Уравнение Экснера

Уравнение Экснера — это утверждение о сохранении массы , применимое к отложениям в речной системе, такой как река . Он был разработан австрийским метеорологом и седиментологом Феликсом Марией Экснером , от которого и получил свое название.

Уравнение

Уравнение Экснера описывает сохранение массы между отложениями на дне канала и отложениями, которые транспортируются . В нем говорится, что высота дна увеличивается (дно разрушается ) пропорционально количеству наносов, выпадающих из-под переноса, и, наоборот, уменьшается (дно деградирует ) пропорционально количеству наносов, увлекаемых потоком.

Основное уравнение

Уравнение гласит, что изменение высоты пласта, $\eta$, через некоторое время, $t$, равна единице по плотности упаковки зерна, $\varepsilon _{o}$, умноженное на отрицательную дивергенцию наносов потока , $q_{s}$.

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\nabla \cdot \mathbf {q_{s}}$

Обратите внимание, что $\varepsilon _{o}$ также может быть выражено как $(1-\lambda _{p})$, где $\lambda _{p}$ слоя равна пористости .

Хорошие значения $\varepsilon _{o}$ для природных систем колеблются от 0,45 до 0,75. Типичное хорошее значение для сферических зерен составляет 0,64, что определяется случайной плотной упаковкой . Верхняя граница для плотноупакованных сферических зерен составляет 0,74048. ( см. в разделе «Упаковка сфер» Более подробную информацию ); такая степень упаковки крайне маловероятна в природных системах, что делает случайную плотную упаковку более реалистичной верхней границей плотности упаковки зерен.

Часто из соображений удобства вычислений и/или отсутствия данных уравнение Экснера используется в одномерной форме. Обычно это делается в направлении вниз по потоку. $x$, поскольку обычно интересуют распределение эрозии и отложений вниз по течению по всему участку реки.

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}{\frac {\partial \mathbf {q_{s}} }{\partial x}}$

Включая внешние изменения высоты

Дополнительная форма уравнения Экснера добавляет член проседания : $\sigma$, к балансу масс. Это обеспечивает абсолютную высоту кровати. $\eta$ его следует отслеживать во времени в ситуации, когда он изменяется под воздействием внешних воздействий, таких как тектоническое или связанное со сжатием опускание ( изостатическое сжатие или отскок ). В соответствии со следующим уравнением: $\sigma$ является положительным при увеличении высоты с течением времени и отрицательным при уменьшении высоты с течением времени.

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\nabla \cdot \mathbf {q_{s}} +\sigma$