Первый вариант формулы площади

В математической области римановой геометрии каждое подмногообразие имеет риманова многообразия площадь поверхности . Первый вариант формулы площади представляет собой фундаментальный расчет того, как на эту величину влияет деформация подмногообразия. Фундаментальная величина связана со средней кривизной .

Пусть $(M, g)$ обозначает риманово многообразие и рассмотрим ориентированное гладкое многообразие $S$ однопараметрическим семейством гладких погружений $f t$ S $M$ в $(возможно, с краем) вместе с$ . Для каждого отдельного значения параметра $t$ погружение $ft известную$ индуцирует риманову метрику на $S$ , которая сама по себе индуцирует дифференциальную форму на $S,$ как риманова форма объема $ω t$ . Первое изменение площади относится к вычислению

{\frac {d}{dt}}\omega _{t}=-\left\langle W_{t},H(f_{t})\right\rangle _{g}\omega _{t}+{\text{d}}\left(\iota _{W_{t}^{\parallel }}\omega _{t}\right)

в котором $H (f t)$ — вектор средней кривизны погружения $f t,$ а $W t$ обозначает векторное поле вариации ${\frac {\partial }{\partial t}}f_{t}.$ Обе эти величины являются векторными полями вдоль отображения $f t$ . Второе слагаемое в формуле представляет собой внешнюю производную внутреннего произведения формы объема с векторным полем $W_{t}^{\parallel }$ на $S$ определяемом как тангенциальная проекция $Wt,$ . С помощью магической формулы Картана этот термин также можно записать как производную Ли формы объема относительно тангенциальной проекции. По существу, этот член исчезает, если каждый $перепараметризуется ft$ соответствующим однопараметрическим семейством диффеоморфизмов $S$ .

Обе части первой формулы вариации можно проинтегрировать по $S$ при условии, что векторное поле вариации имеет компактный носитель . непосредственно следует В этом случае из теоремы Стокса , что

{\frac {d}{dt}}\operatorname {vol} (f_{t})=-\int _{S}\left\langle W_{t},H(f_{t})\right\rangle _{g}\omega _{t}+\int _{\partial S}\iota _{W_{t}^{\parallel }}\omega _{t}.

Во многих контекстах $S$ является замкнутым многообразием , или каждое векторное поле вариаций ортогонально подмногообразию. В любом случае второй член автоматически исчезает. В такой ситуации вектор средней кривизны рассматривается как полностью определяющий, как площадь поверхности подмногообразия изменяется в результате деформации поверхности. В частности, обращение в нуль вектора средней кривизны рассматривается как эквивалент того, что подмногообразие является критической точкой функционала объема. Это показывает, как минимальное подмногообразие может быть охарактеризовано либо теорией критической точки функционала объема, либо явным уравнением в частных производных для погружения.

частный случай первой вариационной формулы, возникающий, когда $S$ является интервалом на прямой вещественной оси Особенно хорошо известен . В этом контексте функционал объема известен как функционал длины , и его вариационный анализ имеет фундаментальное значение для изучения геодезических в римановой геометрии.

Ссылки

Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Universitext (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-18855-8 . ISBN 3-540-20493-8 . МР 2088027 .
Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое изд.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN 978-3-319-61859-3 . МР 3726907 .
Саймон, Леон (1983). Лекции по геометрической теории меры (PDF) . Труды Центра математического анализа Австралийского национального университета. Том. 3. Канберра: Австралийский национальный университет, Центр математического анализа. ISBN 0-86784-429-9 . МР 0756417 .
Спивак, Михаил (1979). Комплексное введение в дифференциальную геометрию. Том IV (второе изд.). Publish or Perish, Inc. Уилмингтон, Делавэр: ISBN 0-914098-83-7 . МР 0532833 .