Положительные и отрицательные наборы

В теории меры для данного измеримого пространства $(X,\Sigma )$ и подписанная мера $\mu$ на нем набор $A\in \Sigma$ называется позитивный набор для $\mu$ если каждый $\Sigma$-измеримое подмножество $A$ имеет неотрицательную меру; то есть для каждого $E\subseteq A$ это удовлетворяет $E\in \Sigma ,$ $\mu (E)\geq 0$ держит.

Аналогично, набор $A\in \Sigma$ называется отрицательный набор для $\mu$ если для каждого подмножества $E\subseteq A$ удовлетворяющий $E\in \Sigma ,$ $\mu (E)\leq 0$ держит.

Интуитивно, измеримое множество $A$ является положительным (соответственно отрицательным) для $\mu$ если $\mu$ неотрицательен (соответственно неположителен) всюду на $A.$ Конечно, если $\mu$ является неотрицательной мерой , каждый элемент $\Sigma$ является положительным набором для $\mu .$

В свете теоремы Радона–Никодима , если $\nu$ является σ-конечной положительной мерой такой, что $|\mu |\ll \nu ,$ набор $A$ является положительным набором для $\mu$ тогда и только тогда, когда производная Радона–Никодима $d\mu /d\nu$ неотрицательен $\nu$- почти везде на $A.$ Аналогично, отрицательное множество — это множество, в котором $d\mu /d\nu \leq 0$ $\nu$-почти везде.

Характеристики

Из определения следует, что каждое измеримое подмножество положительного или отрицательного множества также является положительным или отрицательным. Кроме того, объединение последовательности положительных или отрицательных множеств также является положительным или отрицательным; более формально, если $A_{1},A_{2},\ldots$ является последовательностью положительных множеств, то $$\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$$также является положительным множеством; то же самое произойдет, если слово «положительный» заменить на «негативный».

Множество, одновременно положительное и отрицательное, представляет собой $\mu$- нулевой набор , если $E$ является измеримым подмножеством положительного и отрицательного множества $A,$ тогда оба $\mu (E)\geq 0$ и $\mu (E)\leq 0$ должно соблюдаться, и, следовательно, $\mu (E)=0.$

Разложение Хана

Теорема Хана о разложении утверждает, что для любого измеримого пространства $(X,\Sigma )$ с подписанной мерой $\mu ,$ есть раздел ​ $X$ на положительный и отрицательный набор; такой раздел $(P,N)$ уникален до $\mu$-нулевые множества и называется разложением Хана знаковой меры. $\mu .$

Учитывая разложение Хана $(P,N)$ из $X,$ это легко показать $A\subseteq X$ является положительным множеством тогда и только тогда, когда $A$ отличается от подмножества $P$ по $\mu$-нулевой набор; эквивалентно, если $A\setminus P$ является $\mu$-нулевой. То же самое верно и для отрицательных множеств, если $N$ используется вместо $P.$

См. также

• Функция набора – функция преобразования наборов в числа.