Тензорная плотность

В дифференциальной геометрии тензорная плотность или относительный тензор является обобщением концепции тензорного поля . Тензорная плотность преобразуется как тензорное поле при переходе из одной системы координат в другую (см. Тензорное поле ), за исключением того, что она дополнительно умножается или взвешивается на степень W якобиана функции перехода координат или ее абсолютное значение. Тензорная плотность с одним индексом называется векторной плотностью . Различают (аутентичные) тензорные плотности, псевдотензорные плотности, четные тензорные плотности и нечетные тензорные плотности. Иногда тензорные плотности с отрицательным весом W называют тензорной емкостью. Тензорную плотность можно также рассматривать как сечение тензорного произведения тензорного расслоения на расслоение плотности .

Мотивация

В физике и смежных областях часто бывает полезно работать с компонентами алгебраического объекта, а не с самим объектом. Примером может быть разложение вектора на сумму базисных векторов, взвешенных по некоторым коэффициентам, таким как $${\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2}{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}$$ где ${\vec {v}}$ — вектор в трехмерном евклидовом пространстве , $c_{i}\in \mathbb {R} ^{1}{\text{ and }}{\vec {e}}_{i}$ — обычные стандартные базисные векторы в евклидовом пространстве. Обычно это необходимо для вычислительных целей и часто может оказаться полезным, когда алгебраические объекты представляют собой сложные абстракции, но их компоненты имеют конкретную интерпретацию. Однако при такой идентификации нужно быть осторожным, чтобы отслеживать изменения базовой основы, в которой увеличивается количество; может оказаться целесообразным в ходе вычислений изменить базис , а вектор ${\vec {v}}$ остается фиксированным в физическом пространстве. В более общем смысле, если алгебраический объект представляет собой геометрический объект, но выражен в терминах определенного базиса, то при изменении базиса необходимо также изменить представление. Физики часто называют это представление геометрического объекта тензором , если оно преобразуется под действием последовательности линейных карт при линейном изменении базиса (хотя другие сбивают с толку называть основной геометрический объект, который не изменился при преобразовании координат, «тензором»). соглашение, которого эта статья строго избегает). Вообще существуют представления, которые преобразуются произвольным образом в зависимости от того, как из представления восстанавливается геометрический инвариант. В некоторых частных случаях удобно использовать представления, преобразующиеся почти как тензоры, но с дополнительным нелинейным коэффициентом преобразования. Типичным примером является матрица, представляющая векторное произведение (площадь натянутого параллелограмма) на $\mathbb {R} ^{2}.$ Представление дается в стандартном базисе $${\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}$$

Если мы теперь попытаемся выразить это же выражение в базисе, отличном от стандартного, то компоненты векторов изменятся, скажем, по закону ${\textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ где $A$ представляет собой матрицу действительных чисел размером 2 на 2. Учитывая, что площадь развернутого параллелограмма является геометрическим инвариантом, она не может измениться при смене базиса, поэтому новое представление этой матрицы должно быть: $$\left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}$$которое в развернутом виде представляет собой просто исходное выражение, но умноженное на определитель $A^{-1},$ что также ${\textstyle {\frac {1}{\det A}}.}$ Фактически это представление можно рассматривать как двухиндексное тензорное преобразование, но вместо этого с вычислительной точки зрения проще представить правило тензорного преобразования как умножение на ${\textstyle {\frac {1}{\det A}},}$ а не как 2 умножения матриц (на самом деле в более высоких измерениях естественным расширением этого является $n,n\times n$ матричные умножения, которые для больших $n$ совершенно невозможно). Объекты, которые преобразуются таким образом, называются тензорными плотностями , поскольку они возникают естественным образом при рассмотрении задач, касающихся площадей и объемов, и поэтому часто используются при интегрировании.

Определение

Некоторые авторы в этой статье делят тензорные плотности на два типа, называемые (аутентичными) тензорными плотностями и псевдотензорными плотностями. Другие авторы классифицируют их по-другому: на типы, называемые четными тензорными плотностями и нечетными тензорными плотностями. Когда вес тензорной плотности является целым числом, существует эквивалентность между этими подходами, которая зависит от того, является ли целое число четным или нечетным.

Обратите внимание, что эти классификации поясняют различные способы, которыми тензорные плотности могут несколько патологически трансформироваться при преобразованиях координат, изменяющих ориентацию . Независимо от их классификации по этим типам, существует только один способ преобразования тензорных плотностей при сохраняющих преобразованиях координат, ориентацию.

В этой статье мы выбрали соглашение, которое присваивает вес +2 $g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)$, определитель метрического тензора, выраженный через ковариантные индексы. При таком выборе классические плотности, такие как плотность заряда, будут представлены тензорными плотностями веса +1. Некоторые авторы используют соглашение о знаках для весов, которое является отрицанием представленного здесь.

В отличие от значения, используемого в этой статье, в общей теории относительности « псевдотензор » иногда означает объект, который не трансформируется как тензор или относительный тензор любого веса.

Тензорные и псевдотензорные плотности

Например, смешанная тензорная плотность веса второго ранга (аутентичная) $W$ преобразуется как:

${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,$     ((аутентичная) тензорная плотность (целого) веса W )

где ${\bar {\mathfrak {T}}}$ – плотность тензора второго ранга в ${\bar {x}}$ система координат, ${\mathfrak {T}}$ — преобразованная плотность тензора в ${x}$ система координат; и мы используем определитель Якобиана . Поскольку определитель может быть отрицательным, как и при преобразовании координат, меняющем ориентацию, эта формула применима только тогда, когда $W$ является целым числом. (Однако см. четные и нечетные плотности тензоров ниже.)

Мы говорим, что тензорная плотность является псевдотензорной плотностью, когда при преобразовании координат, меняющем ориентацию, происходит дополнительная смена знака. Смешанная псевдотензорная плотность веса второго ранга $W$ трансформируется как

${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,$     (псевдотензорная плотность (целого) веса W )

где знак ( $\cdot$) — это функция, которая возвращает +1, если ее аргумент положительный, или -1, если ее аргумент отрицательный.

Четные и нечетные тензорные плотности

Преобразования для четных и нечетных тензорных плотностей имеют то преимущество, что они четко определены, даже если $W$ не является целым числом. Таким образом, можно говорить, скажем, о нечетной тензорной плотности веса +2 или четной тензорной плотности веса −1/2.

Когда $W$ является четным целым числом, приведенную выше формулу для (подлинной) тензорной плотности можно переписать как

${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.$     (четная тензорная плотность веса W )

Аналогично, когда $W$ является нечетным целым числом, формулу для (подлинной) тензорной плотности можно переписать как

${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.$     (нечетная тензорная плотность веса W )

Вес нуля и единицы

Тензорная плотность любого типа, имеющая нулевой вес, также называется абсолютным тензором . (Четная) аутентичная тензорная плотность нулевого веса также называется обычным тензором .

Если вес не указан, но слова «относительный» или «плотность» используются в контексте, где необходим определенный вес, обычно предполагается, что вес равен +1.

Алгебраические свойства

1. Линейная комбинация (также известная как взвешенная сумма ) тензорных плотностей одного типа и веса. $W$ снова является тензорной плотностью этого типа и веса.
2. Произведение двух тензорных плотностей любых типов и с весами $W_{1}$ и $W_{2}$, – тензорная плотность веса $W_{1}+W_{2}.$

   Произведение аутентичных тензорных плотностей и псевдотензорных плотностей будет подлинной тензорной плотностью, если четное число факторов является псевдотензорными плотностями; это будет псевдотензорная плотность, когда нечетное число факторов является псевдотензорными плотностями. Аналогично, произведение четных тензорных плотностей и нечетных тензорных плотностей будет четной тензорной плотностью, если четное число факторов является нечетными тензорными плотностями; это будет нечетная плотность тензора, когда нечетное число факторов является нечетной плотностью тензора.

3. Сжатие индексов на тензорной плотности с весом $W$ снова дает тензорную плотность веса $W.$
4. Используя (2) и (3), видно, что повышение и понижение индексов с использованием метрического тензора (вес 0) оставляет вес неизменным.

Обращение матрицы и матричный определитель тензорных плотностей

Если ${\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }$ — неособая матрица и тензорная плотность веса второго ранга $W$ с ковариантными индексами, то его обратная матрица будет тензорной плотностью веса второго ранга — $W$ с контравариантными индексами. Аналогичные утверждения применимы, когда два индекса контравариантны или являются смешанными ковариантными и контравариантными.

Если ${\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }$ – тензорная плотность веса второго ранга $W$ с ковариантными индексами, то определитель матрицы $\det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }$ будет иметь вес $NW+2,$ где $N$ — число измерений пространства-времени. Если ${\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }$ – тензорная плотность веса второго ранга $W$ с контравариантными индексами, то определитель матрицы $\det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }$ будет иметь вес $NW-2.$ Определитель матрицы $\det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }$ будет иметь вес $NW.$

Общая теория относительности

Связь определителя Якобиана и метрического тензора

Любой неособый обыкновенный тензор $T_{\mu \nu }$ трансформируется как $$T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,$$

где правую часть можно рассматривать как произведение трех матриц. Взяв определитель обеих частей уравнения (поскольку определитель матричного произведения является произведением определителей), разделив обе части на $\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right),$ и извлечение их квадратного корня дает $$\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.$$

Когда тензор $T$ – метрический тензор , ${g}_{\kappa \lambda },$ и ${\bar {x}}^{\iota }$ — локально-инерциальная система координат, где ${\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=$ diag(−1,+1,+1,+1), метрика Минковского , то $\det \left({\bar {g}}_{\kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=$ −1 и так $$\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,$$

где ${g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)$ – определитель метрического тензора ${g}_{\mu \nu }.$

Использование метрического тензора для управления плотностью тензоров

Следовательно, четная тензорная плотность ${\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },$ веса W можно записать в виде $${\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,$$

где $T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,$ является обычным тензором. В локально-инерциальной системе координат, где $g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },$ будет так, что ${\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }$ и $T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,$ будут представлены теми же числами.

При использовании метрической связи ( связности Леви-Чивита ) ковариантная производная четной тензорной плотности определяется как $${\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.$$

Для произвольной связи ковариантная производная определяется добавлением дополнительного члена, а именно $$-W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }$$к выражению, которое подходило бы для ковариантной производной обычного тензора.

Эквивалентно соблюдается правило произведения $$\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,$$

где для метрической связности ковариантная производная любой функции $g_{\kappa \lambda }$ всегда равен нулю, $${\begin{aligned}g_{\kappa \lambda ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha }&=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}$$

Примеры

Смотрите также: уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени.

Выражение ${\sqrt {-g}}$ скалярная плотность. По правилам этой статьи он имеет вес +1.

Плотность электрического тока ${\mathfrak {J}}^{\mu }$ (например, ${\mathfrak {J}}^{2}$ - количество электрического заряда, пересекающего 3-объемный элемент $dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}$ разделенное на этот элемент — не используйте метрику в этом вычислении) — это контравариантная векторная плотность веса +1. Часто пишут как ${\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}$ или ${\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!,$ где $J^{\mu }\,$ и дифференциальная форма ${\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }$ являются абсолютными тензорами, и где $\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }$ является символом Леви-Чивита ; см. ниже.

Плотность силы Лоренца ${\mathfrak {f}}_{\mu }$ (т. е. линейный импульс, передаваемый от электромагнитного поля веществу внутри 4-объемного элемента $dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}$ разделенное на этот элемент — не используйте метрику в этом вычислении) — это ковариантная векторная плотность веса +1.

В N -мерном пространстве-времени символ Леви-Чивита можно рассматривать либо как ковариантную (нечетную) подлинную тензорную плотность ранга N веса −1 ( ε _{α 1 ⋯ α N} ), либо как контравариант ранга N (нечетный). аутентичная тензорная плотность веса +1 ( ε ^{α ₁ ⋯ α _N} ). Обратите внимание, что символ Леви-Чивита (так называемый) не подчиняется обычному соглашению о повышении или понижении индексов с помощью метрического тензора. То есть это правда, что $$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,g_{\alpha \kappa }\,g_{\beta \lambda }\,g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,=\,\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }\,g\,,$$но в общей теории относительности, где $g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)$ всегда отрицательно, оно никогда не равно $\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }.$

Определитель тензора метрического $$g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)={\frac {1}{4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,,$$представляет собой (четную) аутентичную скалярную плотность веса +2, представляющую собой сокращение произведения 2 (нечетных) аутентичных тензорных плотностей веса +1 и четырех (четных) аутентичных тензорных плотностей веса 0.

См. также

• Действие (физика) – Физическая величина измерения энергии × время.
• Закон сохранения - научный закон сохранения физической собственности.
• Теорема Нётер - Утверждение, связывающее дифференцируемые симметрии с сохраняющимися величинами.
• Псевдотензор - Тип физической величины.
• Относительный скаляр
• Вариационный принцип - научные принципы, позволяющие использовать вариационное исчисление.

Ссылки

• Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию, Том I (3-е изд.), Стр. 134 .
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Тензорная плотность» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Чарльз Миснер ; Кип С. Торн и Джон Арчибальд Уиллер (1973). Гравитация . У. Х. Фриман . п. 501 и далее. ISBN  0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология , John Wiley & sons, Inc, ISBN  0-471-92567-5