Модуль Вейбулла

Модуль Вейбулла — безразмерный параметр распределения Вейбулла . Он представляет собой ширину функции плотности вероятности (PDF), в которой более высокий модуль является характеристикой более узкого распределения значений. Примеры вариантов использования включают анализ разрушения биологических и хрупких материалов , где модуль используется для описания изменчивости прочности материалов на разрушение.

Определение

CDF распределения Вейбулла на примере прогнозирования разрушения материалов, σ ₀ = 50 МПа

Распределение Вейбулла, представленное как кумулятивная функция распределения (CDF), определяется следующим образом:

$F(x)=1-\exp(-({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}})^{m})$

где m — модуль Вейбулла. $x_{0}$ — это параметр, обнаруживаемый при подгонке данных к распределению Вейбулла, и представляет собой входное значение, в которое включено ~67% данных. По мере увеличения m распределение CDF больше напоминает ступенчатую функцию при $x_{0}$, что коррелирует с более острым пиком функции плотности вероятности (PDF), определяемой следующим образом:

$f(x)=({\frac {m}{x_{0}}})({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}})^{m-1}\exp(-({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}})^{m})$

PDF распределения Вейбулла на примере прогнозирования разрушения материалов, σ ₀ = 50 МПа

PDF бимодального распределения Вейбулла с модулями Вейбулла 4 и 10 и характеристическими нагрузками 40 и 120 МПа.

Анализ отказов часто использует это распределение. как ВРУ вероятности разрушения F образца в зависимости от приложенного напряжения σ в виде:

$F(\sigma )=1-\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]$

Напряжение разрушения образца σ заменяется $x$ свойство в приведенном выше уравнении. Начальное свойство $x_{u}$ принимается равным 0 — ненапряженному равновесному состоянию материала.

На графике CDF Вейбулла стоит отметить, что все построенные функции пересекаются при значении напряжения 50 МПа, характерной прочности для распределений, даже несмотря на то, что значения модулей Вейбулла различаются. На графике PDF-файла Вейбулла также стоит отметить, что более высокий модуль Вейбулла приводит к более крутому наклону графика.

Распределение Вейбулла также может быть мультимодальным, в котором будет сообщаться несколько $x_{0}$ значения и множественные сообщаемые модули, м. CDF для бимодального распределения Вейбулла имеет следующий вид: применительно к анализу разрушения материалов:

$F(\sigma )=1-\phi \exp[(-({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}})^{m_{1}}]-(1-\phi )\exp[-({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}})^{m_{2}}]$

Это представляет собой материал, который разрушается двумя разными способами. В этом уравнении m ₁ представляет собой модуль первой моды, а m ₂ представляет собой модуль второй моды. Φ — доля набора образцов, не удавшаяся по первому режиму. Соответствующий PDF-файл определяется: $f(\sigma )=\phi ({\frac {m_{1}}{\sigma _{01}}})({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}})^{m_{1}-1}\exp[-({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}})^{m_{1}}]+(1-\phi )({\frac {m_{2}}{\sigma _{02}}})({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}})^{m_{2}-1}\exp[-({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}})^{m_{2}}]$

CDF бимодального распределения Вейбулла с модулями Вейбулла 4 и 10 и характеристическими прочностями 40 и 120 МПа.

На рисунках настоящей статьи представлены примеры бимодальных PDF и CDF Вейбулла со значениями характеристической прочности 40 и 120 МПа, модулями Вейбулла 4 и 10, значением Φ 0,5, что соответствует 50% образцы, разрушающиеся по каждому виду разрушения.

Линеаризация CDF

Дополнение кумулятивной функции распределения Вейбулла можно выразить как:

$P=1-F$

Где P соответствует вероятности выживания образца при заданном значении напряжения. Таким образом, следует, что:

$P(\sigma )=1-\left[1-\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]\right]=\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]$

где m — модуль Вейбулла. Если построить график зависимости вероятности от напряжения, мы обнаружим, что график имеет сигмоидальную форму, как показано на рисунке выше. Воспользовавшись тем фактом, что экспонента является основанием натурального логарифма, приведенное выше уравнение можно преобразовать в следующий вид:

Линеаризация CDF Вейбулла, показанная выше.

$\ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=\ln \left[\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{m}\right]$

Что, используя свойства логарифмов, также можно выразить как:

$\ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=m\ln(\sigma )-m\ln(\sigma _{0})$

Когда левая часть этого уравнения отображается как функция натурального логарифма напряжения, можно построить линейный график, который имеет наклон модуля Вейбулла, м, и точку пересечения с координатой x $\ln(\sigma _{0})$.

Глядя на график линеаризации CDF сверху, можно увидеть, что все линии пересекают ось x в одной и той же точке, поскольку все функции имеют одинаковое значение характеристической силы. Наклоны различаются из-за разных значений модулей Вейбулла.

Измерение

Организации по стандартизации создали несколько стандартов для измерения и представления значений параметров Вейбулла, а также для другого статистического анализа данных прочности:

• ASTM C1239-13: Стандартная практика представления данных об одноосной прочности и оценки параметров распределения Вейбулла для усовершенствованной керамики
• ASTM D7846-21: Стандартная практика представления данных об одноосной прочности и оценки параметров распределения Вейбулла для усовершенствованных графитов
• ISO 20501:2019 Тонкая керамика (усовершенствованная керамика, усовершенствованная техническая керамика) — статистика Вейбулла для данных о прочности
• ANSI DIN EN 843-5:2007 Передовая техническая керамика. Механические свойства монолитной керамики при комнатной температуре. Часть 5: Статистический анализ

При применении распределения Вейбулла к набору данных точки данных сначала необходимо расположить в ранжированном порядке. В случае анализа отказов прочность образцов на разрушение ранжируется в порядке возрастания, т.е. от наименьшей прочности к наибольшей. Затем каждому измеренному уровню разрушения присваивается вероятность отказа согласно ASTM C1239-13. использует следующую формулу:

$F(\sigma )={\frac {i-0.5}{N}}$

где $i$ номер образца в соответствии с ранжированием и $N$ – общее количество экземпляров в выборке. Оттуда $F$ можно построить график зависимости от прочности на разрушение, чтобы получить CDF Вейбулла. Параметры Вейбулла, модуль и характеристическая прочность, могут быть получены путем подбора или с использованием метода линеаризации, подробно описанного выше.

Пример использования из опубликованной работы

Статистика Вейбулла часто используется для керамики и других хрупких материалов. Они также применялись и в других областях, например, в метеорологии , где скорость ветра часто описывается с использованием статистики Вейбулла.

Керамика и хрупкие материалы

Для керамики и других хрупких материалов максимальное напряжение , которое может выдержать образец до разрушения, может варьироваться от образца к образцу, даже при идентичных условиях испытаний. Это связано с распределением физических дефектов, присутствующих на поверхности или теле хрупкого образца, поскольку хрупкого разрушения именно в этих слабых местах зарождаются процессы . Большая работа была проделана для описания хрупкого разрушения в области механики линейного упругого разрушения и, в частности, с развитием идей коэффициента интенсивности напряжений и критерия Гриффитса . Когда дефекты согласованы и равномерно распределены, образцы будут вести себя более однородно, чем когда дефекты сгруппированы непоследовательно. Это необходимо учитывать при описании прочности материала, поэтому прочность лучше всего представлять как распределение значений, а не как одну конкретную величину.

Рассмотрим измерения прочности, выполненные на множестве небольших образцов хрупкого керамического материала. Если измерения показывают небольшие различия от образца к образцу, рассчитанный модуль Вейбулла будет высоким, и одно значение прочности будет служить хорошим описанием характеристик от образца к образцу. Можно сделать вывод, что его физические дефекты, присущие самому материалу или возникающие в результате производственного процесса, равномерно распределены по всему материалу. Если измерения показывают большие вариации, рассчитанный модуль Вейбулла будет низким; это показывает, что дефекты группируются непоследовательно, а измеренная прочность, как правило, будет слабой и непостоянной. Изделия, изготовленные из компонентов с низким модулем Вейбулла, будут обладать низкой надежностью, а их сильные стороны будут широко распространены. При тщательном производственном процессе для стеклянных волокон, испытанных на растяжение, были обнаружены модули Вейбулла до 98.

Приведена таблица модулей Вейбулла для нескольких распространенных материалов. Однако важно отметить, что модуль Вейбулла является подходящим параметром на основе данных о прочности, и поэтому сообщаемое значение может варьироваться от источника к источнику. Он также зависит от метода подготовки проб и тестирования и может быть изменен в случае изменения анализа или производственного процесса.

Таблица модулей Вейбулла для распространенных материалов

Материал	Модуль Вейбулла
Нитрид кремния	20
Карбид кремния	18
Нитрид алюминия	10
Оксид алюминия (98%)	10
Оксид алюминия (99%)	10
Цирконий, закаленный оксид алюминия (ZTA)	13
Карбид Бора	12
Диборид титана	11
Цирконий	15

Органические материалы

Исследования органических хрупких материалов подчеркивают постоянство и изменчивость модуля Вейбулла в природной керамике, такой как человеческий дентин и перламутр морского ушка. Исследования дентина человека Образцы показывают, что модуль Вейбулла остается стабильным на различной глубине или в разных местах внутри зуба, со средним значением примерно 4,5 и диапазоном от 3 до 6. Вариации модуля предполагают различия в количестве дефектов между отдельными зубами, что, как полагают, вызвано случайные дефекты, возникшие при подготовке образца. Существуют предположения относительно потенциального уменьшения модуля Вейбулла с возрастом из-за изменений в распределении дефектов и чувствительности к напряжениям. Разрушение дентина обычно начинается с этих дефектов, которые могут быть внутренними или внешними по происхождению и возникать из-за таких факторов, как подготовка полости, износ, повреждение или циклическая нагрузка.

Исследования раковины морского ушка иллюстрируют ее уникальные структурные изменения, приносящие в жертву прочность на растяжение, перпендикулярную ее структуре, в пользу повышения прочности параллельно расположению плиток. Модуль Вейбулла образцов перламутра морского ушка определяется как 1,8, что указывает на умеренную степень изменчивости прочности среди образцов.

Квазихрупкие материалы

Модуль Вейбулла квазихрупких материалов коррелирует с уменьшением наклона спектра энергетического барьера, как это установлено в механики разрушения моделях . Это соотношение позволяет определить как наклон снижения спектра энергетического барьера разрушения, так и модуль Вейбулла, принимая во внимание такие факторы, как взаимодействие трещин и разрушение, вызванное дефектами. В модуле Вейбулла квазихрупких материалов наблюдаются температурная зависимость и изменения из-за взаимодействия трещин или взаимодействия полей напряжений. Накопление повреждений приводит к быстрому уменьшению модуля Вейбулла, что приводит к смещению вправо распределения с меньшим модулем Вейбулла по мере увеличения повреждения.

Анализ качества

Анализ Вейбулла также используется при контроле качества и «анализе жизни». для продуктов. Более высокий модуль Вейбулла позволяет компаниям более уверенно прогнозировать срок службы своей продукции при определении гарантийных сроков.

Другие методы определения характеристик хрупких материалов

Еще один метод определения прочности хрупких материалов был описан в статье Wikibook. Определение слабейшего звена с использованием трехпараметрической статистики Вейбулла .