Теорема Эйлера (дифференциальная геометрия)

В математической области дифференциальной геометрии теорема является результатом кривизны кривых на Эйлера поверхности. Теорема устанавливает существование главных кривизн и связанных с ними главных направлений , которые определяют направления, в которых поверхность искривляется больше всего и меньше всего. Теорема названа в честь Леонарда Эйлера , который доказал ее в ( Эйлер 1760 ).

Точнее, пусть M — поверхность в трехмерном евклидовом пространстве , а p — на M. точка проходящая Нормальная плоскость, через p, — это плоскость, проходящая через точку p, содержащая вектор нормали к M . Через каждый ( единичный ) касательный вектор к M в точке p проходит нормальная плоскость , _{вырезающая} кривую в M. PX Эта кривая имеет определенную кривизну κ _X, если рассматривать ее как кривую внутри P _X . При условии, что не все κ _X равны, существует некоторый единичный вектор X ₁ , для которого k ₁ = κ _{X 1} как можно больше, и другой единичный вектор X _2, для которого k ₂ = κ _{X 2} как можно меньше. Теорема Эйлера утверждает, что и _что , более _того , X 1 и X 2 перпендикулярны если X — любой вектор, образующий угол θ с X ₁ , то

$\kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta .\,$ ( 1 )

Величины k1 _а и k2 _{главными} называются кривизнами , X1 _— и X2 _{главными} соответствующими направлениями . Уравнение ( 1 ) иногда называют уравнением Эйлера ( Эйзенхарт 2004 , стр. 124).

См. также

• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Индикатор Дюпена

Ссылки

• Эйзенхарт, Лютер П. (2004), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей , Дувр, ISBN  0-486-43820-1 Полный текст 1909 года (права защищены)
• Эйлер, Леонхард (1760), «Исследование кривизны поверхностей» , Мемуары Берлинской академии наук , 16 (опубликовано в 1767 году): 119–143 .
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, Том II , Publish or Perish Press, ISBN  0-914098-71-3