Т-функция Оуэна

В математике T-функция Оуэна T ( h , a ), названная в честь статистика Дональда Брюса Оуэна, определяется формулой

T(h,a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}(1+x^{2})}}{1+x^{2}}}dx\quad \left(-\infty <h,a<+\infty \right).

Функция была впервые введена Оуэном в 1956 году. ^{[ 1 ]}

Приложения

Функция T ( h , a ) дает вероятность события ( X > h и 0 < Y < aX ), где X и Y — независимые стандартные нормальные случайные величины .

Доступны компьютерные алгоритмы для точного расчета этой функции; ^{[ 5 ]} квадратура используется с 1970-х годов. ^{[ 6 ]}

T(h,0)=0

T(0,a)={\frac {1}{2\pi }}\arctan(a)

T(-h,a)=T(h,a)

T(h,-a)=-T(h,a)

T(h,a)+T\left(ah,{\frac {1}{a}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)&{\text{if}}\quad a\geq 0\\{\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)-{\frac {1}{2}}&{\text{if}}\quad a<0\end{cases}}

T(h,1)={\frac {1}{2}}\Phi (h)\left(1-\Phi (h)\right)

\int T(0,x)\,\mathrm {d} x=xT(0,x)-{\frac {1}{4\pi }}\ln \left(1+x^{2}\right)+C

\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,\mathrm {d} t

Дополнительные свойства можно найти в литературе. ^{[ 7 ]}

^ Оуэн, Д.Б. (1956). «Таблицы для вычисления двумерных нормальных вероятностей». Анналы математической статистики , 27, 1075–1090.
^ Соуден, Р.Р. и Эшфорд, младший (1969). «Вычисление двумерного нормального интеграла». Прикладная статистика , 18, 169–180.
^ Донелли, Т.Г. (1973). «Алгоритм 462. Двумерное нормальное распределение». Коммун. Жопа. Вычисл.Мач. , 16, 638.
^ Шервиш, М.Х. (1984). «Многомерные нормальные вероятности с границей ошибки ». Прикладная статистика , 33, 81–94.
^ Пейтфилд, М. и Тэнди, Д. (2000) « Быстрый и точный расчет Т-функции Оуэна », Журнал статистического программного обеспечения , 5 (5), 1–25.
^ Джей Си Янг и Кристоф Миндер. Алгоритм АС 76
^ Оуэн (1980)

Оуэн, Д. (1980). «Таблица нормальных интегралов». Коммуникации в статистике: моделирование и вычисления . Б9 (4): 389–419. дои : 10.1080/03610918008812164 .

Функция T Оуэна (веб-сайт пользователя) — предлагает библиотеки C++, FORTRAN77, FORTRAN90 и MATLAB, выпущенные под лицензией LGPL LGPL.
Т-функция Оуэна реализована в системе Mathematica начиная с версии 8 как OwenT .

Эта статистике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .