Расхождение Кульбака – Лейблера

В математической статистике Кульбака -Лейблера ( KL ) дивергенция (также называемая относительной энтропией и I-дивергенцией) ), обозначенный $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$, — это тип статистического расстояния : мера того, насколько одно вероятностей P отличается от второго, эталонного распределения вероятностей Q. распределение Математически это определяется как

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}P(x)\ \log \left({\frac {\ P(x)\ }{Q(x)}}\right).$

Простая интерпретация KL-расхождения P и Q — это ожидаемое избыточное удивление от использования Q в качестве модели вместо P когда фактическое распределение равно P. , Хотя это мера того, насколько различны два распределения, и, таким образом, в некотором смысле является «расстоянием», на самом деле это не метрика , которая является наиболее знакомым и формальным типом расстояния. В частности, оно не симметрично в двух распределениях (в отличие от изменения информации ) и не удовлетворяет неравенству треугольника . Вместо этого, с точки зрения информационной геометрии , это своего рода дивергенция . обобщение квадрата расстояния , и для определенных классов распределений (особенно экспоненциального семейства ) оно удовлетворяет обобщенной теореме Пифагора (которая применяется к квадратам расстояний).

Относительная энтропия всегда представляет собой неотрицательное действительное число со значением 0 тогда и только тогда, когда два рассматриваемых распределения идентичны. Он имеет разнообразные приложения, как теоретические, такие как характеристика относительной (Шенноновской) энтропии в информационных системах, случайности в непрерывных временных рядах , так и прирост информации при сравнении статистических моделей вывода ; и практические, такие как прикладная статистика, механика жидкости , нейробиология , биоинформатика и машинное обучение .

Введение и контекст

Рассмотрим два распределения P и Q. вероятностей Обычно P представляет данные, наблюдения или измеренное распределение вероятностей. Вместо этого распределение Q представляет собой теорию, модель, описание или приближение P . Расхождение Кульбака – Лейблера $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ затем интерпретируется как средняя разница количества битов, необходимых для кодирования выборок P с использованием кода, оптимизированного для Q, а не кода, оптимизированного P. для Обратите внимание, что роли P и Q можно поменять местами в некоторых ситуациях, когда это легче вычислить, например, с помощью алгоритма максимизации ожидания (EM) и вычислений нижней границы доказательств (ELBO) .

Этимология

Относительная энтропия была введена Соломоном Кульбаком и Ричардом Лейблером в работе Kullback & Leibler (1951) как «средняя информация для различения между $H_{1}$ и $H_{2}$ за наблюдение от $\mu _{1}$", где сравниваются две вероятностные меры $\mu _{1},\mu _{2}$, и $H_{1},H_{2}$ — это гипотезы, которые выбираются из меры $\mu _{1},\mu _{2}$ (соответственно). Они обозначали это $I(1:2)$и определил «расхождение» между $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$" как симметризованная величина $J(1,2)=I(1:2)+I(2:1)$, который уже был определен и использован Гарольдом Джеффрисом в 1948 году. У Кульбака (1959) симметризованная форма снова называется «дивергенцией», а относительные энтропии в каждом направлении называются «направленными дивергенциями» между двумя распределениями; Кульбак предпочитал термин «дискриминационная информация» . Термин «дивергенция» противоположен расстоянию (метрике), поскольку симметризованная дивергенция не удовлетворяет неравенству треугольника. Многочисленные ссылки на более раннее использование симметризованной дивергенции и других статистических расстояний даны у Кульбака (1959 , стр. 6–7, §1.3 Дивергенция). Асимметричная «направленная дивергенция» стала известна как дивергенция Кульбака – Лейблера, а симметризованная «дивергенция» теперь называется дивергенцией Джеффриса .

Определение

Для дискретных распределений вероятностей P и Q, определенных в одном и том же выборочном пространстве , $\ {\mathcal {X}}\ ,$ относительная энтропия от Q до P определяется быть

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}P(x)\ \log \left({\frac {\ P(x)\ }{Q(x)}}\right)\ ,$

что эквивалентно

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}P(x)\ \log \left({\frac {\ Q(x)\ }{P(x)}}\right)~.$

Другими словами, это математическое ожидание логарифмической разницы между вероятностями P и Q , где ожидание берется с использованием P. вероятностей

Относительная энтропия определяется таким образом только в том случае, если для x всех $\ Q(x)=0\$ подразумевает $\ P(x)=0\$ ( абсолютная непрерывность ). В противном случае его часто определяют как $+\infty$, но ценность $\ +\infty \$ возможно, даже если $\ Q(x)\neq 0\$ повсюду, при условии, что $\ {\mathcal {X}}\$ бесконечна по протяженности. Аналогичные комментарии применимы к случаям непрерывной и общей меры, определенным ниже.

В любое время $\ P(x)\$ равен нулю, вклад соответствующего члена интерпретируется как ноль, поскольку

$\lim _{x\to 0^{+}}x\log(x)=0~.$

Для распределений P и Q непрерывной случайной величины относительная энтропия определяется как интеграл

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\ \log \left({\frac {p(x)}{q(x)}}\right)\ \mathrm {d} \ \!x\ ,$

где p и q обозначают вероятности P ​ и Q. плотности

В более общем смысле, если P и Q являются вероятностными мерами в измеримом пространстве $\ {\mathcal {X}}\ ,$ и P относительно абсолютно непрерывен Q , то относительная энтропия от Q до P определяется как

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=\int _{x\in {\mathcal {X}}}\ \log \left({\frac {P(\mathrm {d} \ \!x)}{Q(\mathrm {d} \ \!x)}}\right)\ P(\mathrm {d} \ \!x)\ ,$

где $\ {\frac {\ P(\mathrm {d} \ \!x)\ }{Q(\mathrm {d} \ \!x)\ }}$ является производной Радона–Никодима P Q по , т . е. единственной Q, определенной почти всюду функцией r на $\ {\mathcal {X}}\$ такой, что $\ P(\mathrm {d} \ \!x)=r(x)Q(\mathrm {d} \ \!x)\$ которое существует потому, что P абсолютно непрерывен относительно Q . Также мы предполагаем, что выражение в правой части существует. Эквивалентно (по правилу цепочки ) это можно записать как

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=\int _{x\in {\mathcal {X}}}{\frac {P(\mathrm {d} \ \!x)}{Q(\mathrm {d} \ \!x)}}\ \log \left({\frac {P(\mathrm {d} \ \!x)}{Q(\mathrm {d} \ \!x)}}\right)\ Q(\mathrm {d} \ \!x)\ ,$

является энтропией P ​ относительно Q. что Продолжая в этом случае, если $\mu$ является ли какая-либо мера по ${\mathcal {X}}$ для которых плотности p и q с $\ P(\mathrm {d} \ \!x)=p(x)\mu (\mathrm {d} \ \!x)\$ и $\ Q(\mathrm {d} \ \!x)=q(x)\mu (\mathrm {d} \ \!x)\$ существуют (это означает, что P и Q абсолютно непрерывны относительно $\ \mu \$), то относительная энтропия от Q до P определяется как

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=\int _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\ \log \left({\frac {\ p(x)\ }{q(x)}}\right)\ \mu (\mathrm {d} \ \!x)~.$

Отметим, что такая мера $\mu$ для которого можно определить плотности, всегда существует, поскольку можно взять $\ \mu ={\frac {1}{2}}\left(P+Q\right)\$ хотя на практике это обычно будет то, что в контексте, например, считающая мера для дискретных распределений, или мера Лебега или ее удобный вариант, такой как мера Гаусса или равномерная мера на сфере , мера Хаара на группе Ли и т. д. для непрерывных распределений. Логарифмы в этих формулах обычно принимаются по основанию 2, если информация измеряется в битах , или по основанию е , если информация измеряется в нац . Большинство формул, включающих относительную энтропию, справедливы независимо от основания логарифма.

Существуют различные соглашения для обозначения $\ D_{\text{KL}}(P\parallel Q)\$ словами. Часто это называют расхождением между P и Q , но это не может передать фундаментальную асимметрию в отношениях. Иногда, как в этой статье, это можно описать как расхождение P от Q расхождение от Q до P. или как Это отражает байесовского вывода , начинается предшествующего Q и P. обновляется до апостериорного асимметрию с который Еще один распространенный способ обращения к $\ D_{\text{KL}}(P\parallel Q)\$ это относительная энтропия P по отношению к Q или прирост информации от P над Q .

Базовый пример

Кульбак приводит следующий пример (табл. 2.1, пример 2.1). Пусть P и Q — распределения, показанные в таблице и на рисунке. P — распределение в левой части рисунка, биномиальное распределение с $N=2$ и $p=0.4$. Q — распределение в правой части рисунка, дискретное равномерное распределение с тремя возможными исходами. $x=$ 0 , 1 , 2 (т.е. ${\mathcal {X}}=\{0,1,2\}$), каждый с вероятностью $p=1/3$.

Два распределения для иллюстрации относительной энтропии

х	0	1	2
Распределение $P(x)$	${\frac {9}{25}}$	${\frac {12}{25}}$	${\frac {4}{25}}$
Распределение $Q(x)$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$

Относительная энтропия $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ и $D_{\text{KL}}(Q\parallel P)$ рассчитываются следующим образом. В этом примере используется натуральный журнал с основанием e , обозначенным ln, для получения результатов в nats (см. единицы измерения ):

${\begin{aligned}D_{\text{KL}}(P\parallel Q)&=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}P(x)\ln \left({\frac {P(x)}{Q(x)}}\right)\\&={\frac {9}{25}}\ln \left({\frac {9/25}{1/3}}\right)+{\frac {12}{25}}\ln \left({\frac {12/25}{1/3}}\right)+{\frac {4}{25}}\ln \left({\frac {4/25}{1/3}}\right)\\&={\frac {1}{25}}\left(32\ln(2)+55\ln(3)-50\ln(5)\right)\approx 0.0852996,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}D_{\text{KL}}(Q\parallel P)&=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}Q(x)\ln \left({\frac {Q(x)}{P(x)}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\ln \left({\frac {1/3}{9/25}}\right)+{\frac {1}{3}}\ln \left({\frac {1/3}{12/25}}\right)+{\frac {1}{3}}\ln \left({\frac {1/3}{4/25}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(-4\ln(2)-6\ln(3)+6\ln(5)\right)\approx 0.097455.\end{aligned}}$

Интерпретации

Статистика

В области статистики лемма Неймана-Пирсона гласит, что наиболее эффективный способ отличить два распределения P и Q на основе наблюдения Y (взятого из одного из них) — это логарифм отношения их правдоподобий: $\log P(Y)-\log Q(Y)$. Дивергенция KL — это ожидаемое значение этой статистики, если фактически получено из P. Y Кульбак мотивировал эту статистику ожидаемым логарифмическим отношением правдоподобия.

Кодирование

В контексте теории кодирования $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ может быть построен путем измерения ожидаемого количества дополнительных битов, необходимых для кодирования выборок из P с использованием кода, оптимизированного для , а не кода, оптимизированного для P. Q

Вывод

В контексте машинного обучения , $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ часто называют информационным выигрышем , достигнутым, если будет использоваться P. вместо Q , который используется в настоящее время, называется относительной энтропией P Q. по отношению к По аналогии с теорией информации это

Выражаясь на языке байесовского вывода , $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ является мерой информации, полученной путем пересмотра своих убеждений от распределения вероятностей Q до апостериорного распределения вероятностей P. априорного Другими словами, это количество информации, теряемой при аппроксимации Q для P. использовании

Информационная геометрия

В приложениях P обычно представляет собой «истинное» распределение данных, наблюдений или точно рассчитанное теоретическое распределение, тогда как представляет собой теорию, модель, описание или приближение P. Q обычно Чтобы найти распределение Q , наиболее близкое к P , мы можем минимизировать расхождение KL и вычислить информационную проекцию .

Хотя это статистическое расстояние , это не метрика , наиболее известный тип расстояния, а скорее расхождение . В то время как метрики симметричны и обобщают линейное расстояние, удовлетворяя неравенству треугольника , расхождения асимметричны и обобщают квадрат расстояния, в некоторых случаях удовлетворяя обобщенной теореме Пифагора . В общем $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ не равно $D_{\text{KL}}(Q\parallel P)$, а асимметрия является важной частью геометрии. Бесконечно малая форма относительной энтропии, в частности ее гессиан , дает метрический тензор , равный информационной метрике Фишера ; см. § Информационная метрика Фишера . Относительная энтропия удовлетворяет обобщенной теореме Пифагора для экспоненциальных семейств (геометрически интерпретируемых как дуально плоские многообразия ), и это позволяет минимизировать относительную энтропию геометрическими средствами, например, с помощью информационной проекции и оценки максимального правдоподобия .

Относительная энтропия — это дивергенция Брегмана, порожденная отрицательной энтропией, но она также имеет форму f -дивергенции . Для вероятностей в конечном алфавите он уникален тем, что принадлежит к обоим этим классам статистических расхождений .

Финансы (теория игр)

Рассмотрим инвестора, оптимизирующего рост, в честной игре с взаимоисключающими результатами. (например, «скачки», в которых сумма официальных коэффициентов равна единице).Норма прибыли, ожидаемая таким инвестором, равна относительной энтропии. между предполагаемыми инвесторами вероятностями и официальными шансами. Это частный случай гораздо более общей связи между финансовой доходностью и показателями дивергенции.

Финансовые риски связаны с $D_{\text{KL}}$ через информационную геометрию. Взгляды инвесторов, преобладающие взгляды на рынок и рискованные сценарии образуют треугольники на соответствующем многообразии распределений вероятностей. Форма треугольников определяет ключевые финансовые риски (как качественно, так и количественно). Например, тупые треугольники, в которых взгляды инвесторов и сценарии риска появляются на «противоположных сторонах» относительно рынка, описывают отрицательные риски, острые треугольники описывают положительную подверженность, а прямоугольная ситуация в середине соответствует нулевому риску.

Мотивация

Иллюстрация относительной энтропии для двух нормальных распределений . Типичная асимметрия отчетливо видна.

В теории информации теорема Крафта-Макмиллана устанавливает, что любая непосредственно декодируемая схема кодирования сообщения для идентификации одного значения $x_{i}$ из набора возможностей X можно рассматривать как представляющее неявное распределение вероятностей $q(x_{i})=2^{-\ell _{i}}$ над X , где $\ell _{i}$ длина кода для $x_{i}$ в битах. Следовательно, относительную энтропию можно интерпретировать как ожидаемую дополнительную длину сообщения на единицу данных, которая должна быть передана, если код, оптимальный для данного (неправильного) распределения Q используется , по сравнению с использованием кода, основанного на истинном распределении P : это избыточная энтропия.

${\begin{aligned}D_{\text{KL}}(P\parallel Q)&=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\log {\frac {1}{q(x)}}-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\log {\frac {1}{p(x)}}\\[5pt]&=\mathrm {H} (P,Q)-\mathrm {H} (P)\end{aligned}}$

где $\mathrm {H} (P,Q)$ - перекрестная энтропия P Q и и , $\mathrm {H} (P)$ - это энтропия P . (которая равна перекрестной энтропии P с самим собой)

Относительная энтропия $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ геометрически можно рассматривать как статистическое расстояние , меру того, насколько далеко распределение находится от распределения P. Q Геометрически это дивергенция : асимметричная, обобщенная форма квадрата расстояния. Перекрестная энтропия $H(P,Q)$ само по себе является таким измерением (формально функцией потерь ), но его нельзя мыслить как расстояние, поскольку $H(P,P)=:H(P)$ не равен нулю. Это можно исправить, вычитая $H(P)$ сделать $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ более точно согласуются с нашим понятием расстояния как избыточной потери. Результирующая функция асимметрична, и хотя ее можно симметрично (см. § Симметризованная дивергенция ), асимметричная форма более полезна. см . в разделе «Интерпретации» Дополнительную информацию о геометрической интерпретации .

Относительная энтропия относится к « функции скорости » в теории больших уклонений .

Артур Хобсон доказал, что относительная энтропия является единственной мерой различия между распределениями вероятностей, которая удовлетворяет некоторым желаемым свойствам, которые являются каноническим расширением тех, которые появляются в обычно используемой характеристике энтропии . Следовательно, взаимная информация является единственной мерой взаимной зависимости, подчиняющейся определенным связанным условиям, поскольку ее можно определить в терминах дивергенции Кульбака – Лейблера .

Характеристики

• Относительная энтропия всегда неотрицательна . $$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)\geq 0,$$ результат, известный как неравенство Гиббса , с $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ равно нулю тогда и только тогда, когда $P=Q$ как меры.

В частности, если $P(dx)=p(x)\mu (dx)$ и $Q(dx)=q(x)\mu (dx)$, затем $p(x)=q(x)$ $\mu$- почти везде . Энтропия $\mathrm {H} (P)$ таким образом устанавливает минимальное значение перекрестной энтропии $\mathrm {H} (P,Q)$, ожидаемое количество битов , необходимое при использовании кода, основанного на Q, а не на P ; и поэтому расхождение Кульбака-Лейблера представляет собой ожидаемое количество дополнительных битов, которые необходимо передать для идентификации значения x, из X , если используется код, соответствующий распределению вероятностей Q , а не «истинному» распределению P. полученного

• Для общего случая верхней границы не существует. Однако показано, что если P и Q — два дискретных распределения вероятностей, построенные путем распределения одной и той же дискретной величины, то максимальное значение $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ можно рассчитать.
• Относительная энтропия остается четко определенной для непрерывных распределений и, кроме того, инвариантна относительно преобразований параметров . Например, если производится преобразование переменной x в переменную $y(x)$, тогда, поскольку $P(dx)=p(x)\,dx={\tilde {p}}(y)\,dy={\tilde {p}}(y(x))|{\tfrac {dy}{dx}}(x)|\,dx$ и $Q(dx)=q(x)\,dx={\tilde {q}}(y)\,dy={\tilde {q}}(y)|{\tfrac {dy}{dx}}(x)|dx$ где $|{\tfrac {dy}{dx}}(x)|$ является абсолютным значением производной или, в более общем смысле, якобиана , относительную энтропию можно переписать: $${\begin{aligned}D_{\text{KL}}(P\parallel Q)&=\int _{x_{a}}^{x_{b}}p(x)\log \left({\frac {p(x)}{q(x)}}\right)\,dx\\[6pt]&=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\tilde {p}}(y(x))|{\frac {dy}{dx}}(x)|\log \left({\frac {{\tilde {p}}(y(x))\,|{\frac {dy}{dx}}(x)|}{{\tilde {q}}(y(x))\,|{\frac {dy}{dx}}(x)|}}\right)\,dx\\&=\int _{y_{a}}^{y_{b}}{\tilde {p}}(y)\log \left({\frac {{\tilde {p}}(y)}{{\tilde {q}}(y)}}\right)\,dy\end{aligned}}$$ где $y_{a}=y(x_{a})$ и $y_{b}=y(x_{b})$. Хотя предполагалось, что трансформация была непрерывной, это не обязательно так. Это также показывает, что относительная энтропия производит размерно согласованную величину, поскольку, если x является размерной переменной, $p(x)$ и $q(x)$ также имеют размеры, поскольку, например, $P(dx)=p(x)\,dx$ является безразмерным. Аргумент логарифмического члена был и остается безразмерным, как и должно быть. Поэтому его можно рассматривать как в некотором смысле более фундаментальную величину, чем некоторые другие свойства теории информации. (например, самоинформация или энтропия Шеннона ), которая может стать неопределенной или отрицательной для недискретных вероятностей.
• Относительная энтропия является аддитивной для независимых распределений во многом так же, как энтропия Шеннона. Если $P_{1},P_{2}$ являются независимыми дистрибутивами, и $P(dx,dy)=P_{1}(dx)P_{2}(dy)$, и аналогично $Q(dx,dy)=Q_{1}(dx)Q_{2}(dy)$ для независимых дистрибутивов $Q_{1},Q_{2}$ затем $$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=D_{\text{KL}}(P_{1}\parallel Q_{1})+D_{\text{KL}}(P_{2}\parallel Q_{2}).$$
• Относительная энтропия $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ является выпуклой относительно пары вероятностных мер $(P,Q)$, то есть если $(P_{1},Q_{1})$ и $(P_{2},Q_{2})$ две пары вероятностных мер, тогда $$D_{\text{KL}}(\lambda P_{1}+(1-\lambda )P_{2}\parallel \lambda Q_{1}+(1-\lambda )Q_{2})\leq \lambda D_{\text{KL}}(P_{1}\parallel Q_{1})+(1-\lambda )D_{\text{KL}}(P_{2}\parallel Q_{2}){\text{ for }}0\leq \lambda \leq 1.$$
• $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ может быть расширено Тейлором относительно своего минимума (т.е. $P=Q$) как $$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{\frac {(Q(x)-P(x))^{n}}{Q(x)^{n-1}}}$$ которая сходится тогда и только тогда, когда $P\leq 2Q$ почти наверняка $Q$.

показывать

[Доказательство]

Denote $f(\alpha ):=D_{\text{KL}}((1-\alpha )Q+\alpha P\parallel Q)$ and note that $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=f(1)$. The first derivative of $f$ may be derived and evaluated as follows$${\begin{aligned}f'(\alpha )&=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}(P(x)-Q(x))\left(\log \left({\frac {(1-\alpha )Q(x)+\alpha P(x)}{Q(x)}}\right)+1\right)\\&=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}(P(x)-Q(x))\log \left({\frac {(1-\alpha )Q(x)+\alpha P(x)}{Q(x)}}\right)\\f'(0)&=0\end{aligned}}$$Further derivatives may be derived and evaluated as follows$${\begin{aligned}f''(\alpha )&=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{\frac {(P(x)-Q(x))^{2}}{(1-\alpha )Q(x)+\alpha P(x)}}\\f''(0)&=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{\frac {(P(x)-Q(x))^{2}}{Q(x)}}\\f^{(n)}(\alpha )&=(-1)^{n}(n-2)!\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{\frac {(P(x)-Q(x))^{n}}{\left((1-\alpha )Q(x)+\alpha P(x)\right)^{n-1}}}\\f^{(n)}(0)&=(-1)^{n}(n-2)!\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{\frac {(P(x)-Q(x))^{n}}{Q(x)^{n-1}}}\end{aligned}}$$Hence solving for $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ via the Taylor expansion of $f$ about $0$ evaluated at $\alpha =1$ yields$${\begin{aligned}D_{\text{KL}}(P\parallel Q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\\&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{\frac {(Q(x)-P(x))^{n}}{Q(x)^{n-1}}}\end{aligned}}$$$P\leq 2Q$ a.s. is a sufficient condition for convergence of the series by the following absolute convergence argument$${\begin{aligned}\sum _{n=2}^{\infty }\left\vert {\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}{\frac {(Q(x)-P(x))^{n}}{Q(x)^{n-1}}}\right\vert &=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\left\vert Q(x)-P(x)\right\vert \left\vert 1-{\frac {P(x)}{Q(x)}}\right\vert ^{n-1}\\&\leq \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\left\vert Q(x)-P(x)\right\vert \\&\leq \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1\end{aligned}}$$$P\leq 2Q$ a.s. is also a necessary condition for convergence of the series by the following proof by contradiction. Assume that $P>2Q$ with measure strictly greater than $0$. It then follows that there must exist some values $\epsilon >0$, $\rho >0$, and $U<\infty$ such that $P\geq 2Q+\epsilon$ and $Q\leq U$ with measure $\rho$. The previous proof of sufficiency demonstrated that the measure $1-\rho$ component of the series where $P\leq 2Q$ is bounded, so we need only concern ourselves with the behavior of the measure $\rho$ component of the series where $P\geq 2Q+\epsilon$. The absolute value of the $n$th term of this component of the series is then lower bounded by ${\frac {1}{n(n-1)}}\rho \left(1+{\frac {\epsilon }{U}}\right)^{n}$, which is unbounded as $n\to \infty$, so the series diverges.

Формула двойственности для вариационного вывода

Следующий результат, полученный Донскером и Варадханом: известна как вариационная формула Донскера и Варадхана .

Теорема [Формула двойственности для вариационного вывода] — Пусть $\Theta$ быть множеством, наделенным соответствующим $\sigma$-поле ${\mathcal {F}}$и две вероятностные меры P и Q , которые формулируют два вероятностных пространства $(\Theta ,{\mathcal {F}},P)$ и $(\Theta ,{\mathcal {F}},Q)$, с $Q\ll P$. ( $Q\ll P$ указывает на то, что Q абсолютно непрерывен относительно P. ) Пусть h — вещественная интегрируемая случайная величина на $(\Theta ,{\mathcal {F}},P)$. Тогда имеет место равенство

$\log E_{P}[\exp h]={\text{sup}}_{Q\ll P}\{E_{Q}[h]-D_{\text{KL}}(Q\parallel P)\}.$

Далее, верхняя грань в правой части достигается тогда и только тогда, когда выполняется

${\frac {Q(d\theta )}{P(d\theta )}}={\frac {\exp h(\theta )}{E_{P}[\exp h]}},$

почти наверняка относительно вероятностной меры P , где ${\frac {Q(d\theta )}{P(d\theta )}}$ обозначает производную Радона-Никодима Q по P .

Доказательство

Для краткого доказательства, предполагающего интегрируемость $\exp(h)$ относительно P пусть $Q^{*}$ иметь P -плотность ${\frac {\exp h(\theta )}{E_{P}[\exp h]}}$, то есть $Q^{*}(d\theta )={\frac {\exp h(\theta )}{E_{P}[\exp h]}}P(d\theta )$ Затем

$D_{\text{KL}}(Q\parallel Q^{*})-D_{\text{KL}}(Q\parallel P)=-E_{Q}[h]+\log E_{P}[\exp h].$

Поэтому,

$E_{Q}[h]-D_{\text{KL}}(Q\parallel P)=\log E_{P}[\exp h]-D_{\text{KL}}(Q\parallel Q^{*})\leq \log E_{P}[\exp h],$

где последнее неравенство следует из $D_{\text{KL}}(Q\parallel Q^{*})\geq 0$, для которого равенство имеет место тогда и только тогда, когда $Q=Q^{*}$. Вывод следующий.

Альтернативное доказательство с использованием теории меры см.

Примеры

Многомерные нормальные распределения

Предположим, что у нас есть два многомерных нормальных распределения со средними значениями $\mu _{0},\mu _{1}$ и с (несингулярными) ковариационными матрицами $\Sigma _{0},\Sigma _{1}.$ Если два распределения имеют одинаковую размерность k , то относительная энтропия между распределениями выглядит следующим образом:

$D_{\text{KL}}\left({\mathcal {N}}_{0}\parallel {\mathcal {N}}_{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} \left(\Sigma _{1}^{-1}\Sigma _{0}\right)-k+\left(\mu _{1}-\mu _{0}\right)^{\mathsf {T}}\Sigma _{1}^{-1}\left(\mu _{1}-\mu _{0}\right)+\ln \left({\frac {\det \Sigma _{1}}{\det \Sigma _{0}}}\right)\right).$

Логарифм e в последнем члене необходимо брать по основанию e, поскольку все члены, кроме последнего, являются логарифмами по основанию выражений , которые либо являются факторами функции плотности, либо возникают естественным образом иным образом. Таким образом, уравнение дает результат, измеряемый в натс . Разделив все выражение выше на $\ln(2)$ дает расхождение в битах .

В численной реализации полезно выразить результат через разложения Холецкого. $L_{0},L_{1}$ такой, что $\Sigma _{0}=L_{0}L_{0}^{T}$ и $\Sigma _{1}=L_{1}L_{1}^{T}$. Тогда с M и y решениями треугольных линейных систем $L_{1}M=L_{0}$, и $L_{1}y=\mu _{1}-\mu _{0}$,

$D_{\text{KL}}\left({\mathcal {N}}_{0}\parallel {\mathcal {N}}_{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i,j=1}^{k}(M_{ij})^{2}-k+|y|^{2}+2\sum _{i=1}^{k}\ln {\frac {(L_{1})_{ii}}{(L_{0})_{ii}}}\right).$

Особым случаем и общей величиной в вариационном выводе является относительная энтропия между диагональным многомерным нормальным распределением и стандартным нормальным распределением (с нулевым средним значением и единичной дисперсией):

$D_{\text{KL}}\left({\mathcal {N}}\left(\left(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}\right)^{\mathsf {T}},\operatorname {diag} \left(\sigma _{1}^{2},\ldots ,\sigma _{k}^{2}\right)\right)\parallel {\mathcal {N}}\left(\mathbf {0} ,\mathbf {I} \right)\right)={1 \over 2}\sum _{i=1}^{k}\left(\sigma _{i}^{2}+\mu _{i}^{2}-1-\ln \left(\sigma _{i}^{2}\right)\right).$

Для двух одномерных нормальных распределений p и q приведенное выше упрощается до

$D_{\text{KL}}\left({\mathcal {p}}\parallel {\mathcal {q}}\right)=\log {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}+{\frac {\sigma _{0}^{2}+(\mu _{0}-\mu _{1})^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

В случае соцентрированных нормальных распределений с $k=\sigma _{1}/\sigma _{0}$, это упрощает к:

$D_{\text{KL}}\left({\mathcal {p}}\parallel {\mathcal {q}}\right)=\log _{2}k+(k^{-2}-1)/2/\ln(2)\mathrm {bits}$

Равномерные распределения

Рассмотрим два равномерных распределения с поддержкой $p=[A,B]$ заключенный внутри $q=[C,D]$ ( $C\leq A<B\leq D$). Тогда прирост информации составит:

$D_{\text{KL}}\left({\mathcal {p}}\parallel {\mathcal {q}}\right)=\log {\frac {D-C}{B-A}}$

Интуитивно, Прирост информации в k раз уже при равномерном распределении содержит $\log _{2}k$ биты. Это связано с использованием битов в вычислительной технике, где $\log _{2}k$ битов потребуются для идентификации одного элемента длинного потока k .

Связь с метриками

Хотя относительная энтропия является статистическим расстоянием , она не является метрикой пространства вероятностных распределений, а представляет собой дивергенцию . В то время как метрики симметричны и обобщают линейное расстояние, удовлетворяя неравенству треугольника , расхождения в целом асимметричны и обобщают квадрат расстояния, в некоторых случаях удовлетворяя обобщенной теореме Пифагора . В общем $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ не равно $D_{\text{KL}}(Q\parallel P)$, и хотя это можно симметризировать (см. § Симметризованная дивергенция ), асимметрия является важной частью геометрии.

Он генерирует топологию в пространстве вероятностных распределений . Более конкретно, если $\{P_{1},P_{2},\ldots \}$ представляет собой последовательность распределений такую, что

$\lim _{n\to \infty }D_{\text{KL}}(P_{n}\parallel Q)=0$,

тогда говорят, что

$P_{n}{\xrightarrow {D}}Q$.

Неравенство Пинскера означает, что

$P_{n}\xrightarrow {D} P\Rightarrow P_{n}\xrightarrow {TV} P$,

где последнее означает обычную сходимость в полной вариации .

Информационная метрика Фишера

Относительная энтропия напрямую связана с информационной метрикой Фишера . Это можно выразить следующим образом. Предположим, что распределения вероятностей P и Q параметризованы некоторым (возможно, многомерным) параметром. $\theta$. Рассмотрим тогда два близких значения $P=P(\theta )$ и $Q=P(\theta _{0})$ так что параметр $\theta$ лишь незначительно отличается от значения параметра $\theta _{0}$. В частности, до первого порядка (используя соглашение о суммировании Эйнштейна )

$P(\theta )=P(\theta _{0})+\Delta \theta _{j}\,P_{j}(\theta _{0})+\cdots$

с $\Delta \theta _{j}=(\theta -\theta _{0})_{j}$ небольшое изменение $\theta$ в направлении j , и $P_{j}\left(\theta _{0}\right)={\frac {\partial P}{\partial \theta _{j}}}(\theta _{0})$ соответствующую скорость изменения распределения вероятностей. Поскольку относительная энтропия имеет абсолютный минимум 0 для $P=Q$, то есть $\theta =\theta _{0}$, оно меняется только до второго порядка по малым параметрам $\Delta \theta _{j}$. Более формально, как и для любого минимума, первые производные дивергенции обращаются в нуль.

$\left.{\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}}\right|_{\theta =\theta _{0}}D_{\text{KL}}(P(\theta )\parallel P(\theta _{0}))=0,$

и по разложению Тейлора имеем до второго порядка

$D_{\text{KL}}(P(\theta )\parallel P(\theta _{0}))={\frac {1}{2}}\,\Delta \theta _{j}\,\Delta \theta _{k}\,g_{jk}(\theta _{0})+\cdots$

где матрица Гессе дивергенции

$g_{jk}(\theta _{0})=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta _{j}\,\partial \theta _{k}}}\right|_{\theta =\theta _{0}}D_{\text{KL}}(P(\theta )\parallel P(\theta _{0}))$

должно быть положительно полуопределенным . Сдача в аренду $\theta _{0}$ измените (и отбросьте субиндекс 0) гессиан $g_{jk}(\theta )$ определяет (возможно, вырожденную) риманову метрику в пространстве параметров θ , называемую информационной метрикой Фишера.

Теорема Фишера об информационной метрике

Когда $p_{(x,\rho )}$ удовлетворяет следующим условиям регулярности:

${\frac {\partial \log(p)}{\partial \rho }},{\frac {\partial ^{2}\log(p)}{\partial \rho ^{2}}},{\frac {\partial ^{3}\log(p)}{\partial \rho ^{3}}}$ существовать,

${\begin{aligned}\left|{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right|&<F(x):\int _{x=0}^{\infty }F(x)\,dx<\infty ,\\\left|{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \rho ^{2}}}\right|&<G(x):\int _{x=0}^{\infty }G(x)\,dx<\infty \\\left|{\frac {\partial ^{3}\log(p)}{\partial \rho ^{3}}}\right|&<H(x):\int _{x=0}^{\infty }p(x,0)H(x)\,dx<\xi <\infty \end{aligned}}$

где ξ не зависит от ρ

$\left.\int _{x=0}^{\infty }{\frac {\partial p(x,\rho )}{\partial \rho }}\right|_{\rho =0}\,dx=\left.\int _{x=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{2}p(x,\rho )}{\partial \rho ^{2}}}\right|_{\rho =0}\,dx=0$

затем:

${\mathcal {D}}(p(x,0)\parallel p(x,\rho ))={\frac {c\rho ^{2}}{2}}+{\mathcal {O}}\left(\rho ^{3}\right){\text{ as }}\rho \to 0.$

Изменение информации

Другой теоретико-информационный показатель — это изменение информации , которое примерно представляет собой симметризацию условной энтропии . Это метрика множества разбиений дискретного вероятностного пространства .

Связь с другими величинами теории информации

Многие другие величины теории информации можно интерпретировать как применение относительной энтропии к конкретным случаям.

Самоинформация

Основная статья: Информационный контент

Самоинформация , , также известная как информационное содержание сигнала, случайной величины или события определяется как отрицательный логарифм вероятности наступления данного результата.

Применительно к дискретной случайной величине самоинформацию можно представить как

$\operatorname {\operatorname {I} } (m)=D_{\text{KL}}\left(\delta _{\text{im}}\parallel \{p_{i}\}\right),$

- относительная энтропия распределения вероятностей $P(i)$ из дельты Кронекера, представляющей уверенность в том, что $i=m$ — т. е. количество дополнительных битов, которые необходимо передать для идентификации i, если только распределение вероятностей $P(i)$ доступен получателю, не факт, что $i=m$.

Взаимная информация

Взаимная информация ,

${\begin{aligned}\operatorname {I} (X;Y)&=D_{\text{KL}}(P(X,Y)\parallel P(X)P(Y))\\[5pt]&=\operatorname {E} _{X}\{D_{\text{KL}}(P(Y\mid X)\parallel P(Y))\}\\[5pt]&=\operatorname {E} _{Y}\{D_{\text{KL}}(P(X\mid Y)\parallel P(X))\}\end{aligned}}$

- относительная энтропия совместного распределения вероятностей $P(X,Y)$ из продукта $P(X)P(Y)$ из двух предельных распределений вероятностей — т.е. ожидаемое количество дополнительных битов, которые необходимо передать для идентификации X и Y , если они закодированы с использованием только их предельных распределений вместо совместного распределения. Эквивалентно, если совместная вероятность $P(X,Y)$ известно , это ожидаемое количество дополнительных битов, которые в среднем необходимо отправить для идентификации Y, если значение X еще не известно получателю.

Энтропия Шеннона

Шеннона Энтропия ,

${\begin{aligned}\mathrm {H} (X)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {I} _{X}(x)\right]\\&=\log(N)-D_{\text{KL}}\left(p_{X}(x)\parallel P_{U}(X)\right)\end{aligned}}$

- это количество битов, которое необходимо передать, чтобы идентифицировать из N равновероятных возможностей, за вычетом относительной энтропии равномерного распределения случайных величин X X , $P_{U}(X)$, от истинного распределения $P(X)$ - т.е. меньше ожидаемого количества сохраненных битов, которые пришлось бы отправить, если бы значение X было закодировано в соответствии с равномерным распределением. $P_{U}(X)$ а не истинное распределение $P(X)$. Это определение энтропии Шеннона лежит в основе альтернативного обобщения Э. Т. Джейнса на непрерывные распределения, предельной плотности дискретных точек (в отличие от обычной дифференциальной энтропии ), которое определяет непрерывную энтропию как

$\lim _{N\rightarrow \infty }H_{N}(X)=\log(N)-\int p(x)\log {\frac {p(x)}{m(x)}}\,dx,$

что эквивалентно:

$\log(N)-D_{\text{KL}}(p(x)||m(x))$

Условная энтропия

Условная энтропия ,

${\begin{aligned}\mathrm {H} (X\mid Y)&=\log(N)-D_{\text{KL}}(P(X,Y)\parallel P_{U}(X)P(Y))\\[5pt]&=\log(N)-D_{\text{KL}}(P(X,Y)\parallel P(X)P(Y))-D_{\text{KL}}(P(X)\parallel P_{U}(X))\\[5pt]&=\mathrm {H} (X)-\operatorname {I} (X;Y)\\[5pt]&=\log(N)-\operatorname {E} _{Y}\left[D_{\text{KL}}\left(P\left(X\mid Y\right)\parallel P_{U}(X)\right)\right]\end{aligned}}$

- это количество битов, которое необходимо передать, чтобы идентифицировать X из N равновероятных возможностей, за вычетом относительной энтропии распределения продукта. $P_{U}(X)P(Y)$ от истинного совместного распределения $P(X,Y)$ - т.е. меньше ожидаемого количества сохраненных битов, которые пришлось бы отправить, если бы значение X было закодировано в соответствии с равномерным распределением. $P_{U}(X)$ а не условное распределение $P(X|Y)$ из X условии Y. при

Перекрестная энтропия

Когда у нас есть набор возможных событий, поступающих из распределения p , мы можем закодировать их (со сжатием данных без потерь ), используя энтропийное кодирование . При этом данные сжимаются путем замены каждого входного символа фиксированной длины соответствующим уникальным кодом переменной длины без префиксов (например: события (A, B, C) с вероятностями p = (1/2, 1/4, 1/4) могут быть закодированы как биты (0, 10, 11)). Если мы заранее знаем распределение p , мы можем разработать оптимальное кодирование (например, с использованием кодирования Хаффмана ). Это означает, что сообщения, которые мы кодируем, будут иметь в среднем наименьшую длину (при условии, что закодированные события выбраны из p ), которая будет равна Шеннона энтропии p (обозначается как $\mathrm {H} (p)$). Однако если мы используем другое распределение вероятностей ( q ) при создании схемы энтропийного кодирования, то большее количество битов для идентификации события из набора возможностей будет использовано (в среднем). Это новое (большое) число измеряется перекрестной энтропией между p и q .

Перекрестная энтропия между двумя распределениями вероятностей ( p и q ) измеряет среднее количество битов, необходимых для идентификации события из набора возможностей, если используется схема кодирования, основанная на заданном распределении вероятностей q , а не на «истинном» распределении. п . Таким образом, перекрестная энтропия для двух распределений p и q в одном и том же вероятностном пространстве определяется следующим образом.

$\mathrm {H} (p,q)=\operatorname {E} _{p}[-\log(q)]=\mathrm {H} (p)+D_{\text{KL}}(p\parallel q).$

Подробную информацию об этом см. в разделе «Мотивация» выше.

В этом сценарии относительные энтропии (kl-дивергенция) можно интерпретировать как дополнительное количество битов, в среднем, которое необходимо (помимо $\mathrm {H} (p)$) для кодирования событий из-за использования q для построения схемы кодирования вместо p .

Байесовское обновление

В байесовской статистике относительная энтропия может использоваться как мера прироста информации при переходе от априорного распределения к апостериорному : $p(x)\to p(x\mid I)$. Если какой-то новый факт $Y=y$ обнаружен, его можно использовать для обновления апостериорного распределения X от $p(x\mid I)$ к новому апостериорному распределению $p(x\mid y,I)$ используя теорему Байеса :

$p(x\mid y,I)={\frac {p(y\mid x,I)p(x\mid I)}{p(y\mid I)}}$

Это распределение имеет новую энтропию :

$\mathrm {H} {\big (}p(x\mid y,I){\big )}=-\sum _{x}p(x\mid y,I)\log p(x\mid y,I),$

которая может быть меньше или больше исходной энтропии $\mathrm {H} (p(x\mid I))$. Однако с точки зрения нового распределения вероятностей можно оценить, что для использования исходного кода, основанного на $p(x\mid I)$ вместо нового кода на основе $p(x\mid y,I)$ добавил бы ожидаемое количество бит:

$D_{\text{KL}}{\big (}p(x\mid y,I)\parallel p(x\mid I){\big )}=\sum _{x}p(x\mid y,I)\log \left({\frac {p(x\mid y,I)}{p(x\mid I)}}\right)$

к длине сообщения. Таким образом, это представляет собой количество полезной информации или прироста информации о X , который был получен путем открытия $Y=y$.

Если дальнейший фрагмент данных, $Y_{2}=y_{2}$, то распределение вероятностей для x может быть дополнительно обновлено, чтобы дать новое наилучшее предположение $p(x\mid y_{1},y_{2},I)$. Если кто-то повторно исследует получение информации от использования $p(x\mid y_{1},I)$ скорее, чем $p(x\mid I)$, то оказывается, что оно может быть как больше, так и меньше ранее оцененного:

$\sum _{x}p(x\mid y_{1},y_{2},I)\log \left({\frac {p(x\mid y_{1},y_{2},I)}{p(x\mid I)}}\right)$ может быть ≤ или > чем $\displaystyle \sum _{x}p(x\mid y_{1},I)\log \left({\frac {p(x\mid y_{1},I)}{p(x\mid I)}}\right)$

и поэтому совокупный прирост информации не подчиняется неравенству треугольника:

$D_{\text{KL}}{\big (}p(x\mid y_{1},y_{2},I)\parallel p(x\mid I){\big )}$ может быть <, = или > чем $D_{\text{KL}}{\big (}p(x\mid y_{1},y_{2},I)\parallel p(x\mid y_{1},I){\big )}+D_{\text{KL}}{\big (}p(x\mid y_{1},I)\parallel p(x\mid I){\big )}$

Все, что можно сказать, это то, что в среднем при использовании $p(y_{2}\mid y_{1},x,I)$, обе стороны усредняются.

Байесовский экспериментальный план

Общая цель байесовского экспериментального плана — максимизировать ожидаемую относительную энтропию между априорным и апостериорным. Когда апостериорные данные аппроксимируются гауссовскими распределениями, схема, максимизирующая ожидаемую относительную энтропию, называется байесовским d-оптимальным .

Информация о дискриминации

Относительная энтропия ${\textstyle D_{\text{KL}}{\bigl (}p(x\mid H_{1})\parallel p(x\mid H_{0}){\bigr )}}$ также можно интерпретировать как ожидаемую информацию о дискриминации для $H_{1}$ над $H_{0}$: средняя информация на выборку для различения в пользу гипотезы. $H_{1}$ против гипотезы $H_{0}$, когда гипотеза $H_{1}$ это правда. Другое название этой величины, данное ей И. Дж. Гудом , — «ожидаемая масса свидетельств» $H_{1}$ над $H_{0}$ следует ожидать от каждого образца.

Ожидаемый вес доказательств в пользу $H_{1}$ над $H_{0}$ не то же самое, что ожидаемый прирост информации о распределении вероятностей для каждой выборки $p(H)$ гипотез,

$D_{\text{KL}}(p(x\mid H_{1})\parallel p(x\mid H_{0}))\neq IG=D_{\text{KL}}(p(H\mid x)\parallel p(H\mid I)).$

Любую из двух величин можно использовать в качестве функции полезности в байесовском плане эксперимента, чтобы выбрать оптимальный следующий вопрос для исследования: но в целом они приведут к совершенно разным экспериментальным стратегиям.

По шкале энтропии информационного выигрыша разница между почти достоверностью и абсолютной достоверностью очень мала — кодирование в соответствии с почти достоверностью требует едва ли больше битов, чем кодирование в соответствии с абсолютной достоверностью. С другой стороны, в логит- шкале, подразумеваемой весомыми доказательствами, разница между ними огромна – возможно, бесконечна; это может отражать разницу между почти уверенностью (на вероятностном уровне) в том, что, скажем, гипотеза Римана верна, и уверенностью в ее правильности, поскольку у вас есть математическое доказательство. эти две разные шкалы функции потерь для неопределенности Обе полезны в зависимости от того, насколько хорошо каждая из них отражает конкретные обстоятельства рассматриваемой проблемы.

Принцип минимальной дискриминационной информации

Идея относительной энтропии как информации о различении привела Кульбака к предложению принципа Минимальная информация о дискриминации ( MDI ): учитывая новые факты, следует выбрать новое распределение f , которое так же трудно отличить от исходного распределения. $f_{0}$ насколько это возможно; так, чтобы новые данные приносили как можно меньше информационного прироста $D_{\text{KL}}(f\parallel f_{0})$ насколько это возможно.

Например, если у вас уже был предыдущий дистрибутив $p(x,a)$ над x и a , и впоследствии узнал, что истинное распределение a было $u(a)$, то относительная энтропия между новым совместным распределением x и a , $q(x\mid a)u(a)$, а более раннее предварительное распределение будет:

$D_{\text{KL}}(q(x\mid a)u(a)\parallel p(x,a))=\operatorname {E} _{u(a)}\left\{D_{\text{KL}}(q(x\mid a)\parallel p(x\mid a))\right\}+D_{\text{KL}}(u(a)\parallel p(a)),$

т.е. сумма относительной энтропии $p(a)$ предыдущий дистрибутив из обновленного дистрибутива $u(a)$плюс ожидаемое значение (с использованием распределения вероятностей $u(a)$) относительной энтропии предварительного условного распределения $p(x\mid a)$ из нового условного распределения $q(x\mid a)$. (Обратите внимание, что часто более позднее ожидаемое значение называют условной относительной энтропией (или условной дивергенцией Кульбака–Лейблера ) и обозначают $D_{\text{KL}}(q(x\mid a)\parallel p(x\mid a))$) Это минимизируется, если $q(x\mid a)=p(x\mid a)$ за всю поддержку $u(a)$; и отметим, что этот результат включает в себя теорему Байеса, если новое распределение $u(a)$ на самом деле это δ-функция, представляющая уверенность в том, что a имеет одно конкретное значение.

MDI можно рассматривать как расширение Лапласа принципа недостаточного основания и принципа максимальной энтропии Джейнса Э. Т. . В частности, это естественное расширение принципа максимальной энтропии с дискретных распределений на непрерывные, для которых энтропия Шеннона перестает быть столь полезной (см. дифференциальная энтропия ), но относительная энтропия продолжает оставаться столь же актуальной.

В инженерной литературе MDI иногда называют принципом минимальной перекрестной энтропии (MCE) или Minxent сокращенно . Минимизация относительной энтропии от m до p по отношению к m эквивалентна минимизации перекрестной энтропии p и m , поскольку

$\mathrm {H} (p,m)=\mathrm {H} (p)+D_{\text{KL}}(p\parallel m),$

что подходит, если кто-то пытается выбрать адекватное приближение к p . Однако зачастую это не та задача, которую пытаются достичь. Вместо этого так же часто m является некоторой фиксированной априорной эталонной мерой, а p пытаются оптимизировать путем минимизации $D_{\text{KL}}(p\parallel m)$ подчиняется некоторым ограничениям. Это привело к некоторой двусмысленности в литературе: некоторые авторы пытались разрешить это несоответствие, переопределяя перекрестную энтропию как $D_{\text{KL}}(p\parallel m)$, скорее, чем $\mathrm {H} (p,m)$ .

Отношение к доступной работе

График зависимости давления от объема доступной работы на моль газообразного аргона относительно окружающей среды, рассчитанный как $T_{o}$ раз расходимость Кульбака – Лейблера

Сюрпризы добавьте туда, где вероятности умножаются. Сюрприз для события с вероятностью p определяется как $s=k\ln(1/p)$. Если к ​ $\left\{1,1/\ln 2,1.38\times 10^{-23}\right\}$ тогда сюрприз $\{$nats, биты или $J/K\}$ так что, например, существует N битов неожиданности, если при броске N монет выпадут все «орлы».

Состояния наилучшего предположения (например, для атомов в газе) выводятся путем максимизации среднего значения неожиданности S ( энтропии ) для заданного набора управляющих параметров (например, давления P или объема V ). Эта ограниченная максимизация энтропии , как классически, так и и квантовомеханически, минимизирует доступность Гиббса в единицах энтропии $A\equiv -k\ln(Z)$ где Z — ограниченная кратность или статистическая сумма .

Когда температура T фиксирована, свободная энергия ( $T\times A$) также сведено к минимуму. Таким образом, если $T,V$ и число молекул N постоянны, свободная энергия Гельмгольца $F\equiv U-TS$ (где U — энергия, а S — энтропия) минимизируется по мере «уравновешивания» системы. Если T и P остаются постоянными (скажем, во время процессов в вашем теле), свободная энергия Гиббса $G=U+PV-TS$ вместо этого сводится к минимуму. Изменение свободной энергии в этих условиях является мерой доступной работы , которую можно совершить в этом процессе. Таким образом, доступная работа для идеального газа при постоянной температуре $T_{o}$ и давление $P_{o}$ является $W=\Delta G=NkT_{o}\Theta (V/V_{o})$ где $V_{o}=NkT_{o}/P_{o}$ и $\Theta (x)=x-1-\ln x\geq 0$ (см. также неравенство Гиббса ).

В более общем плане работа , доступная относительно некоторой окружающей среды, получается путем умножения температуры окружающей среды $T_{o}$ относительной энтропией или чистым сюрпризом $\Delta I\geq 0,$ определяется как среднее значение $k\ln(p/p_{o})$ где $p_{o}$ - вероятность данного состояния в условиях окружающей среды. Например, работа, доступная по приведению одноатомного идеального газа в равновесие с окружающими значениями $V_{o}$ и $T_{o}$ таким образом $W=T_{o}\Delta I$, где относительная энтропия

$\Delta I=Nk\left[\Theta \left({\frac {V}{V_{o}}}\right)+{\frac {3}{2}}\Theta \left({\frac {T}{T_{o}}}\right)\right].$

Результирующие контуры постоянной относительной энтропии, показанные справа для моля аргона при стандартной температуре и давлении, например, налагают ограничения на преобразование горячего в холодное, как в системах кондиционирования воздуха с пламенным двигателем или в устройствах без электропитания для преобразования температуры кипения. вода в ледяную воду обсуждается здесь. Таким образом, относительная энтропия измеряет термодинамическую доступность в битах.

Квантовая теория информации

Для матриц плотности P и Q в гильбертовом пространстве квантовая относительная энтропия от Q до P определяется как

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)=\operatorname {Tr} (P(\log(P)-\log(Q))).$

В квантовой информатике минимум $D_{\text{KL}}(P\parallel Q)$ по всем сепарабельным состояниям Q использоваться как мера запутанности в состоянии P. также может

Связь между моделями и реальностью

См. Также: Оценка максимального правдоподобия § Связь с минимизацией расхождения Кульбака – Лейблера и перекрестной энтропии.

Дополнительная информация: Выбор модели.

Точно так же, как относительная энтропия «реальности от окружающей среды» измеряет термодинамическую доступность, относительная энтропия «реальности от модели» также полезна, даже если единственными подсказками, которые мы имеем о реальности, являются некоторые экспериментальные измерения. В первом случае относительная энтропия описывает расстояние до равновесия или (при умножении на температуру окружающей среды) количество доступной работы , тогда как во втором случае она говорит вам о сюрпризах, которые реальность приготовила в рукаве или, другими словами, насколько модель еще предстоит научиться .

Хотя этот инструмент для оценки моделей по сравнению с системами, доступными экспериментально, может применяться в любой области, его применение для выбора статистической модели с помощью информационного критерия Акаике особенно хорошо описано в статьях. и книга Бернэм и Андерсон. Короче говоря, относительная энтропия реальности из модели может быть оценена с точностью до постоянного аддитивного члена как функция отклонений, наблюдаемых между данными и предсказаниями модели (например, среднеквадратичное отклонение ). Оценки такого расхождения для моделей, которые используют один и тот же аддитивный член, в свою очередь, могут использоваться для выбора одной из моделей.

При попытке подогнать параметризованные модели к данным существуют различные средства оценки, которые пытаются минимизировать относительную энтропию, например, средства оценки максимального правдоподобия и максимального интервала .

Симметризованная дивергенция

Кульбак и Лейблер (1951) также рассмотрел симметричную функцию:

$D_{\text{KL}}(P\parallel Q)+D_{\text{KL}}(Q\parallel P)$

которую они называли «дивергенцией», хотя сегодня «дивергенция KL» относится к асимметричной функции ( § Этимологии эволюцию этого термина см. в ). Эта функция симметрична и неотрицательна и уже была определена и использована Гарольдом Джеффрисом в 1948 году; соответственно, это называется дивергенцией Джеффриса .

Эту величину иногда использовали для выбора признаков в задачах классификации , где P и Q — условные PDF-файлы признака двух разных классов. В банковской и финансовой отраслях эта величина называется Индексом стабильности населения ( PSI ) и используется для оценки изменений распределения характеристик модели во времени.

Альтернатива предоставляется через $\lambda$-расхождение,

$D_{\lambda }(P\parallel Q)=\lambda D_{\text{KL}}(P\parallel \lambda P+(1-\lambda )Q)+(1-\lambda )D_{\text{KL}}(Q\parallel \lambda P+(1-\lambda )Q),$

который можно интерпретировать как ожидаемый прирост информации о X от выяснения того, какое распределение вероятностей X взято, P или Q , если у них в настоящее время есть вероятности. $\lambda$ и $1-\lambda$ соответственно.

Значение $\lambda =0.5$ дает расхождение Дженсена-Шеннона , определяемое формулой

$D_{\text{JS}}={\frac {1}{2}}D_{\text{KL}}(P\parallel M)+{\frac {1}{2}}D_{\text{KL}}(Q\parallel M)$

где M — среднее значение двух распределений,

$M={\frac {1}{2}}(P+Q).$

Мы также можем интерпретировать $D_{\text{JS}}$ как пропускная способность зашумленного информационного канала с двумя входами, дающими выходные P и Q. распределения Дивергенция Дженсена-Шеннона, как и все f -дивергенции, локально пропорциональна информационной метрике Фишера . Она похожа на метрику Хеллингера (в том смысле, что она индуцирует ту же аффинную связность на статистическом многообразии ).

Более того, расхождение Дженсена-Шеннона можно обобщить с помощью абстрактных статистических M-смесей, опираясь на абстрактное среднее значение M.

Связь с другими мерами вероятностного расстояния

Есть много других важных мер вероятностного расстояния . Некоторые из них особенно связаны с относительной энтропией. Например:

• Расстояние полной вариации , $\delta (p,q)$. Это связано с расхождением через неравенство Пинскера : $$\delta (P,Q)\leq {\sqrt {{\frac {1}{2}}D_{\text{KL}}(P\parallel Q)}}.$$ Неравенство Пинскера бессмысленно для любых распределений, где $D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)>2$, поскольку общее расстояние вариации не превосходит 1 . Для таких распределений можно использовать альтернативную оценку, предложенную Бретаньоллем и Хубером. (см. также Цыбаков ): $$\delta (P,Q)\leq {\sqrt {1-e^{-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}}.$$
• Семейство расходимостей Реньи обобщает относительную энтропию. В зависимости от значения определенного параметра, $\alpha$, можно вывести различные неравенства.

Другие известные меры расстояния включают расстояние Хеллингера , пересечение гистограммы , статистику Хи-квадрат , расстояние квадратичной формы , расстояние совпадения , расстояние Колмогорова-Смирнова и расстояние землеройного машины .

Различие данных

Основная статья: Различие данных

Точно так же, как абсолютная энтропия служит теоретической основой для данных сжатия , относительная энтропия служит теоретической основой для данных различения : абсолютная энтропия набора данных в этом смысле представляет собой данные, необходимые для его восстановления (минимальный сжатый размер), а относительная энтропия целевого набора данных с учетом исходного набора данных — это данные, необходимые для восстановления цели с учетом источника (минимальный размер исправления ) .

См. также

• Информационный критерий Акаике
• Байесовский информационный критерий
• Дивергенция Брегмана
• Перекрестная энтропия
• Информационный критерий отклонения
• Энтропийное значение под угрозой
• Неравенство энтропийной мощности
• Расстояние Хеллингера
• Получение информации в деревьях решений
• Коэффициент получения информации
• Теория информации и теория меры
• Расхождение Дженсена-Шеннона
• Квантовая относительная энтропия
• Соломон Кульбак и Ричард Лейблер

• Расстояние Бхаттачарья

Ссылки

• Амари, Сюн-ичи (2016). Информационная геометрия и ее приложения . Прикладные математические науки. Том. 194. Спрингер Япония. стр. XIII, 374. doi : 10.1007/978-4-431-55978-8 . ISBN  978-4-431-55977-1 .
• Кульбак, Соломон (1959), Теория информации и статистика , John Wiley & Sons . Переиздано Dover Publications в 1968 году; перепечатано в 1978 г.: ISBN   0-8446-5625-9 .
• Джеффрис, Гарольд (1948). Теория вероятностей (второе изд.). Издательство Оксфордского университета.

Внешние ссылки

• Набор инструментов для теоретических информационных оценок
• Рубиновый камень для расчета дивергенции Кульбака – Лейблера
• Учебник Джона Шленса по дивергенции Кульбака – Лейблера и теории правдоподобия
• Код Matlab для расчета расходимости Кульбака – Лейблера для дискретных распределений
• Серхио Верду , Относительная энтропия , NIPS 2009. Часовая видеолекция.
• Современное краткое изложение мер информационной дивергенции