Размерная гомотопическая группа

Понятие размерной гомотопической группы аналогично в теории размеров классическому понятию гомотопической группы . Чтобы дать его определение, предположим, что пара размеров $(M,\varphi )$ дано, где $M$ является замкнутым многообразием класса $C^{0}\$ и $\varphi :M\to \mathbb {R} ^{k}$ является непрерывной функцией . Рассмотрим лексикографический порядок $\preceq$ на $\mathbb {R} ^{k}$ определяется установкой $(x_{1},\ldots ,x_{k})\preceq (y_{1},\ldots ,y_{k})\$ тогда и только тогда, когда $x_{1}\leq y_{1},\ldots ,x_{k}\leq y_{k}$. Для каждого $Y\in \mathbb {R} ^{k}$ набор $M_{Y}=\{Z\in \mathbb {R} ^{k}:Z\preceq Y\}$.

Предположим, что $P\in M_{X}\$ и $X\preceq Y\$. Если $\alpha \$, $\beta \$ это два пути из $P\$ к $P\$ и гомотопия из $\alpha \$ к $\beta \$, базирующийся в $P\$, существует в топологическом пространстве $M_{Y}\$, тогда пишем $\alpha \approx _{Y}\beta \$. Первая гомотопическая группа размеров пары размеров $(M,\varphi )\$ рассчитано на $(X,Y)\$ определяется как фактормножество множества всех путей из $P\$ к $P\$ в $M_{X}\$ относительно отношения эквивалентности $\approx _{Y}\$, наделенный операцией, индуцированной обычной композицией базовых циклов .

Другими словами, первая гомотопическая группа размеров пары размеров $(M,\varphi )\$ рассчитано на $(X,Y)\$ и $P\$ это изображение $h_{XY}(\pi _{1}(M_{X},P))\$первой гомотопической группы $\pi _{1}(M_{X},P)\$ с базовой точкой $P\$ топологического пространства $M_{X}\$, когда $h_{XY}\$ — гомоморфизм , индуцированный включением $M_{X}\$ в $M_{Y}\$.

The $n$Гомотопическая группа -го размера получается заменой петель, основанных на $P\$ с непрерывными функциями $\alpha :S^{n}\to M\$ принимая фиксированную точку $S^{n}\$ к $P\$ высших гомотопических групп , как это происходит при определении .

См. также

• Функция размера
• Функтор размера
• Пара размеров
• Естественная псевдодистанция