Естественная псевдодистанция

В теории размеров естественное псевдорасстояние между двумя парами размеров. $(M,\varphi :M\to \mathbb {R} )\$ , $(N,\psi :N\to \mathbb {R} )\$ это ценность $\inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\$ , где $h\$ меняется на множестве всех гомеоморфизмов многообразия $M\$ к коллектору $N\$ и $\|\cdot \|_{\infty }\$ это высшая норма . Если $M\$ и $N\$ не гомеоморфны, то естественное псевдорасстояние определяется как $\infty \$ . Обычно предполагается, что $M\$ , $N\$ являются $C^{1}\$ закрытые коллекторы и измерительные функции $\varphi ,\psi \$ являются $C^{1}\$ . Другими словами, естественное псевдорасстояние измеряет нижнюю грань изменения измерительной функции, вызванного гомеоморфизмами из $M\$ к $N\$ .

Понятие естественного псевдорасстояния можно легко распространить на пары размеров , где функция измерения $\varphi \$ принимает значения в $\mathbb {R} ^{m}\$ . ^{[ 1 ]} Когда $M=N\$ , группа $H\$ всех гомеоморфизмов $M\$ в определении естественного псевдорасстояния можно заменить подгруппой $G\$ из $H\$ , поэтому получив понятие естественного псевдорасстояния по группе $G\$ . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Нижние оценки и аппроксимации естественного псевдорасстояния по группе $G\$ можно получить как с помощью $G$ -инвариантная постоянная гомология ^{[ 4 ]} и комбинируя классические постоянные гомологии с использованием G-эквивариантных нерасширяющих операторов. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Основные свойства

Это можно доказать ^{[ 5 ]} что естественное псевдорасстояние всегда равно евклидову расстоянию между двумя критическими значениями измерительных функций (возможно, одной и той же измерительной функции), делённому на подходящее положительное целое число $k\$ . Если $M\$ и $N\$ поверхности, число $k\$ можно предположить, что $1\$ , $2\$ или $3\$ . ^{[ 6 ]} Если $M\$ и $N\$ кривые, число $k\$ можно предположить, что $1\$ или $2\$ . ^{[ 7 ]} Если оптимальный гомеоморфизм ${\bar {h}}\$ существует (т.е. $\|\varphi -\psi \circ {\bar {h}}\|_{\infty }=\inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\$ ), затем $k\$ можно предположить, что $1\$ . ^{[ 5 ]} Исследования оптимальных гомеоморфизмов все еще находятся в самом начале. . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

См. также

Ссылки

^ Патрицио Фросини, Микеле Мулаццани, Гомотопические группы размеров для вычисления расстояний натуральных размеров , Бюллетень Бельгийского математического общества , 6:455-464, 1999.
^ Jump up to: ^а ^б Патрицио Фросини, Гжегож Яблоньский, Объединение групп постоянной гомологии и инвариантности для сравнения форм , Дискретная и вычислительная геометрия , 55(2):373-409, 2016.
^ Jump up to: ^а ^б Маттиа Дж. Бергоми, Патрицио Фросини, Даниэла Джорджи, Никола Кверчоли, На пути к тополого-геометрической теории групповых эквивариантных нерасширяющих операторов для анализа данных и машинного обучения , Nature Machine Intelligence , (2 сентября 2019 г.). DOI: 10.1038/s42256-019-0087-3 Полнотекстовый доступ к версии этой статьи только для просмотра доступен по ссылке https://rdcu.be/bP6HV .
^ Патрицио Фрозини, G-инвариантные постоянные гомологии , Математические методы в прикладных науках , 38 (6): 1190-1199, 2015.
^ Jump up to: ^а ^б Пьетро Донатини, Патрицио Фрозини, Естественные псевдорасстояния между замкнутыми многообразиями , Математический форум, 16(5):695-715, 2004.
^ Пьетро Донатини, Патрицио Фрозини, Естественные псевдорасстояния между закрытыми поверхностями , Журнал Европейского математического общества , 9(2):231–253, 2007.
^ Пьетро Донатини, Патрицио Фрозини, Естественные псевдорасстояния между замкнутыми кривыми , Математический форум, 21 (6): 981–999, 2009.
^ Андреа Черри, Барбара Ди Фабио, О некоторых оптимальных диффеоморфизмах между замкнутыми кривыми , Математический форум, 26 (6): 1611-1628, 2014.
^ Алессандро Де Грегорио, О множестве оптимальных гомеоморфизмов для естественного псевдорасстояния, связанного с группой Ли $S^{1}\$ , Топология и ее приложения, 229:187-195, 2017.

Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[FroMu99-1] Патрицио Фросини, Микеле Мулаццани, Гомотопические группы размеров для вычисления расстояний натуральных размеров , Бюллетень Бельгийского математического общества , 6:455-464, 1999.

[FroJa16-2] Jump up to: ^а ^б Патрицио Фросини, Гжегож Яблоньский, Объединение групп постоянной гомологии и инвариантности для сравнения форм , Дискретная и вычислительная геометрия , 55(2):373-409, 2016.

[BFGQ19-3] Jump up to: ^а ^б Маттиа Дж. Бергоми, Патрицио Фросини, Даниэла Джорджи, Никола Кверчоли, На пути к тополого-геометрической теории групповых эквивариантных нерасширяющих операторов для анализа данных и машинного обучения , Nature Machine Intelligence , (2 сентября 2019 г.). DOI: 10.1038/s42256-019-0087-3 Полнотекстовый доступ к версии этой статьи только для просмотра доступен по ссылке https://rdcu.be/bP6HV .

[Fro15-4] Патрицио Фрозини, G-инвариантные постоянные гомологии , Математические методы в прикладных науках , 38 (6): 1190-1199, 2015.

[DoFro04-5] Jump up to: ^а ^б Пьетро Донатини, Патрицио Фрозини, Естественные псевдорасстояния между замкнутыми многообразиями , Математический форум, 16(5):695-715, 2004.

[6] Пьетро Донатини, Патрицио Фрозини, Естественные псевдорасстояния между закрытыми поверхностями , Журнал Европейского математического общества , 9(2):231–253, 2007.

[7] Пьетро Донатини, Патрицио Фрозини, Естественные псевдорасстояния между замкнутыми кривыми , Математический форум, 21 (6): 981–999, 2009.

[8] Андреа Черри, Барбара Ди Фабио, О некоторых оптимальных диффеоморфизмах между замкнутыми кривыми , Математический форум, 26 (6): 1611-1628, 2014.

[9] Алессандро Де Грегорио, О множестве оптимальных гомеоморфизмов для естественного псевдорасстояния, связанного с группой Ли $S^{1}\$ , Топология и ее приложения, 229:187-195, 2017.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]