Теория размеров

В математике , теория размеров изучает свойства топологических пространств наделенных $\mathbb {R} ^{k}$ -значные функции , относительно изменения этих функций. Более формально, предметом теории размеров является изучение естественного псевдорасстояния между парами размеров .Обзор теории размеров можно найти в . ^[1]

История и приложения

Начало теории размера коренится в понятии функции размера , введенном Фрозини. ^[2] Функции размера первоначально использовались в качестве математического инструмента для сравнения форм в компьютерном зрении и распознавании образов . ^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]

Расширение концепции функции размера на алгебраическую топологию было сделано в статье Фросини и Мулаццани 1999 года. ^[11] где были введены размерные гомотопические группы вместе с естественным псевдорасстоянием для $\mathbb {R} ^{k}$ -значные функции.Расширение теории гомологии ( функтор размера ) было введено в 2001 году. ^[12]Группа гомотопий размера и функтор размера строго связаны с концепцией устойчивой группы гомологии. ^[13] изучены в устойчивой гомологии . Стоит отметить, что функция размера – это ранг $0$ -я группа устойчивой гомологии, а связь между группой устойчивой гомологии и размерная гомотопическая группа аналогична группе, существующей между группами гомологий и гомотопическими группами .

В теории размеров функции размера и гомотопические группы размеров рассматриваются как инструменты для вычисления нижних границ естественного псевдорасстояния . На самом деле между значениями, принимаемыми функциями размера, существует следующая связь $\ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})$ , $\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ и естественное псевдорасстояние $d((M,\varphi ),(N,\psi ))$ между парами размеров $(M,\varphi ),\ (N,\psi )$ , ^[14]^[15]

{\text{If }}\ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}}){\text{ then }}d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde {x}}-{\bar {x}},{\bar {y}}-{\tilde {y}}\}.

Аналогичный результат справедлив и для размерной гомотопической группы . ^[11]

Попытка обобщить теорию размеров и концепцию естественного псевдорасстояния на нормы, отличные от супремумной нормы, привела к изучению других норм, инвариантных при репараметризации. ^[16]

См. также

Ссылки

^ Сильвия Биазотти, Лейла Де Флориани , Бьянка Фальчидиено , Патрицио Фросини, Даниэла Джорджи, Клаудия Ланди, Лаура Папалео, Микела Спаньоло, Описание форм с помощью геометрическо-топологических свойств действительных функций,Обзоры вычислительных систем ACM, том. 40 (2008), н. 4, 12:1–12:87.
^ Патрицио Фросини, Расстояние для классов подобия подмногообразий евклидова пространства , Бюллетень Австралийского математического общества, 42 (3): 407–416, 1990.
^ Алессандро Верри, Клаудио Урас, Патрицио Фросини и Массимо Ферри, Об использовании функций размера для анализа формы ,Биологическая кибернетика, 70:99–107, 1993.
^ Патрицио Фросини и Клаудия Ланди, Функции размера и морфологические преобразованияЖурнал прикладной математики, 49 (1): 85–104, 1997.
^ Алессандро Верри и Клаудио Урас, Метрически-топологический подход к представлению и распознаванию форм ,Image Vision Comput., 14:189–207, 1996.
^ Алессандро Верри и Клаудио Урас, Вычисление функций размера по картам ребер ,Интерн. Дж. Компьютер. Видение, 23(2):169–183, 1997.
^ Франсуаза Дибос, Патрицио Фрозини и Дени Паскиньон, Использование функций размера для сравнения форм посредством дифференциальных инвариантов ,Журнал математического изображения и видения, 21 (2): 107–118, 2004.
^ Мишель д'Амико, Патрицио Фросини и Клаудия Ланди, Использование расстояния сопоставления в теории размеров: обзор , Международный журнал систем и технологий визуализации, 16 (5): 154–161, 2006.
^ Андреа Черри, Массимо Ферри, Даниэла Джорджи: Извлечение изображений товарных знаков с помощью функций размера Графические модели 68: 451–471, 2006.
^ Сильвия Биазотти, Даниэла Джорджи, Микела Спаньуоло, Бьянка Фальчидиено : Функции размера для сравнения 3D-моделей. Распознавание образов 41: 2855–2873, 2008.
^ Перейти обратно: ^а ^б Патрицио Фросини и Мишель Мулаццани, Гомотопические группы размеров для вычисления расстояний натуральных размеров , Бюллетень Бельгийского математического общества – Саймон Стевин, 6:455–464 1999.
^ Франческа Кальяри, Массимо Ферри и Паола Поцци, Функции размера с категориальной точки зрения , Acta Applicandae Mathematicae, 67 (3): 225–235, 2001.
^ Герберт Эдельсбруннер, Дэвид Летчер и Афра Зомородян, Топологическая устойчивость и упрощение , Дискретная и вычислительная геометрия , 28 (4): 511–533, 2002.
^ Патрицио Фросини и Клаудия Ланди, Теория размеров как топологический инструмент компьютерного зрения , распознавание образов и анализ изображений, 9 (4): 596–603, 1999.
^ Пьетро Донатини и Патрицио Фрозини, Нижние оценки естественных псевдорасстояний через функции размера , Архивы неравенств и приложений, 2 (1): 1–12, 2004.
^ Патрицио Фросини, Клаудия Ланди: Инвариантные нормы репараметризации. Труды Американского математического общества 361: 407–452, 2009.

[BiDeFa08-1] Сильвия Биазотти, Лейла Де Флориани , Бьянка Фальчидиено , Патрицио Фросини, Даниэла Джорджи, Клаудия Ланди, Лаура Папалео, Микела Спаньоло, Описание форм с помощью геометрическо-топологических свойств действительных функций,Обзоры вычислительных систем ACM, том. 40 (2008), н. 4, 12:1–12:87.

[Fro90-2] Патрицио Фросини, Расстояние для классов подобия подмногообразий евклидова пространства , Бюллетень Австралийского математического общества, 42 (3): 407–416, 1990.

[3] Алессандро Верри, Клаудио Урас, Патрицио Фросини и Массимо Ферри, Об использовании функций размера для анализа формы ,Биологическая кибернетика, 70:99–107, 1993.

[4] Патрицио Фросини и Клаудия Ланди, Функции размера и морфологические преобразованияЖурнал прикладной математики, 49 (1): 85–104, 1997.

[5] Алессандро Верри и Клаудио Урас, Метрически-топологический подход к представлению и распознаванию форм ,Image Vision Comput., 14:189–207, 1996.

[6] Алессандро Верри и Клаудио Урас, Вычисление функций размера по картам ребер ,Интерн. Дж. Компьютер. Видение, 23(2):169–183, 1997.

[7] Франсуаза Дибос, Патрицио Фрозини и Дени Паскиньон, Использование функций размера для сравнения форм посредством дифференциальных инвариантов ,Журнал математического изображения и видения, 21 (2): 107–118, 2004.

[dAFrLa06-8] Мишель д'Амико, Патрицио Фросини и Клаудия Ланди, Использование расстояния сопоставления в теории размеров: обзор , Международный журнал систем и технологий визуализации, 16 (5): 154–161, 2006.

[CeFeGi06-9] Андреа Черри, Массимо Ферри, Даниэла Джорджи: Извлечение изображений товарных знаков с помощью функций размера Графические модели 68: 451–471, 2006.

[BiGiSp08-10] Сильвия Биазотти, Даниэла Джорджи, Микела Спаньуоло, Бьянка Фальчидиено : Функции размера для сравнения 3D-моделей. Распознавание образов 41: 2855–2873, 2008.

[FroMu99-11] Перейти обратно: ^а ^б Патрицио Фросини и Мишель Мулаццани, Гомотопические группы размеров для вычисления расстояний натуральных размеров , Бюллетень Бельгийского математического общества – Саймон Стевин, 6:455–464 1999.

[CaFePo01-12] Франческа Кальяри, Массимо Ферри и Паола Поцци, Функции размера с категориальной точки зрения , Acta Applicandae Mathematicae, 67 (3): 225–235, 2001.

[EdLeZo02-13] Герберт Эдельсбруннер, Дэвид Летчер и Афра Зомородян, Топологическая устойчивость и упрощение , Дискретная и вычислительная геометрия , 28 (4): 511–533, 2002.

[FroLa99-14] Патрицио Фросини и Клаудия Ланди, Теория размеров как топологический инструмент компьютерного зрения , распознавание образов и анализ изображений, 9 (4): 596–603, 1999.

[DoFro04-15] Пьетро Донатини и Патрицио Фрозини, Нижние оценки естественных псевдорасстояний через функции размера , Архивы неравенств и приложений, 2 (1): 1–12, 2004.

[FrLa09-16] Патрицио Фросини, Клаудия Ланди: Инвариантные нормы репараметризации. Труды Американского математического общества 361: 407–452, 2009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

v т и Топология
Поля	Общий (набор точек) алгебраический комбинаторный Континуум Дифференциал Геометрический низкоразмерный Гомология когомологии теоретико-множественный Цифровой
Ключевые понятия	Открытый набор / Закрытый набор Интерьер Непрерывность Космос компактный подключен Хаусдорф метрика униформа Гомотопия гомотопическая группа фундаментальная группа Симплициальный комплекс комплекс ХО Полиэдрический комплекс Коллектор Связка (математика) Второе счетное пространство Кобордизм
Метрики и свойства	Эйлерова характеристика Номер Бетти Номер обмотки Число Черна Ориентируемость
Ключевые результаты	Банахова теорема о неподвижной точке Когомологии Де Рама Инвариантность домена Гипотеза Пуанкаре Теорема Тихонова Лемма Урысона
Категория Математический портал Викибук Викиверситет Темы общий алгебраический геометрический Публикации