Функция размера

Функции размера — это дескрипторы формы в геометрическом/топологическом смысле. Это функции из полуплоскости. $x<y$ к натуральным числам, считая некоторые компоненты связности топологического пространства . Они используются в распознавании образов и топологии .

Формальное определение

В теории размеров функция размера $\ell _{(M,\varphi )}:\Delta ^{+}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x<y\}\to \mathbb {N}$ связанный с парой размеров $(M,\varphi :M\to \mathbb {R} )$ определяется следующим образом. Для каждого $(x,y)\in \Delta ^{+}$, $\ell _{(M,\varphi )}(x,y)$ равно числу компонент связности множества $\{p\in M:\varphi (p)\leq y\}$ которые содержат хотя бы одну точку, в которой измеряющая функция ( непрерывная функция из топологического пространства $M$ к $\mathbb {R} ^{k}$) $\varphi$ принимает значение меньше или равное $x$. Понятие функции размера можно легко распространить на случай функции измерения. $\varphi :M\to \mathbb {R} ^{k}$, где $\mathbb {R} ^{k}$ наделен обычным частичным порядком. Обзор о функциях размера (и теории размеров ) можно найти в .

Пример функции размера. (A) Пара размеров $(M,\varphi :M\to \mathbb {R} )$, где $M$ это синяя кривая и $\varphi :M\to \mathbb {R}$ — функция высоты. (Б) Набор $\{p\in M:\varphi (p)\leq b\}$ изображен зеленым цветом. (C) Набор точек, в которых функция измерения $\varphi$ принимает значение меньше или равное $a$, то есть, $\{p\in M:\varphi (p)\leq a\}$, изображен красным. (D) Две связные компоненты множества $\{p\in M:\varphi (p)\leq b\}$ содержать хотя бы одну точку $\{p\in M:\varphi (p)\leq a\}$, то есть по крайней мере одна точка, в которой функция измерения $\varphi$ принимает значение меньше или равное $a$. (E) Значение функции размера $\ell _{(M,\varphi )}$ в точку $(a,b)$ равно $2$.

История и приложения

Функции размера были введены в для частного случая $M$ равно топологическому пространству всех кусочных $C^{1}$ закрытые пути в $C^{\infty }$ замкнутое многообразие, вложенное в евклидово пространство. Здесь топология на $M$ индуцируется $C^{0}$-норма, а измерительная функция $\varphi$ берет каждый путь $\gamma \in M$ на его длину.В случай $M$ равен топологическому пространству всех упорядоченных $k$-наборы точек в подмногообразии евклидова пространства.Здесь топология на $M$ индуцируется метрикой $d((P_{1},\ldots ,P_{k}),(Q_{1}\ldots ,Q_{k}))=\max _{1\leq i\leq k}\|P_{i}-Q_{i}\|$.

Распространение понятия размерной функции на алгебраическую топологию было сделано в понятие размерной гомотопической группы где было введено . Здесь измерительные функции, принимающие значения в $\mathbb {R} ^{k}$ разрешены.Расширение теории гомологии ( функтор размера ) было введено в. Понятия группы гомотопий размера и функтора размера строго связаны с понятием устойчивой группы гомологии. изучены в устойчивой гомологии . Стоит отметить, что функция размера – это ранг $0$-я группа устойчивой гомологии, а связь между группой устойчивой гомологиии размерная гомотопическая группа аналогична группе, существующей между группами гомологий и гомотопическими группами .

Функции размера изначально были представлены как математический инструмент для сравнения форм в компьютерном зрении и распознавании образов и легли в основу теории размеров . Суть в том, что функции размера инвариантны для любого преобразования, сохраняющего функцию измерения . Следовательно, их можно адаптировать для множества различных применений, просто изменив функцию измерения , чтобы получить желаемую инвариантность. Более того, размерные функции проявляют свойства относительной устойчивости к шуму в зависимости от того, что они распределяют информацию по всей полуплоскости. $\Delta ^{+}$.

Основные свойства

Предположим, что $M$ — компактное локально связное хаусдорфово пространство . Имеют место следующие утверждения:

• каждая функция размера $\ell _{(M,\varphi )}(x,y)$ – неубывающая функция по переменной $x$ и невозрастающая функция по переменной $y$.
• каждая функция размера $\ell _{(M,\varphi )}(x,y)$ является локально правой константой по обеим переменным.
• для каждого $x<y$, $\ell _{(M,\varphi )}(x,y)$ конечно.
• для каждого $x<\min \varphi$ и каждый $y>x$, $\ell _{(M,\varphi )}(x,y)=0$.
• для каждого $y\geq \max \varphi$ и каждый $x<y$, $\ell _{(M,\varphi )}(x,y)$ равно числу связных компонентов $M$ на котором минимальное значение $\varphi$ меньше или равно $x$.

Если мы также предположим, что $M$ представляет собой гладкое замкнутое многообразие и $\varphi$ это $C^{1}$-функции, имеет место следующее полезное свойство:

• для того, чтобы $(x,y)$ является точкой разрыва для $\ell _{(M,\varphi )}$ необходимо, чтобы либо $x$ или $y$ или оба являются критическими значениями для $\varphi$.

Сильная связь между концепцией функции размера и концепцией естественного псевдорасстояния. $d((M,\varphi ),(N,\psi ))$ между парами размеров $(M,\varphi ),\ (N,\psi )$ существует.

• если $\ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ затем $d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde {x}}-{\bar {x}},{\bar {y}}-{\tilde {y}}\}$.

Предыдущий результат дает простой способ получить нижние оценки естественного псевдорасстояния и является одной из основных причин для введения понятия функции размера.

Представление формальным рядом

Алгебраическое представление размерафункции в терминах набора точек и линий на реальной плоскости скратности, т.е. как определенные формальные ряды, были представлены в . Точки (называемые угловыми точками ) и линии (называемые угловыми линиями ) таких формальных рядов кодируют информацию оразрывы соответствующих размерных функций, аих кратности содержат информацию о значениях, принимаемыхфункция размера.

Формально:

• угловые точки определяются как те точки $p=(x,y)$, с $x<y$, такой, что число

$\mu (p){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,\beta >0}\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y-\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y+\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x-\alpha ,y-\beta )+\ell _{({M},\varphi )}(x-\alpha ,y+\beta )$

является положительным. Число $\mu (p)$ говорят, что множественность это $p$.

• угловые линии и определяются как эти линии $r:x=k$ такой, что

$\mu (r){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,k+\alpha <y}\ell _{({M},\varphi )}(k+\alpha ,y)-\ell _{({M},\varphi )}(k-\alpha ,y)>0.$

Число $\mu (r)$ грустно множественностью быть $r$.

• Теорема о представлении : для каждого ${\bar {x}}<{\bar {y}}$, оно держится

$\ell _{({M},\varphi )}({\bar {x}},{\bar {y}})=\sum _{p=(x,y) \atop x\leq {\bar {x}},y>{\bar {y}}}\mu {\big (}p{\big )}+\sum _{r:x=k \atop k\leq {\bar {x}}}\mu {\big (}r{\big )}$.

Это представление содержит такое же количество информации об изучаемой форме, как и исходная Функция размера делает это, но гораздо более лаконично.

Этот алгебраический подход к функциям размера приводит к определению новых мер сходства. между фигурами, переводя проблему сравнения функций размера в проблема сравнения формальных рядов. Наиболее изученной среди этих метрик между функцией размера является расстояние соответствия .

См. также

• Теория размеров
• Естественная псевдодистанция
• Функтор размера
• Размерная гомотопическая группа
• Пара размеров
• Соответствующее расстояние
• Топологический анализ данных