Соответствующее расстояние

В математике расстояние совмещения является метрикой в ​​пространстве функций размера .

Пример: Соответствующее расстояние между $\ell _{1}=r+a+b$ и $\ell _{2}=r'+a'$ дается $d_{\text{match}}(\ell _{1},\ell _{2})=\max\{\delta (r,r'),\delta (b,a'),\delta (a,\Delta )\}=4$

В основе определения расстояния совпадения лежит наблюдение о том, чтоИнформация, содержащаяся в функции размера, может быть комбинаторно сохранена в формальной серии линий и точек плоскости, называемых соответственно угловыми линиями и угловыми точками .

Учитывая две функции размера $\ell _{1}$ и $\ell _{2}$, позволять $C_{1}$ (соответственно $C_{2}$) — мультимножествовсе угловые точки и угловые линии для $\ell _{1}$ (соответственно $\ell _{2}$) посчитали со своимикратности, дополненные добавлением счетной бесконечности точекдиагональ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=y\}$.

Соответствующее расстояние между $\ell _{1}$ и $\ell _{2}$ дается $d_{\text{match}}(\ell _{1},\ell _{2})=\min _{\sigma }\max _{p\in C_{1}}\delta (p,\sigma (p))$где $\sigma$ варьируется среди всех биекций между $C_{1}$ и $C_{2}$ и

$\delta \left((x,y),(x',y')\right)=\min \left\{\max\{|x-x'|,|y-y'|\},\max \left\{{\frac {y-x}{2}},{\frac {y'-x'}{2}}\right\}\right\}.$

Грубо говоря, расстояние согласования $d_{\text{match}}$между двумя функциями размера является минимумом среди всех совпадениймежду угловыми точками двух размерных функций максимумапринадлежащий $L_{\infty }$-расстояния между двумя совпадающими угловыми точками. Сдве функции размера могут иметь разное количество угловых точек,их также можно сопоставить с точками диагонали $\Delta$. Более того, определение $\delta$ подразумевает, что сопоставление двух точек диагонали не требует затрат.

См. также

• Теория размеров
• Функция размера
• Функтор размера
• Размерная гомотопическая группа
• Естественная псевдодистанция