Лемма Винера

В математике лемма Винера — известное тождество, связывающее асимптотическое поведение коэффициентов Фурье борелевской меры на окружности с ее атомной частью. Этот результат допускает аналогичное утверждение для мер на действительной прямой . Впервые его обнаружил Норберт Винер .

Заявление

• Учитывая действительную или комплексную борелевскую меру $\mu$ на единичном круге $\mathbb {T}$, позволять $\mu _{a}=\sum _{j}c_{j}\delta _{z_{j}}$ быть его атомарной частью (это означает, что $\mu (\{z_{j}\})=c_{j}\neq 0$ и $\mu (\{z\})=0$ для $z\not \in \{z_{j}\}$. Затем

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=\sum _{j}|c_{j}|^{2},$

где ${\widehat {\mu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }z^{-n}\,d\mu (z)$ это $n$-й коэффициент Фурье $\mu$.

• Аналогично, учитывая действительную или комплексную борелевскую меру $\mu$ на реальной линии $\mathbb {R}$ и позвонил $\mu _{a}=\sum _{j}c_{j}\delta _{x_{j}}$ его атомная часть, мы имеем

$\lim _{R\to \infty }{\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}|{\widehat {\mu }}(\xi )|^{2}\,d\xi =\sum _{j}|c_{j}|^{2},$

где ${\widehat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi x}\,d\mu (x)$ представляет собой Фурье преобразование $\mu$.

Доказательство

• Прежде всего, заметим, что если $\nu$ является комплексной мерой на окружности, тогда

${\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }f_{N}(z)\,d\nu (z),$

с $f_{N}(z)={\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}z^{-n}$. Функция $f_{N}$ ограничен $1$ по абсолютной величине и имеет $f_{N}(1)=1$, пока $f_{N}(z)={\frac {z^{N+1}-z^{-N}}{(2N+1)(z-1)}}$ для $z\in \mathbb {T} \setminus \{1\}$, который сходится к $0$ как $N\to \infty$. Следовательно, по теореме о доминируемой сходимости ,

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }1_{\{1\}}(z)\,d\nu (z)=\nu (\{1\}).$

Теперь мы берем $\mu '$ быть инициатором ​ ${\overline {\mu }}$ под обратной картой на $\mathbb {T}$, а именно $\mu '(B)={\overline {\mu (B^{-1})}}$ для любого набора Бореля $B\subseteq \mathbb {T}$. Эта комплексная мера имеет коэффициенты Фурье ${\widehat {\mu '}}(n)={\overline {{\widehat {\mu }}(n)}}$. Мы собираемся применить вышесказанное к свертке между $\mu$ и $\mu '$, а именно выбираем $\nu =\mu *\mu '$, это означает, что $\nu$ это продвижение меры $\mu \times \mu '$ (на $\mathbb {T} \times \mathbb {T}$) под картой товара $\cdot :\mathbb {T} \times \mathbb {T} \to \mathbb {T}$. По теории Фубини

${\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} \times \mathbb {T} }(zw)^{-n}\,d(\mu \times \mu ')(z,w)=\int _{\mathbb {T} }\int _{\mathbb {T} }z^{-n}w^{-n}\,d\mu '(w)\,d\mu (z)={\widehat {\mu }}(n){\widehat {\mu '}}(n)=|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}.$

Итак, по тождеству, полученному ранее, $\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=\nu (\{1\})=\int _{\mathbb {T} \times \mathbb {T} }1_{\{zw=1\}}\,d(\mu \times \mu ')(z,w).$ Опять же по теореме Фубини правая часть равна

$\int _{\mathbb {T} }\mu '(\{z^{-1}\})\,d\mu (z)=\int _{\mathbb {T} }{\overline {\mu (\{z\})}}\,d\mu (z)=\sum _{j}|\mu (\{z_{j}\})|^{2}=\sum _{j}|c_{j}|^{2}.$

• Доказательство аналогичного утверждения для вещественной прямой идентично, за исключением того, что мы используем тождество

${\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}{\widehat {\nu }}(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} }f_{R}(x)\,d\nu (x)$

(что следует из теоремы Фубини ), где $f_{R}(x)={\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi$. Мы наблюдаем, что $|f_{R}|\leq 1$, $f_{R}(0)=1$ и $f_{R}(x)={\frac {e^{2\pi iRx}-e^{-2\pi iRx}}{4\pi iRx}}$ для $x\neq 0$, который сходится к $0$ как $R\to \infty$. Итак, благодаря доминируемой сходимости мы имеем аналогичное тождество

$\lim _{R\to \infty }{\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}{\widehat {\nu }}(\xi )\,d\xi =\nu (\{0\}).$

Последствия

• Действительная или комплексная мера Бореля. $\mu$ на круге является размытым (т.е. $\mu _{a}=0$) тогда и только тогда, когда $\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=0$.
• мера Вероятностная $\mu$ на окружности является массой Дирака тогда и только тогда, когда $\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=1$. (Здесь нетривиальная импликация следует из того, что веса $c_{j}$ позитивны и удовлетворяют $1=\sum _{j}c_{j}^{2}\leq \sum _{j}c_{j}\leq 1$, что заставляет $c_{j}^{2}=c_{j}$ и таким образом $c_{j}=1$, так что должен существовать один атом с массой $1$.)