Геометрическая непрерывность

Концепция геометрической непрерывности в первую очередь применялась к коническим сечениям (и связанным с ними формам) такими математиками, как Лейбниц , Кеплер и Понселе . Эта концепция была ранней попыткой описать с помощью геометрии, а не алгебры, концепцию непрерывности , выраженную через параметрическую функцию. ^[1]

Основная идея геометрической непрерывности заключалась в том, что пять конических секций на самом деле представляли собой пять разных версий одной и той же формы. Эллипс , стремится к окружности когда эксцентриситет приближается к нулю, или к параболе , когда он приближается к единице; а гипербола стремится к параболе , когда эксцентриситет падает до единицы; он также может иметь тенденцию к пересекающимся линиям . сохранялась непрерывность Таким образом, между коническими участками . Эти идеи привели к появлению других концепций преемственности. Например, если бы круг и прямая линия были двумя выражениями одной и той же формы, возможно, линию можно было бы рассматривать как круг бесконечного радиуса . Чтобы это было так, нужно было бы сделать линию замкнутой, разрешив точке $x=\infty$ быть точкой на окружности, а для $x=+\infty$ и $x=-\infty$ быть идентичным. Подобные идеи были полезны при разработке современной, алгебраически определенной идеи непрерывности функции и $\infty$ ( см. проективно расширенную вещественную линию ). подробнее ^[1]