Извилистость

Расчет извилистости колеблющейся кривой.

Повороты на горной дороге с высокой извилистостью в Луз-Ардидене

Извилистая река Рио-Кауто в Гуамо-Эмбаркадеро, Куба , идет не по кратчайшему пути вниз по склону. Следовательно, его индекс извилистости > 1.

Две лыжные трассы разной степени извилистости на одном склоне.

Извилистость , индекс извилистости или коэффициент извилистости кривой непрерывно дифференцируемой , имеющей хотя бы одну точку перегиба, — это соотношение криволинейной длины (вдоль кривой) и евклидова расстояния ( прямой линии ) между конечными точками кривой. Эту безразмерную величину также можно перефразировать как «фактическую длину пути», разделенную на «длину кратчайшего пути» кривой. Значение варьируется от 1 (случай прямой линии) до бесконечности (случай замкнутого контура, где длина кратчайшего пути равна нулю для фактического пути бесконечной длины). ).

Интерпретация

Кривая должна быть непрерывной (без скачков) между двумя концами. Значение извилистости действительно важно, когда линия непрерывно дифференцируема (нет угловой точки). Расстояние между обоими концами также можно оценить по множеству отрезков по ломаной линии, проходящей через последовательные точки перегиба (извилистость 2-го порядка).

Расчет извилистости действителен в трехмерном пространстве (например, для центральной оси тонкой кишки ), хотя часто его выполняют в плоскости (с тогда возможной ортогональной проекцией кривой в выбранном плане; «классический «извилистость в горизонтальной плоскости, извилистость продольного профиля в вертикальной плоскости»).

Классификация извилистости (например, сильная/слабая) часто зависит от картографического масштаба кривой (более подробную информацию см. в парадоксе береговой линии ) и скорости объекта, протекающего по ней (река, лавина, автомобиль, велосипед, бобслей, лыжник, высокоскоростной поезд и т. д.): извилистость одной и той же изогнутой линии можно считать очень сильной для высокоскоростного поезда, но низкой для реки. Тем не менее, можно увидеть очень сильную извилистость в последовательности немногочисленных излучин рек или кружев на некоторых горных дорогах.

Известные ценности

Извилистость S :

• 2 перевернутых сплошных полукруга, расположенные в одной плоскости – это $S={\tfrac {\pi }{2}}\approx 1.5708...$. Он не зависит от радиуса круга;
• синусоидальная на функция (по целому числу n полупериодов), которую можно вычислить путем вычисления длины дуги синусоиды этих периодах, равна $S=\textstyle {\tfrac {1}{n\pi }}\int _{0}^{n\pi }{\sqrt {1+(\cos x)^{2}}}dx\approx 1.216...$

Пример с углом 270°

При сходных противоположных дугах соединения в одной плоскости непрерывно дифференцируемы:

Центральный угол		Извилистость
Степени	радианы	Точный	Десятичная дробь
30°	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}$	1.0115
60°	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{3}}$	1.0472
90°	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$	1.1107
120°	${\frac {2\cdot \pi }{3}}$	${\frac {2\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}$	1.2092
150°	${\frac {5\cdot \pi }{6}}$	${\frac {5\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}$	1.3552
180°	$\pi$	${\frac {\pi }{2}}$	1.5708
210°	${\frac {7\cdot \pi }{6}}$	${\frac {7\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}$	1.8972
240°	${\frac {4\cdot \pi }{3}}$	${\frac {4\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}$	2.4184
270°	${\frac {3\cdot \pi }{2}}$	${\frac {3\cdot \pi }{2{\sqrt {2}}}}$	3.3322
300°	${\frac {5\cdot \pi }{3}}$	${\frac {5\cdot \pi }{3}}$	5.2360
330°	${\frac {11\cdot \pi }{6}}$	${\frac {11\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}$	11.1267

Реки

При изучении рек индекс извилистости аналогичен, но не идентичен приведенному выше общему виду и определяется следующим образом:

${\text{SI}}={\frac {\text{channel length}}{\text{downvalley length}}}$

Отличие от общей формы происходит потому, что путь вниз по долине не совсем прямой. Таким образом, индекс извилистости можно объяснить как отклонения от траектории, определяемой направлением максимального уклона. По этой причине коренные ручьи, текущие прямо вниз по склону, имеют индекс извилистости 1, а извилистые ручьи имеют индекс извилистости больше 1.

Также можно выделить случай, когда поток, текущий по линии, физически не может пройти расстояние между концами: в некоторых гидравлических исследованиях это приводит к присвоению значения извилистости, равного 1, потоку, текущему по скалистому основанию по горизонтальной прямолинейной линии. проекции, даже если угол наклона меняется.

Для рек общепринятыми классами извилистости SI являются:

• SI <1,05: почти прямой
• 1,05 ≤ SI <1,25: обмотка
• 1,25 ≤ SI <1,50: скручивания
• 1,50 ≤ SI: извилистость

Утверждалось, что формы рек управляются самоорганизующейся системой , которая приводит к тому, что их средняя извилистость (измеренная с точки зрения расстояния от истока до устья, а не длины русла) равна π , но это не было подтверждено более поздними исследованиями, которые обнаружили среднее значение менее 2.

См. также

• Кривизна
• Озеро Старица