Случайная закрытая упаковка
Случайная плотная упаковка ( RCP ) сфер — эмпирический параметр, используемый для характеристики максимальной объемной доли твердых объектов , получаемой при их случайной упаковке. Например, когда твердый контейнер наполнен зерном , встряхивание контейнера уменьшит объем, занимаемый объектами, что позволит добавить в контейнер больше зерна. Другими словами, встряхивание увеличивает плотность упаковываемых предметов. Но встряхивание не может увеличивать плотность бесконечно, достигается предел, и если он достигается без явной упаковки в упорядоченную структуру, например в регулярную кристаллическую решетку, то это эмпирическая случайная плотность плотной упаковки для данной конкретной процедуры упаковки. Случайная плотная упаковка представляет собой максимально возможную объемную долю из всех возможных процедур упаковки.
Эксперименты и компьютерное моделирование показали, что наиболее компактный способ упаковки твердых идеальных сфер одинакового размера случайным образом дает максимальную объемную долю около 64%, т. е. примерно 64% объема контейнера занимают сферы. Проблема теоретического предсказания случайной плотной упаковки сфер сложна главным образом из-за отсутствия однозначного определения случайности или беспорядка. [1] Величина случайной плотной упаковки значительно ниже максимально возможной плотной упаковки твердых сфер одинакового размера в регулярные кристаллические структуры , которая составляет 74,04%. [2] Как гранецентрированная кубическая (ГЦК), так и гексагональная плотноупакованная (ГПУ) кристаллические решетки имеют максимальную плотность, равную этому верхнему пределу, что может произойти в процессе гранулярной кристаллизации .
Случайная плотная упаковка дисков в плоскости также считалась теоретически нерешенной проблемой из-за аналогичных трудностей. Аналитическое, хотя и не в закрытой форме, решение этой проблемы было найдено в 2021 г. Р. Блюменфельдом. [3] Решение было найдено путем ограничения экспоненциально малой вероятности роста упорядоченных кластеров и связывания ее с распределением «ячеек», представляющих собой мельчайшие пустоты, окруженные соединенными дисками. Полученная максимальная объемная доля составляет 85,3542%, если исключить только кластеры с гексагональной решеткой, и 85,2514%, если исключить также кластеры с деформированной квадратной решеткой.
Аналитическое решение в замкнутой форме как для 2D, так и для 3D, механически стабильных, случайных упаковок сфер было найдено А. Закконе в 2022 году с использованием предположения, что наиболее случайная ветвь заклиненных состояний (максимально случайные застрявшие упаковки, простирающиеся до плотнейшая упаковка ГЦК) подвергаются скученности, качественно аналогично равновесной жидкости. [4] [5] Причины эффективности этого решения являются предметом постоянных дискуссий. [6]
Определение
[ редактировать ]Случайная плотная упаковка сфер пока не имеет точного геометрического определения. Оно определяется статистически, а результаты носят эмпирический характер. Контейнер случайным образом наполняется объектами, а затем его встряхивают или постукивают до тех пор, пока объекты не перестанут уплотняться, в этот момент состояние упаковки — RCP. Определение фракции упаковки можно дать так: «объем, занимаемый количеством частиц в данном объеме объема». Другими словами, фракция упаковки определяет плотность упаковки. Показано, что фракция заполнения увеличивается с увеличением количества кранов до достижения плотности насыщения. [7] [8] Кроме того, плотность насыщения увеличивается при уменьшении амплитуды постукивания . Таким образом, RCP — это доля упаковки, определяемая пределом , когда амплитуда постукиваний стремится к нулю, и пределом, когда количество постукиваний стремится к бесконечности .
Влияние формы объекта
[ редактировать ]Объемная доля частиц в RCP зависит от упаковываемых объектов. Если объекты полидисперсны , то объемная доля нетривиально зависит от распределения по размерам и может быть сколь угодно близкой к 1. Тем не менее для (относительно) монодисперсных объектов значение RCP зависит от формы объекта; для сфер — 0,64, для конфет M&M’s — 0,68. [9]
Для сфер
[ редактировать ]| Модель | Описание | Пустая фракция | Плотность упаковки |
|---|---|---|---|
| Самая тонкая обычная упаковка | кубическая решетка ( Координационное число 6) | 0.4764 | 0.5236 |
| Очень рыхлая случайная упаковка | Например, сферы медленно оседали | 0.44 | 0.56 |
| Свободная случайная упаковка | Например, брошенный в постель или упакованный вручную. | от 0,40 до 0,41 | от 0,59 до 0,60 |
| Вылитая случайная упаковка | Сферы вылились в постель | от 0,375 до 0,391 | от 0,609 до 0,625 |
| Закройте случайную упаковку | Например, кровать вибрировала | от 0,359 до 0,375 | от 0,625 до 0,641 |
| Самая плотная обычная упаковка | решетка ГЦК или ГПУ (Координационный номер 12) | 0.2595 | 0.7405 |
Пример
[ редактировать ]Товары, содержащие неплотно упакованные предметы, часто маркируются следующим сообщением: «Содержимое может оседать во время транспортировки». Обычно во время транспортировки контейнер несколько раз ударяют, что увеличивает плотность упаковки.Сообщение добавляется, чтобы заверить потребителя, что контейнер в массовом порядке заполнен, даже если контейнер кажется слегка пустым. Системы упакованных частиц также используются как базовая модель пористых сред .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Торквато, С.; Трускетт, ТМ; Дебенедетти, П.Г. (2000). «Хорошо ли определена случайная плотная упаковка сфер?». Письма о физических отзывах . 84 (10): 2064–2067. arXiv : cond-mat/0003416 . Бибкод : 2000PhRvL..84.2064T . doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2064 . ПМИД 11017210 . S2CID 13149645 .
- ^ Режимы зернистой кристаллизации, индуцированной стенками в вибрационной упаковке. Гранулированная материя, 21(2), 26
- ^ Блюменфельд, Рафаэль (9 сентября 2021 г.). «Критерий беспорядка и явное решение проблемы случайной упаковки дисков» . Письма о физических отзывах . 127 (11): 118002. arXiv : 2106.11774 . Бибкод : 2021PhRvL.127k8002B . дои : 10.1103/physrevlett.127.118002 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 34558936 . S2CID 237617506 .
- ^ Закконе, Алессио (2022). «Явное аналитическое решение для случайной плотной упаковки в d = 2 и d = 3». Письма о физических отзывах . 128 (2): 028002. arXiv : 2201.04541 . Бибкод : 2022PhRvL.128b8002Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.128.028002 . ПМИД 35089741 . S2CID 245877616 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Случайная плотная упаковка» . Математический мир .
- ^ Ликос, Христос (2022). «Максимизация использования пространства без порядка, аналитически» . Журнал клуба физики конденсированного состояния . дои : 10.36471/JCCM_March_2022_02 . S2CID 247914694 .
- ^ Розато, Энтони Д.; Дыбенко Александр; Хорнтроп, Дэвид Дж.; Ратнасвами, Вишаган; Кондич, Лу (2010). «Эволюция микроструктуры при релаксации плотности постукиванием». Физический обзор E . 81 (6): 061301. Бибкод : 2010PhRvE..81f1301R . дои : 10.1103/physreve.81.061301 . ПМИД 20866410 .
- ^ Ратнасвами, В.; Розато, AD; Блэкмор, Д.; Трикош, X.; Чинг, Ло; Цзо, Л. (2012). «Эволюция поверхностей фракций твердых тел при нарезании резьбы: моделирование и динамический системный анализ». Гранулированная материя . 14 (2): 163–68. дои : 10.1007/s10035-012-0343-2 . S2CID 254114944 .
- ^ Донев, А.; Сиссе, И.; Сакс, Д.; Вариано, Э.А.; Стиллингер, Ф.Х.; Коннелли, Р.; Торквато, С.; Чайкин, ПМ (2004). «Улучшение плотности заклиненных неупорядоченных насадок с использованием эллипсоидов». Наука . 303 (5660): 990–993. Бибкод : 2004Sci...303..990D . CiteSeerX 10.1.1.220.1156 . дои : 10.1126/science.1093010 . ПМИД 14963324 . S2CID 33409855 .
- ^ Даллиен, ФАЛ (1992). Пористая среда: транспорт жидкости и структура пор (2-е изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0-12-223651-8 .
- Джагер, HM; Нагель, СР (1992). «Физика зернистых состояний». Наука . 255 (5051): 1523–31. Бибкод : 1992Sci...255.1523J . дои : 10.1126/science.255.5051.1523 . ПМИД 17820163 . S2CID 44568820 .
- Донев, А.; Сиссе, Ибрагим; Сакс, Дэвид; Вариано, Эван А.; Стиллинджер, Фрэнк Х.; Коннелли, Роберт; Торквато, Сальваторе; Чайкин, ПМ (2004). «Улучшение плотности заклиненных неупорядоченных насадок с использованием эллипсоидов». Наука . 303 (5660): 990–993. Бибкод : 2004Sci...303..990D . CiteSeerX 10.1.1.220.1156 . дои : 10.1126/science.1093010 . ПМИД 14963324 . S2CID 33409855 .