Лемма Фростмана

В математике , а точнее, в теории фрактальных размерностей , лемма Фростмана представляет собой удобный инструмент для оценки хаусдорфовой размерности множеств.

Лемма: Пусть A борелевское — подмножество R ^н , и пусть s > 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• ЧАС ^с ( A ) > 0, где H ^с обозначает s -мерную меру Хаусдорфа .
• Существует (беззнаковая) борелевская мера µ на ​​R ^н удовлетворяющее µ ( A ) > 0 и такое, что

$\mu (B(x,r))\leq r^{s}$

справедливо для всех x ∈ R ^н и г >0.

Отто Фростман доказал эту лемму для замкнутых множеств A в рамках своей докторской диссертации в Лундском университете в 1935 году. Обобщение на борелевские множества более сложное и требует теории множеств Суслина .

Полезное следствие леммы Фростмана требует понятия s -емкости борелевского множества A ⊂ R. ^н , который определяется

$C_{s}(A):=\sup {\Bigl \{}{\Bigl (}\int _{A\times A}{\frac {d\mu (x)\,d\mu (y)}{|x-y|^{s}}}{\Bigr )}^{-1}:\mu {\text{ is a Borel measure and }}\mu (A)=1{\Bigr \}}.$

(Здесь мы берем inf ∅ = ∞ и 1 ⁄ ∞ = 0. Как и раньше, мера $\mu$ без знака.) Из леммы Фростмана следует, что для Бореля A ⊂ R ^н

$\mathrm {dim} _{H}(A)=\sup\{s\geq 0:C_{s}(A)>0\}.$

Веб-страницы

• Иллюстрирование мер Фростмана

Дальнейшее чтение

• Маттила, Пертти (1995), Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 44, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-65595-8 , МР   1333890