Внешняя ковариантная производная

В математической области дифференциальной геометрии внешняя ковариантная производная является расширением понятия внешней производной на случай дифференцируемого главного расслоения или векторного расслоения со связностью .

Определение

Пусть G — группа Ли и P → M — главное G -расслоение на гладком M. многообразии имеется соединение Предположим, что на P ; это дает естественное разложение в прямую сумму $T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}$ каждого касательного пространства на горизонтальное и вертикальное подпространства. Позволять $h:T_{u}P\to H_{u}$ — проекция на горизонтальное подпространство.

Если φ — k -форма на P со значениями в векторном пространстве V , то её внешняя ковариантная производная Dφ — это форма, определенная формулой

D\phi (v_{0},v_{1},\dots ,v_{k})=d\phi (hv_{0},hv_{1},\dots ,hv_{k})

где v _i — касательные векторы к P в точке u .

Предположим, что G → GL ( V ) — представление G : в векторном пространстве V. ρ Если φ эквивариантен что в том смысле,

R_{g}^{*}\phi =\rho (g)^{-1}\phi

где $R_{g}(u)=ug$ , то Dψ является тензорной ( k + 1) -формой на P типа ρ : она эквивариантна и горизонтальна (форма ψ горизонтальна, если ψ ( v ₀ , ..., v _k ) = ψ ( hv ₀ , ..., хв _к ) .)

Злоупотребляя обозначениями , дифференциал ρ в единичном элементе можно снова обозначить через ρ :

\rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).

Позволять $\omega$ быть связью одноформной и $\rho (\omega )$ представление связи в ${\mathfrak {gl}}(V).$ То есть, $\rho (\omega )$ это ${\mathfrak {gl}}(V)$ -значная форма , исчезающая на горизонтальном подпространстве. Если φ — тензорная k -форма типа ρ , то

D\phi =d\phi +\rho (\omega )\cdot \phi ,

^[1]

где, следуя обозначениям в дифференциальной форме со значениями алгебры Ли § Операции , мы написали

(\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{k+1})={1 \over (1+k)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\phi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).

В отличие от обычной внешней производной , которая приводится в квадрат 0, внешняя ковариантная производная этого не делает. имеем φ В общем случае для тензорной нулевой формы

D^{2}\phi =F\cdot \phi .

^[2]

где F = ρ (Ω) — представление ^{[ нужны разъяснения ]} в ${\mathfrak {gl}}(V)$ Ω двуформы кривизны . Форму F иногда называют тензором напряженности поля по аналогии с той ролью, которую она играет в электромагнетизме . Обратите внимание, что Д ² исчезает для плоской связности (т.е. когда Ω = 0 ).

Если ρ : G → GL( R ^н) , то можно написать

\rho (\Omega )=F=\sum {F^{i}}_{j}{e^{j}}_{i}

где ${e^{i}}_{j}$ — матрица с 1 в ( i , j ) -й записи и нулем в остальных записях. Матрица ${F^{i}}_{j}$ элементы которого являются 2-формами на P, называется матрицей кривизны .

Для векторных расслоений

Учитывая гладкое вещественное векторное расслоение $E \to M$ со связностью $\nabla$ и рангом $r$ , внешняя ковариантная производная представляет собой вещественно-линейное отображение векторнозначных дифференциальных форм , которые оцениваются в $E$ :

d^{\nabla }:\Omega ^{k}(M,E)\to \Omega ^{k+1}(M,E).

Ковариантная производная является таким отображением для $k = 0$ . Внешние ковариантные производные расширяют это отображение до общего $k$ . Существует несколько эквивалентных способов определения этого объекта:

^[3] Предположим, что векторнозначная дифференциальная 2-форма рассматривается как присваивающая каждому $p$ полилинейное отображение $s p : T p M \times T p M \to E p$ , которое полностью антисимметрично. Тогда внешняя ковариантная производная $d \nabla s$ сопоставляет каждому $p$ полилинейное отображение $T p M \times T p M \times T p M \to E p,$ заданное формулой

{\begin{aligned}\nabla _{x_{1}}(s(X_{2},X_{3}))&-\nabla _{x_{2}}(s(X_{1},X_{3}))+\nabla _{x_{3}}(s(X_{1},X_{2}))\\&-s([X_{1},X_{2}],x_{3})+s([X_{1},X_{3}],x_{2})-s([X_{2},X_{3}],x_{1}).\end{aligned}}

где

x 1, x 2, x 3

— произвольные касательные векторы в точке

p,

которые продолжаются до гладких локально определенных векторных полей

X 1, X 2 X 3

. Правомерность этого определения зависит от того, что приведенное выше выражение зависит только от

x 1, x 2, x 3

, а не от выбора расширения. Это можно проверить с помощью правила Лейбница для ковариантного дифференцирования и для скобки Ли векторных полей . Схема, установленная в приведенной выше формуле в случае

k = 2,

может быть непосредственно расширена для определения внешней ковариантной производной для произвольного

k

.

^[4] Внешняя ковариантная производная может быть охарактеризована аксиоматическим свойством определения для каждого $k$ вещественно-линейного отображения $Ω к (М, Е) \to Ом к + 1 (M, E),$ которая при $k = 0$ является ковариантной производной и в общем случае удовлетворяет правилу Лейбница

d^{\nabla }(\omega \wedge s)=(d\omega )\wedge s+(-1)^{k}\omega \wedge (d^{\nabla }s)

для любой дифференциальной

k

-формы

ω

и любой векторной формы

s

. Это также можно рассматривать как прямое индуктивное определение. Например, для любой векторнозначной дифференциальной 1-формы

s

и любого локального репера

e 1, ..., e r

векторного расслоения координаты

s

являются локально определенными дифференциальными 1-формами

ω 1, ..., ω р

. Тогда приведенная выше индуктивная формула говорит, что ^[5]

{\begin{aligned}d^{\nabla }s&=d^{\nabla }(\omega _{1}\wedge e_{1}+\cdots +\omega _{r}\wedge e_{r})\\&=d\omega _{1}\wedge e_{1}+\cdots +d\omega _{r}\wedge e_{r}-\omega _{1}\wedge \nabla e_{1}-\cdots -\omega _{r}\wedge \nabla e_{r}.\end{aligned}}

Для того, чтобы это было законным определением

d \nabla s

, необходимо убедиться, что выбор локального кадра не имеет значения. Это можно проверить, рассмотрев второй локальный кадр, полученный с помощью произвольной матрицы смены базиса; обеспечивает обратная матрица матрицу замены базиса для 1-форм

ω 1, ..., ω r

. При подстановке в приведенную выше формулу правило Лейбница, примененное к стандартной внешней производной и ковариантной производной

\nabla,

отменяет произвольный выбор.

^[6] Векторнозначную дифференциальную 2-форму $s$ можно рассматривать как некоторый набор функций $s а ij,$ присвоенный произвольной локальной системе координат $E$ над локальной координатной картой $M$ . Тогда внешняя ковариантная производная определяется как заданная функциями

(d^{\nabla }s)^{\alpha }{}_{ijk}=\nabla _{i}s^{\alpha }{}_{jk}-\nabla _{j}s^{\alpha }{}_{ik}+\nabla _{k}s^{\alpha }{}_{ij}.

Тот факт, что это определяет тензорное поле со значением в

E,

является прямым следствием того же факта для ковариантной производной. Дополнительный факт, что это дифференциальная 3-форма со значением в

E,

утверждает полную антисимметрию в

i, j, k

и непосредственно проверяется из приведенной выше формулы и контекстуального предположения, что

s

является векторнозначной дифференциальной 2-формой, так что

это а ij = - s а джи

. Схема этого определения внешней ковариантной производной для

k = 2

может быть непосредственно распространена на большие значения

k

.
Альтернативно это определение может быть выражено в терминах произвольной локальной системы отсчета

E,

без учета координат на

M.

но Тогда векторнозначная дифференциальная 2-форма выражается дифференциальными 2-формами

s 1, ..., с р

а связь выражается связностью 1-форм, кососимметричной

r \times r-

матрицей дифференциальных 1-форм

θ α б

. Внешняя ковариантная производная

s

как векторнозначной дифференциальной 3-формы выражается относительно локальной системы отсчета с помощью

r

множества дифференциальных 3-форм, определяемых формулой

(d^{\nabla }s)^{\alpha }=d(s^{\alpha })+\theta _{\beta }{}^{\alpha }\wedge s^{\beta }.

В случае тривиального вещественного расслоения $ℝ \times M \to M$ с его стандартной связностью векторнозначные дифференциальные формы и дифференциальные формы естественным образом отождествляются друг с другом, и каждое из приведенных выше определений совпадает со стандартной внешней производной .

Учитывая главный расслоение, любое линейное представление структурной группы определяет ассоциированный расслоение , и любое соединение в главном расслоении индуцирует соединение в ассоциированном векторном расслоении. Дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении естественным образом можно отождествить с вполне антисимметричными тензорными формами на всем пространстве главного расслоения. При таком отождествлении понятия внешней ковариантной производной для главного расслоения и векторного расслоения совпадают. ^[7]

Кривизну связности векторного расслоения можно определить как композицию двух внешних ковариантных производных $Ω. 0 (М, Е) \to Ом 1 (M, E)$ и $Ω 1 (М, Е) \to Ом 2 (M, E)$ , так что оно определяется как вещественно-линейное отображение $F : Ω 0 (М, Е) \to Ом 2 (МНЕ )$ . Это фундаментальный, но не очевидный факт, что $F (s) p : T p M \times T p M \to E p$ зависит только от $s (p)$ и делает это линейно. Таким образом, кривизну можно рассматривать как элемент $Ω 2 (М, Конец(Е))$ . В зависимости от того, как формулируется внешняя ковариантная производная, могут быть получены различные альтернативные, но эквивалентные определения кривизны (некоторые без языка внешнего дифференцирования).

Хорошо известен факт, что композиция стандартной внешней производной с самой собой равна нулю: $d (d ω) = 0$ . В данном контексте это можно рассматривать как утверждение о том, что стандартная связность на тривиальном линейном расслоении $ℝ \times M \to M$ имеет нулевую кривизну.

Пример

Второе тождество Бьянки , которое гласит, что внешняя ковариантная производная Ω равна нулю (т. е. D Ω = 0 ), можно сформулировать как: $d\Omega +\operatorname {ad} (\omega )\cdot \Omega =d\Omega +[\omega \wedge \Omega ]=0$ .

Примечания

^ Если k = 0 , то, написав $X^{\#}$ для фундаментального векторного поля (т.е. вертикального векторного поля), порожденного X в ${\mathfrak {g}}$ на P имеем:
$d\phi (X_{u}^{\#})=\left.{d \over dt}\right\vert _{0}\phi (u\operatorname {exp} (tX))=-\rho (X)\phi (u)=-\rho (\omega (X_{u}^{\#}))\phi (u)$ ,
поскольку φ ( гу ) = ρ ( грамм ⁻¹) φ ( ты ) . С другой стороны, Dφ ( X ^#) = 0 . Если X — горизонтальный касательный вектор, то $D\phi (X)=d\phi (X)$ и $\omega (X)=0$ . В общем случае, пусть X _i будут касательными векторами к P в некоторой точке, причем некоторые из X _i горизонтальны, а остальные вертикальны. Если X _i вертикально, мы думаем о нем как об элементе алгебры Ли, а затем отождествляем его с порожденным им фундаментальным векторным полем. Если X _i горизонтально, мы заменяем его горизонтальным подъемом векторного поля, расширяющим движение вперед π X _i . Таким образом, мы расширили X _i до векторных полей. Обратите внимание, что расширение таково, что мы имеем: [ X _i , X _j ] = 0, если X _i горизонтально, а X _j вертикально. Наконец, по инвариантной формуле для внешней производной имеем:
$D\phi (X_{0},\dots ,X_{k})-d\phi (X_{0},\dots ,X_{k})={1 \over k+1}\sum _{0}^{k}(-1)^{i}\rho (\omega (X_{i}))\phi (X_{0},\dots ,{\widehat {X_{i}}},\dots ,X_{k})$ ,
который $(\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})$ .
^ Доказательство: поскольку ρ действует на постоянную часть ω , он коммутирует с d и, следовательно,
$d(\rho (\omega )\cdot \phi )=d(\rho (\omega ))\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi$ .
Тогда, согласно примеру в дифференциальной форме со значениями алгебры Ли § Операции ,
$D^{2}\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi +\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \phi )=\rho (d\omega )\cdot \phi +{1 \over 2}\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \phi ,$
который $\rho (\Omega )\cdot \phi$ по структурному уравнению Э. Картана .
^ Бесс 1987 , раздел 1.12; Коларж, Михор и Словак 1993 , раздел 11.13.
^ Дональдсон и Кронхаймер 1990 , с. 35; Эгучи, Гилки и Хэнсон 1980 , с. 281; Йост 2017 , с. 169; Тейлор 2011 , с. 547.
^ Милнор и Сташефф 1974 , стр. 292–293.
^ Илс и Сэмпсон 1964 , Раздел 3.A.3; Пенроуз и Риндлер 1987 , с. 263.
^ Коларж, Михор и Словак 1993 , стр. 112–114.