравнению Э. Картана .
  3. ^ Бесс 1987 , раздел 1.12; Коларж, Михор и Словак 1993 , раздел 11.13.
  4. ^ Дональдсон и Кронхаймер 1990 , с. 35; Эгучи, Гилки и Хэнсон 1980 , с. 281; Йост 2017 , с. 169; Тейлор 2011 , с. 547.
  5. ^ Милнор и Сташефф 1974 , стр. 292–293.
  6. ^ Илс и Сэмпсон 1964 , Раздел 3.A.3; Пенроуз и Риндлер 1987 , с. 263.
  7. ^ Коларж, Михор и Словак 1993 , стр. 112–114.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0b6f1b8dbd9f471bb1756dffe1146f73__1706283900
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0b/73/0b6f1b8dbd9f471bb1756dffe1146f73.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Exterior covariant derivative - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)