Внутренняя регулярная мера

В математике внутренняя регулярная мера — это такая мера, для которой мера множества может быть аппроксимирована изнутри компактными подмножествами .

Определение

Пусть ( X , T ) — Хаусдорфа топологическое пространство , и пусть Σ — σ-алгебра на X , содержащая топологию T (так что каждое открытое множество является измеримым множеством , а Σ не менее тонка, чем борелевская σ-алгебра на Х ). Тогда мера µ на ​​измеримом пространстве ( X , Σ) называется внутренней регулярной , если для любого множества A из Σ

$\mu (A)=\sup\{\mu (K)\mid {\text{compact }}K\subseteq A\}.$

Это свойство иногда называют «аппроксимацией изнутри компактами».

Некоторые авторы используйте термин «плотный» как синоним внутреннего регулярного. Такое использование термина тесно связано с теснотой семейства мер , поскольку конечная мера µ является внутренне регулярной тогда и только тогда , когда для всех ε > 0 существует некоторое компактное подмножество K в X такое, что µ ( X \ K ) < ε . Это как раз то условие, что одноэлементный набор мер { µ } является тесным.

Примеры

Когда вещественной прямой R придается обычная евклидова топология,

• Мера Лебега на R внутренне регулярна; и
• Гауссова мера ( нормальное распределение на R ) является внутренней регулярной вероятностной мерой .

Однако если топология на R изменится, то эти меры могут перестать быть внутренне регулярными. Например, если R задана топология нижнего предела (которая порождает ту же σ-алгебру, что и евклидова топология), то обе вышеуказанные меры не могут быть внутренне регулярными, поскольку компакты в этой топологии обязательно счетны и, следовательно, измерить ноль.

См. также

• Радоновая мера
• Регулярная мера