Принцип безразличия

Принцип безразличия (также называемый принципом недостаточного основания ) — это правило назначения эпистемических вероятностей . Принцип безразличия гласит, что в отсутствие каких-либо соответствующих доказательств агенты должны равномерно распределить свою степень доверия (или «степени убеждения») между всеми возможными рассматриваемыми результатами.

В байесовской вероятности это простейший неинформативный априор .

Примеры

Хрестоматийными примерами применения принципа безразличия являются монеты , игральные кости и карты .

По крайней мере, в макроскопической системе следует предположить, что физические законы, управляющие системой, недостаточно известны, чтобы предсказать результат. Как заметил несколько веков назад Джон Арбетнот (в предисловии к книге «О законах случая» , 1692 г.),

Невозможно, чтобы игральная кость с такой определенной силой и направлением не упала на такую ​​определенную сторону, только я не знаю силы и направления, благодаря которым она упадет на такую ​​определенную сторону, и поэтому я назовите это «Шанс», а это не что иное, как недостаток искусства...

При наличии достаточного количества времени и ресурсов нет фундаментальных оснований предполагать, что невозможно провести достаточно точные измерения, которые позволили бы с высокой точностью предсказать результат игры в кости, монеты и карты: Перси Диакониса работа с подбрасыванием монеты машины являются практическим примером этого.

Монеты

Симметричная (на многих монета имеет две стороны, произвольно обозначенные орел монетах на одной стороне изображена голова человека) и решка . Если предположить, что монета должна упасть на ту или иную сторону, результаты подбрасывания монеты являются взаимоисключающими, исчерпывающими и взаимозаменяемыми. Согласно принципу безразличия каждому из возможных исходов мы присваиваем вероятность 1/2.

В этом анализе подразумевается, что силы, действующие на монету, неизвестны с какой-либо точностью. Если бы импульс, сообщаемый монете при ее запуске, был известен с достаточной точностью, полет монеты можно было бы предсказать в соответствии с законами механики. Таким образом, неопределенность результата подбрасывания монеты вытекает (по большей части) из неопределенности в отношении начальных условий. Этот момент более подробно обсуждается в статье о подбрасывании монеты .

Кости

Симметричная граней игральная кость имеет n , произвольно помеченных от 1 до n . Обычная кубическая игральная кость имеет n = 6 граней, хотя можно построить симметричную игральную кость с другим количеством граней; см . Дайс . Мы предполагаем, что кубик упадет той или иной гранью вверх, и других возможных исходов нет. Применяя принцип безразличия, мы присваиваем каждому из возможных результатов вероятность 1/ n . Как и в случае с монетами, предполагается, что начальные условия броска игральной кости неизвестны с достаточной точностью, чтобы предсказать результат в соответствии с законами механики. Кости обычно бросают так, чтобы они отскочили от стола или другой поверхности. Такое взаимодействие значительно затрудняет прогнозирование результата.

Предположение о симметрии здесь имеет решающее значение. Предположим, нас просят сделать ставку за или против исхода «6». Мы могли бы предположить, что здесь есть два соответствующих результата: «6» или «не 6», и что они взаимоисключающие и исчерпывающие. Распространенной ошибкой является присвоение вероятности 1/2 каждому из двух исходов, тогда как «не 6» в пять раз более вероятно, чем «6».

Карты

Стандартная колода содержит 52 карты, каждая из которых имеет уникальную метку произвольным образом, то есть в произвольном порядке. Берем карту из колоды; применяя принцип безразличия, мы присваиваем каждому из возможных исходов вероятность 1/52.

Этот пример больше, чем другие, показывает, насколько трудно реально применить принцип безразличия в реальных ситуациях. Под фразой «произвольно упорядоченный» мы на самом деле подразумеваем то, что у нас нет никакой информации, которая позволила бы нам отдать предпочтение той или иной карте. На практике это случается редко: новая колода карт уж точно не располагается в произвольном порядке, как и колода, следующая сразу за рукой. Поэтому на практике мы тасуем карты; это не уничтожает имеющуюся у нас информацию, а вместо этого (надеюсь) делает нашу информацию практически непригодной для использования, хотя в принципе ее все еще можно использовать. Фактически, некоторые опытные игроки в блэкджек могут отслеживать тузы в колоде; для них условие применения принципа безразличия не выполняется.

Приложение к непрерывным переменным

Неправильное применение принципа безразличия может легко привести к бессмысленным результатам, особенно в случае многомерных непрерывных переменных. Типичным случаем неправильного использования является следующий пример:

• Предположим, в коробке спрятан куб. На упаковке написано, что длина стороны кубика составляет от 3 до 5 см.
• Мы не знаем фактическую длину стороны, но можем предположить, что все значения равновероятны, и просто выбрать среднее значение, равное 4 см.
• Информация на этикетке позволяет нам рассчитать, что площадь поверхности куба составляет от 54 до 150 см. ² . Мы не знаем фактическую площадь поверхности, но можем предположить, что все значения одинаково вероятны, и просто выбрать среднее значение, равное 102 см. ² .
• Информация на этикетке позволяет подсчитать, что объем куба составляет от 27 до 125 см. ³ . Мы не знаем фактический объем, но можем предположить, что все значения равновероятны, и просто выбрать среднее значение — 76 см. ³ .
• Однако сейчас мы пришли к невозможному выводу, что длина стороны куба равна 4 см, а площадь поверхности — 102 см. ² , и объёмом 76 см. ³ !

В этом примере взаимно противоречивые оценки длины, площади поверхности и объема куба возникают потому, что мы предположили три взаимно противоречивых распределения этих параметров: равномерное распределение для любой из переменных подразумевает неравномерное распределение для другой. два. В общем, принцип безразличия не указывает, какая переменная (например, в данном случае длина, площадь поверхности или объем) должна иметь однородное эпистемическое распределение вероятностей .

Другим классическим примером такого рода злоупотреблений является парадокс Бертрана . Эдвин Т. Джейнс представил принцип групп преобразований , который может дать эпистемическое распределение вероятностей для этой проблемы. Это обобщает принцип безразличия, говоря, что человек безразличен к эквивалентным проблемам , а не к предложениям. Это по-прежнему сводится к обычному принципу безразличия, когда рассматривается перестановка меток как порождающая эквивалентные проблемы (т. е. использование группы преобразований перестановок). Чтобы применить это к приведенному выше примеру коробки, у нас есть три случайные величины, связанные геометрическими уравнениями. Если у нас нет причин отдавать предпочтение одному трио значений перед другим, тогда наши априорные вероятности должны быть связаны правилом изменения переменных в непрерывных распределениях. Пусть L — длина, а V — объем. Тогда мы должны иметь

$f_{L}(L)=\left|{\partial V \over \partial L}\right|f_{V}(V)=3L^{2}f_{V}(L^{3})$,

где $f_{L},\,f_{V}$ — функции плотности вероятности (pdf) указанных переменных. Это уравнение имеет общее решение: $f(L)={K \over L}$, где K — константа нормализации, определяемая диапазоном L , в данном случае равная:

$K^{-1}=\int _{3}^{5}{dL \over L}=\log \left({5 \over 3}\right)$

Чтобы проверить это, мы запрашиваем вероятность того, что длина меньше 4. Это имеет вероятность:

$Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56$.

Для объема это должно быть равно вероятности того, что объем меньше 4 ³ = 64. PDF-файл тома:

$f(V^{1 \over 3}){1 \over 3}V^{-{2 \over 3}}={1 \over 3V\log({5 \over 3})}$.

И тогда вероятность объема меньше 64 равна

$Pr(V<64)=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5 \over 3})}={\log({64 \over 27}) \over 3\log({5 \over 3})}={3\log({4 \over 3}) \over 3\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56$.

Таким образом мы добились инвариантности относительно объема и длины. Ту же инвариантность можно показать и относительно площади поверхности, меньшей 6(4 ² ) = 96. Однако обратите внимание, что это вероятностное присвоение не обязательно является «правильным». Ведь точное распределение длины, объема или площади поверхности будет зависеть от того, как проводится «эксперимент».

Фундаментальная гипотеза статистической физики о том, что любые два микросостояния системы с одинаковой полной энергией равновероятны в равновесии , является в некотором смысле примером принципа безразличия. Однако, когда микросостояния описываются непрерывными переменными (такими как положения и импульсы), необходима дополнительная физическая основа, чтобы объяснить, при какой параметризации плотность вероятности будет однородной. Теорема Лиувилля оправдывает использование канонически сопряженных переменных , таких как положения и их сопряженные импульсы.

Парадокс вина и воды показывает дилемму со связанными переменными: какую из них выбрать.

История

Этот принцип вытекает из Эпикура (pleonachos tropos). принципа «множественных объяснений» согласно которому «если с данными согласуется более одной теории, сохраните их все». Эпикуреец Лукреций развивал это положение аналогией с множественными причинами смерти трупа. Первые авторы теории вероятности, прежде всего Якоб Бернулли и Пьер Симон Лаплас , считали принцип безразличия интуитивно очевидным и даже не удосужились дать ему название. Лаплас писал:

Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же рода к определенному числу равновозможных случаев, то есть к таким, в существовании которых мы можем быть одинаково не уверены, и в определении числа случаев. благоприятствует событию, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой — число благоприятных случаев, а знаменатель — число всех возможных случаев.

Эти ранние авторы, в частности Лаплас, наивно обобщили принцип безразличия на случай непрерывных параметров, дав так называемое «равномерное априорное распределение вероятностей», функцию, постоянную для всех действительных чисел. Он использовал эту функцию, чтобы выразить полное отсутствие знаний о значении параметра. Согласно Стиглеру (стр. 135), предположение Лапласа об однородных априорных вероятностях не было метафизическим предположением. Это было неявное предположение, сделанное для простоты анализа.

Принцип недостаточного разума был его первым названием, данным ему Иоганнесом фон Крисом . возможно, как игра на Лейбница принципе достаточного основания . Эти более поздние писатели ( Джордж Буль , Джон Венн и другие) возражали против использования униформы по двум причинам. Первая причина заключается в том, что постоянная функция не нормализуется и, следовательно, не является правильным распределением вероятностей. Вторая причина заключается в его неприменимости к непрерывным переменным, как описано выше.

«Принцип недостаточного основания» был переименован в «принцип безразличия» Джоном Мейнардом Кейнсом ( 1921 ). который постарался отметить, что это применимо только тогда, когда нет знаний, указывающих на неравные вероятности.

Попытки поставить это понятие на более прочную философскую основу обычно начинались с концепции равновозможности и продвигались от нее к равновероятности .

Принципу безразличия можно дать более глубокое логическое обоснование, отметив, что эквивалентным состояниям знания должны быть присвоены эквивалентные эпистемические вероятности. Этот аргумент был выдвинут Эдвином Томпсоном Джейнсом : он приводит к двум обобщениям, а именно принципу групп преобразований , как в предшествующем Джеффрису , и принципу максимальной энтропии .

В более общем смысле говорят о неинформативных априорах .

См. также

• Байесовская эпистемология
• Клиническое равновесие
• Правило последовательности : формула для оценки основных вероятностей при небольшом количестве наблюдений или для событий, возникновение которых вообще не наблюдалось в (конечных) выборочных данных.