Упаковка сферы в цилиндр

Иллюстрация столбчатой ​​конструкции, собранной из мячей для гольфа.

Упаковка сфер в цилиндр — это трёхмерная задача упаковки , цель которой — упаковать заданное количество одинаковых сфер внутри цилиндра заданного диаметра и длины. Для цилиндров с диаметрами того же порядка, что и сферы, такие упаковки приводят к так называемым столбчатым структурам .

Эти проблемы широко изучаются в контексте биологии , нанонауки , материаловедения и т. д. благодаря аналогичной сборке малых частиц (таких как клетки и атомы ) в цилиндрические кристаллические структуры .

Книга «Столбчатые структуры сфер: основы и приложения» вносит заметный вклад в эту область исследований. В книге, написанной Винкельманном и Чаном, рассматриваются теоретические основы и практическое применение плотноупакованных сфер внутри цилиндрических ограничений.

Появление в науке

Столбчатые структуры появляются в различных областях исследований в широком диапазоне масштабов длины от метров до наномасштабов. В наибольшем масштабе такие структуры можно встретить в ботанике , где семена растения собираются вокруг стебля. В меньшем масштабе пузырьки одинакового размера кристаллизуются в столбчатые структуры пены , когда их помещают в стеклянную трубку. В нанонауке такие структуры можно найти в искусственных объектах, размеры которых варьируются от микрона до наноразмера.

Ягоды Arum maculatum образуют столбчатую структуру ( Кустарниковый парк ).

Ботаника

Столбчатые структуры впервые были изучены в ботанике из-за их разнообразного проявления у растений. Д'Арси Томпсон проанализировал такое расположение частей растения вокруг стебля в своей книге « О росте и форме » (1917). Но они также представляют интерес и в других биологических областях, включая бактерии, вирусы, микротрубочки , и хорда рыбы -зебры .

Один из самых крупных цветков, у которого ягоды расположены в правильной цилиндрической форме, — это титан арум . Этот цветок может достигать 3 м в высоту и встречается исключительно на западной Суматре и западной Яве.

На меньших по длине ягодах Arum maculatum осенью образуется столбчатая структура. Его ягоды похожи на ягоды трупного цветка, поскольку титан арум — его более крупный родственник. Однако по высоте кукушка-пинта значительно меньше (высота ≈ 20 см). Расположение ягод варьируется в зависимости от размера стебля и ягоды.

Еще одно растение, которое можно встретить во многих садах жилых районов, — австралийская бутылочная щетка . Он собирает свои семенные коробочки вокруг ветки растения. Структура зависит от размера семенной коробочки и размера ветки.

Пены

Сферические мыльные пузыри, заключенные в цилиндрическую стеклянную трубку.

Еще одним проявлением упорядоченной столбчатой ​​структуры на макроуровне являются структуры пены , заключенные внутри стеклянной трубки. Их можно реализовать экспериментально с помощью мыльных пузырей одинакового размера внутри стеклянной трубки, получаемых продувкой воздуха с постоянным потоком газа через иглу, смоченную в растворе ПАВ. Подвергнув образовавшийся столб пены принудительному дренажу (подавая сверху раствор ПАВ), пене можно придать либо сухую (пузыри в форме многогранников ), либо влажную (сферические пузырьки) структуру.

Благодаря этой простой экспериментальной установке многие столбчатые структуры были обнаружены и исследованы в контексте пен с помощью экспериментов, а также моделирования. Многие модели были проведены с использованием Surface Evolver для исследования сухой структуры или модели твердых сфер для предела влажности, при котором пузырьки имеют сферическую форму.

В зигзагообразной структуре пузырьки расположены друг над другом в непрерывной W-образной форме. сообщили о движущейся границе раздела с увеличением доли жидкости Для этой конкретной структуры Hutzler et al. . в 1997 году. Это включало в себя неожиданный поворотный интерфейс на 180°, объяснение которого до сих пор отсутствует.

Первое экспериментальное наблюдение структуры линейного скольжения было обнаружено Винкельманном и др. в системе пузырьков.

Другие обнаруженные структуры включают сложные структуры с внутренними сферами/ячейками пены. Было обнаружено, что некоторые структуры из сухой пены с внутренними ячейками состоят из цепочки пятиугольных додекаэдров или ячеек Кельвина в центре трубки. было обнаружено, что для многих других устройств этого типа внешний пузырьковый слой упорядочен, причем каждый внутренний слой напоминает другую, более простую столбчатую структуру С помощью рентгеновской томографии .

Нанонаука

Столбчатые структуры также интенсивно изучались в контексте нанотрубок . Их физические или химические свойства можно изменить, заключив внутри них идентичные частицы. Обычно это делается путем самосборки фуллеренов, таких как C60 , C70 или C78, ​​в углеродные нанотрубки. но также нанотрубки из нитрида бора

Такие структуры также собираются, когда частицы наносятся на поверхность сфероцилиндра, как в контексте фармацевтических исследований. Лазаро и др. исследовали морфологию белков вирусного капсида, самоорганизующихся вокруг металлических наностержней. Частицы лекарства наносились на сфероцилиндр как можно плотнее, чтобы обеспечить наилучшее медицинское лечение.

Ву и др. построены стержни размером в несколько микрон. Эти микростержни создаются путем плотной упаковки коллоидных частиц кремнезема внутри цилиндрических пор. Путем затвердевания собранных структур микростержни были визуализированы и исследованы с помощью сканирующей электронной микроскопии (СЭМ).

Столбчатые конструкции также исследуются как возможные кандидаты на роль оптических метаматериалов (т.е. материалов с отрицательным показателем преломления), которые находят применение в суперлинзах. или оптическая маскировка. Танджим и др. конструируют такой резонатор путем самосборки наносфер на поверхности цилиндра. Наносферы суспендированы в растворе ДСН вместе с цилиндром диаметром ${\textstyle D}$, намного больше диаметра наносфер $d$ ( ${\textstyle D/d\approx 3{\text{ to }}5}$). Затем наносферы прилипают к поверхности цилиндров под действием силы истощения .

Классификация с использованием филлотактических обозначений

Наиболее распространенный способ классификации упорядоченных столбчатых структур использует филлотактическую систему обозначений , заимствованную из ботаники. Он используется для описания расположения листьев растения, сосновых шишек или ананасов, а также плоских узоров соцветий в головке подсолнечника. Если в первом случае устройство имеет цилиндрическую форму, то во втором спирали расположены на диске. Для столбчатых структур принят филлотаксис в контексте цилиндрических структур.

Филлотактические обозначения описывают такие структуры тройкой натуральных чисел. $(l=m+n,m,n)$ с ${\textstyle l\geq m\geq n}$. Каждый номер ${\textstyle l}$, $m$, и ${\textstyle n}$ описывает семейство спиралей в трехмерной упаковке. Они подсчитывают количество спиралей в каждом направлении, пока спираль не повторится. Однако это обозначение применимо только к треугольным решеткам и поэтому ограничено упорядоченными структурами без внутренних сфер.

Виды упорядоченных столбчатых структур без внутренних сфер.

Упорядоченные столбчатые структуры без внутренних сфер делятся на два отдельных класса: однородные и линейно-скользящие структуры. Для каждой структуры, которую можно отождествить с триплетом ${\textstyle (l,m,n)}$, существуют однородная структура и хотя бы один сдвиг линии.

Единая структура

Пример единой структуры и соответствующей развернутой контактной сети. Идентичная близость каждой сферы определяет единую структуру.

Однородная структура определяется тем, что каждая сфера имеет одинаковое количество контактирующих соседей. Это дает каждой сфере идентичное соседство. На изображении в качестве примера сбоку каждая сфера имеет шесть соседних контактов.

Количество контактов лучше всего визуализировать в развернутой контактной сети. Создается путем раскатывания контактной сети в плоскость высоты. ${\textstyle z}$ и азимутальный угол ${\textstyle \theta }$ каждой сферы. Для однородной структуры, такой как показанная на изображении в качестве примера, это приводит к правильной шестиугольной решетке . Каждая точка на этом рисунке представляет собой сферу упаковки, а каждая линия — контакт между соседними сферами.

Для всех однородных конструкций с отношением диаметров выше $D/d>2.0$, его характерной особенностью является правильная шестиугольная решетка, поскольку этот тип решетки имеет максимальное количество контактов. Для различных однородных структур $(l,m,n)$ раскатанный рисунок контакта меняется только за счет вращения ${\textstyle z{\text{-}}\theta }$ самолет. Таким образом, каждая однородная структура отличается своим вектором периодичности. ${\textstyle V}$, который определяется филлотактической тройкой $(l,m,n)$.

Линейно-скользящая структура

Пример структуры линейного скольжения и соответствующая развернутая контактная сеть. Проскальзывание линии определяется по потере контактов.

Для каждой однородной структуры также существует родственная, но отличная структура, называемая механизмом линейного скольжения.

Различия между однородными структурами и структурами линейного скольжения незначительны и их трудно обнаружить по изображениям упаковок сфер. Однако, сравнивая их развернутые сети контактов, можно заметить, что некоторые строки (которые представляют контакты) отсутствуют.

Все сферы в однородной структуре имеют одинаковое количество контактов, но количество контактов для сфер в линейном скольжении может отличаться от сферы к сфере. Для примера скольжения линии на изображении справа некоторые сферы насчитывают пять контактов, а другие - шесть. Таким образом, структура линейного скольжения характеризуется этими разрывами или потерей контактов.

Такая структура называется проскальзыванием линии, поскольку в развернутой контактной сети потери контактов происходят вдоль линии. Впервые он был идентифицирован Пикетом и др. , но не называется проскальзыванием линии.

Направление, в котором происходит потеря контактов, можно обозначить филлотактическими обозначениями ${\textstyle (l,m,n)}$, поскольку каждое число представляет один из векторов решетки в гексагональной решетке. Обычно это обозначается жирным номером.

Сдвигая ряд сфер ниже потери контакта с рядом выше потери контакта, можно регенерировать две однородные структуры, связанные с этим скольжением линии. Таким образом, каждое скольжение лески связано с двумя соседними однородными структурами: одной с более высоким, а другой с меньшим соотношением диаметров. ${\textstyle D/d}$.

Винкельманн и др. первыми экспериментально реализовали такую ​​структуру, используя мыльные пузыри в системе деформируемых сфер.

Плотные сферические упаковки в цилиндрах

Оптимальная фракция упаковки для твердых сфер диаметра $d$ внутри цилиндра диаметром $D$.

Столбчатые структуры естественным образом возникают в контексте плотных упаковок твердых сфер внутри цилиндра. Могол и др. исследовали такие упаковки с помощью моделирования отжига до соотношения диаметров ${\textstyle D/d=2.873}$ для диаметра цилиндра ${\textstyle D}$ к диаметру сферы ${\textstyle d}$. Сюда входят некоторые конструкции с внутренними сферами, не контактирующими со стенкой цилиндра.

Они рассчитали долю упаковки для всех этих структур в зависимости от соотношения диаметров. На вершинах этой кривой лежат однородные структуры. Между этими дискретными соотношениями диаметров находятся линейные накладки с более низкой плотностью упаковки. Их фракция упаковки значительно меньше, чем у неограниченной решетчатой ​​упаковки, такой как ГЦК , ОЦК или ГПУ, из-за свободного объема, оставленного цилиндрическим удержанием.

Богатое разнообразие таких упорядоченных структур можно получить и путем последовательного напыления сфер в цилиндр. Чан воспроизвел все плотные упаковки сфер до ${\textstyle D/d<2.7013}$ с использованием алгоритма, в котором сферы последовательно размещаются внутри цилиндра.

Могол и др. также обнаружил, что такие структуры могут быть связаны с дисковыми упаковками на поверхности цилиндра. Контактная сеть обеих насадок идентична. Для обоих типов упаковок обнаружено, что разные однородные структуры связаны друг с другом линейными накладками.

Фу и др. расширил эту работу до более высоких соотношений диаметров ${\textstyle D/d<4.0}$ с помощью линейного программирования и обнаружил 17 новых плотных структур с внутренними сферами, не контактирующими со стенкой цилиндра.

Подобное разнообразие плотных кристаллических структур также было обнаружено для столбчатых упаковок сфероидов с помощью моделирования Монте-Карло . Такие упаковки включают ахиральные структуры с определенной ориентацией сфероидов и хиральные спиральные структуры с ориентацией вращающихся сфероидов.

Столбчатые конструкции, созданные быстрым вращением

Столбчатые конструкции собираются с помощью быстрых вращений вокруг центральной оси, чтобы направить сферы к этой оси.

Еще один динамический метод сборки таких структур был предложен Lee et al . Здесь полимерные шарики помещаются вместе с жидкостью более высокой плотности внутри вращающегося токарного станка .

Когда станок неподвижен, бусины плавают над жидкостью. С увеличением скорости вращения центростремительная сила выталкивает жидкость наружу и шарики к центральной оси. Следовательно, шарики по существу удерживаются потенциалом, задаваемым энергией вращения. $$E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}mR^{2}\omega ^{2},$$где ${\textstyle m}$ - масса бусинок, ${\textstyle R}$ расстояние от центральной оси и ${\textstyle \omega }$ скорость вращения. Из-за ${\textstyle R^{2}}$ По пропорциональности удерживающий потенциал напоминает потенциал цилиндрического гармонического осциллятора .

В зависимости от количества сфер и скорости вращения были обнаружены разнообразные упорядоченные структуры, сравнимые с плотными упаковками сфер.

Комплексную теорию этого эксперимента разработали Винкельманн и др. Он основан на аналитических расчетах энергии с использованием общей модели сферы и предсказывает переходы перитектоидной структуры.

См. также

• Сферическая упаковка
• Плотная упаковка равных сфер
• Проблемы с упаковкой

Внешние ссылки

• Беккер, Аарон Т. и Хуанг, Л. «Упаковка сфер в тонкий цилиндр» . Математический мир .