Поддержка (математика)

Информацию о других применениях в математике см. в разделе «Поддержка § Математика» .

В математике поддержка ​ действительной ​ функции $f$ — это подмножество функции, области содержащее элементы, которые не отображаются в ноль. Если домен $f$ является топологическим пространством , то носитель $f$ вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество , содержащее все точки, не сопоставленные с нулем. Это понятие широко используется в математическом анализе .

Формулировка

Предположим, что $f:X\to \mathbb {R}$ - функция с действительным знаком, областью определения которой является произвольное множество $X.$ теоретико-множественная поддержка $f,$ написано $\operatorname {supp} (f),$ это набор точек в $X$ где $f$ не равно нулю: $$\operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.$$

Поддержка $f$ представляет собой наименьшее подмножество $X$ с имуществом, которое $f$ равно нулю в дополнении подмножества. Если $f(x)=0$ для всех, кроме конечного числа точек $x\in X,$ затем $f$ говорят, что есть конечная поддержка .

Если набор $X$ имеет дополнительную структуру (например, топологию ), то поддержка $f$ определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество $X$ соответствующего типа, такого, что $f$ исчезает в соответствующем смысле на своем дополнении. Понятие опоры также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих множествах, чем $\mathbb {R}$ и к другим объектам, таким как меры или распределения .

Закрытая поддержка

Наиболее распространенная ситуация возникает, когда $X$ является топологическим пространством (таким как действительная линия или $n$-мерное евклидово пространство ) и $f:X\to \mathbb {R}$ представляет собой непрерывную вещественную (или комплексную ) функцию. В этом случае поддержка ​ $f$, $\operatorname {supp} (f)$или закрытая поддержка $f$, топологически определяется как замыкание (взятое в $X$) подмножества $X$ где $f$ ненулевое значение то есть, $$\operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.$$

Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, $\operatorname {supp} (f)$ является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественный носитель $f.$

Например, если $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ это функция, определяемая $$f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}$$затем $\operatorname {supp} (f)$, поддержка $f$, или закрытая поддержка $f$, – закрытый интервал $[-1,1],$ с $f$ не равно нулю на открытом интервале $(-1,1)$ и замыкание этого множества есть $[-1,1].$

Понятие замкнутого носителя обычно применяется к непрерывным функциям, но это определение имеет смысл для произвольных действительных или комплекснозначных функций в топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы $f:X\to \mathbb {R}$ (или $f:X\to \mathbb {C}$) быть непрерывным.

Компактная поддержка

Функции с компактный носитель в топологическом пространстве $X$ – это те, чей замкнутый носитель представляет собой компактное подмножество $X.$ Если $X$ это реальная линия, или $n$-мерном евклидовом пространстве, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченная поддержка , поскольку подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Например, функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определенное выше, является непрерывной функцией с компактным носителем $[-1,1].$ Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является гладкой функцией, тогда, поскольку $f$ тождественно $0$ на открытом подмножестве $\mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),$ все $f$Частные производные всех порядков также тождественны $0$ на $\mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).$

Условие компактности сильнее условия исчезновения на бесконечности . Например, функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $$f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$$исчезает на бесконечности, так как $f(x)\to 0$ как $|x|\to \infty ,$ но его поддержка $\mathbb {R}$ не компактен.

с компактным носителем Гладкие функции в евклидовом пространстве называются функциями рельефа . Смягчители являются важным частным случаем функций рельефа, поскольку их можно использовать в теории распределения для создания последовательностей гладких функций, аппроксимирующих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки .

В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, исчезающих на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования в данном примере. Как интуиция для более сложных примеров, так и на языке пределов для любых $\varepsilon >0,$ любая функция $f$ на реальной линии $\mathbb {R}$ которое обращается в нуль на бесконечности, можно аппроксимировать выбором подходящего компактного подмножества $C$ из $\mathbb {R}$ такой, что $$\left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon$$для всех $x\in X,$ где $I_{C}$ – индикаторная функция $C.$ Каждая непрерывная функция в компактном топологическом пространстве имеет компактный носитель, поскольку каждое замкнутое подмножество компакта действительно компактно.

Основная поддержка

Если $X$ является топологическим пространством меры с борелевской мерой $\mu$ (такой как $\mathbb {R} ^{n},$ или измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R} ^{n},$ оснащен мерой Лебега), то обычно выделяют функции, равные $\mu$-почти везде. В этом случае существенная поддержка измеримой функции $f:X\to \mathbb {R}$ написано $\operatorname {ess\,supp} (f),$ определяется как наименьшее закрытое подмножество $F$ из $X$ такой, что $f=0$ $\mu$-почти везде снаружи $F.$ Эквивалентно, $\operatorname {ess\,supp} (f)$ является дополнением наибольшего открытого множества , на котором $f=0$ $\mu$-почти везде $$\operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.$$

Существенная поддержка функции $f$ зависит от меры $\mu$ а также на $f,$ и оно может быть строго меньше закрытой опоры. Например, если $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ это функция Дирихле, которая $0$ об иррациональных числах и $1$ о рациональных числах и $[0,1]$ оснащена мерой Лебега, то носитель $f$ это весь интервал $[0,1],$ но необходимая поддержка $f$ пусто, поскольку $f$ почти всюду равна нулевой функции.

В анализе почти всегда хочется использовать существенную поддержку функции, а не ее закрытую поддержку, когда два множества различны, поэтому $\operatorname {ess\,supp} (f)$ часто пишется просто как $\operatorname {supp} (f)$ и называется поддержкой.

Обобщение

Если $M$ — произвольное множество, содержащее нуль, понятие носителя немедленно обобщается на функции $f:X\to M.$ Поддержка также может быть определена для любой алгебраической структуры с единицей (например, группы , моноида или композиционной алгебры ), в которой единичный элемент принимает на себя роль нуля. Например, семья $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$ функций от натуральных чисел к целым — это несчетное множество целочисленных последовательностей. Подсемейство $\left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}$ — счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют лишь конечное число ненулевых элементов.

Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы .

В теории вероятностей и меры

Дополнительная информация: Поддержка (теория меры)

В теории вероятностей поддержку распределения вероятностей можно рассматривать как замыкание множества возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.

Более формально, если $X:\Omega \to \mathbb {R}$ является случайной величиной на $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ тогда поддержка $X$ это наименьшее замкнутое множество $R_{X}\subseteq \mathbb {R}$ такой, что $P\left(X\in R_{X}\right)=1.$

Однако на практике поддержка дискретной случайной величины $X$ часто определяется как набор $R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}$ и поддержка непрерывной случайной величины $X$ определяется как набор $R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}$ где $f_{X}(x)$ представляет собой плотности вероятности функцию $X$ ( теоретико-множественная поддержка ).

Обратите внимание, что слово поддержка» может относиться к логарифму вероятности « функции плотности вероятности.

Поддержка дистрибутива

Можно также говорить о поддержке распределения , такого как дельта-функция Дирака. $\delta (x)$ на реальной линии. В этом примере мы можем рассмотреть тестовые функции $F,$ которые являются гладкими функциями с носителем, не включая точку $0.$ С $\delta (F)$ (распределение $\delta$ применяется как линейный функционал к $F$) является $0$ для таких функций можно сказать, что поддержка $\delta$ является $\{0\}$ только. Поскольку меры (в том числе и вероятностные меры ) на действительной прямой являются частными случаями распределений, то точно так же можно говорить и о носителе меры.

Предположим, что $f$ это распределение, и это $U$ — открытое множество в евклидовом пространстве такое, что для всех тестовых функций $\phi$ такая, что поддержка $\phi$ содержится в $U,$ $f(\phi )=0.$ Затем $f$ говорят, исчезает на $U.$ Теперь, если $f$ исчезает в произвольном семействе $U_{\alpha }$ открытых множеств, то для любой тестовой функции $\phi$ поддерживается в ${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$ простой аргумент, основанный на компактности носителя $\phi$ и разбиение единицы показывает, что $f(\phi )=0$ также. Следовательно, мы можем поддержку определить $f$ как дополнение к самому большому открытому множеству, на котором $f$ исчезает. Например, поддержка дельты Дирака $\{0\}.$

Единая поддержка

В частности, в анализе Фурье интересно изучить Единственная поддержка дистрибутива. Это имеет интуитивную интерпретацию как набор точек, в которых распределение не может быть гладкой функцией .

Например, преобразование Фурье можно ступенчатой ​​функции Хевисайда с точностью до постоянных коэффициентов считать равным $1/x$ (функция), исключением за $x=0.$ Пока $x=0$ это явно особая точка, точнее сказать, что преобразование распределения имеет сингулярный носитель $\{0\}$: его нельзя точно выразить как функцию по отношению к тестовым функциям с поддержкой, включая $0.$ Его можно выразить как применение интеграла главного значения Коши несобственного .

Для распределений нескольких переменных сингулярные носители позволяют определить множества волновых фронтов и понять принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа . Сингулярные носители также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки «перемножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака терпит неудачу - главным образом потому, что сингулярные носители умножаемых распределений должны быть непересекающимися).

Семья поддержки

Абстрактное понятие семейство носителей в топологическом пространстве $X,$ подходящий для теории пучков , был определен Анри Картаном . При распространении двойственности Пуанкаре на многообразия некомпактные идея «компактного носителя» естественным образом возникает с одной стороны двойственности; см., например, когомологии Александера-Спанье .

Бредон, «Теория связки» (2-е издание, 1997 г.) дает такие определения. Семья $\Phi$ закрытых подмножеств $X$ является семейством опор , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его степень - это объединение $\Phi .$ семейство Паракомпактифицирующее носителей, удовлетворяющее больше, чем любое $Y$ в $\Phi$ с топологией подпространства пространством является паракомпактным ; и имеет некоторые $Z$ в $\Phi$ что такое район . Если $X$ является локально компактным пространством , предполагается, что Хаусдорф семейство всех компактных подмножеств удовлетворяет дальнейшим условиям, что делает его паракомпактным.

См. также

• Ограниченная функция – математическая функция, набор значений которой ограничен.
• Функция Bump – плавная и компактная функция
• Поддержка модуля
• Теорема Титчмарша о свертке

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .