Функтор размера

Учитывая размерную пару $(M,f)\$ где $M\$ представляет собой многообразие размерности $n\$ и $f\$ — произвольная действительная непрерывная функция, определеннаяна этом, $i$-ый размерный функтор , с $i=0,\ldots ,n\$, обозначенный $F_{i}\$, является функтором в $Fun(\mathrm {Rord} ,\mathrm {Ab} )\$, где $\mathrm {Rord} \$ - категория упорядоченных действительных чисел, а $\mathrm {Ab} \$ — категория абелевых групп , определенная следующим образом. Для $x\leq y\$, параметр $M_{x}=\{p\in M:f(p)\leq x\}\$, $M_{y}=\{p\in M:f(p)\leq y\}\$, $j_{xy}\$ равно включению из $M_{x}\$ в $M_{y}\$, и $k_{xy}\$ равен морфизму в $\mathrm {Rord} \$ от $x\$ к $y\$,

• для каждого $x\in \mathbb {R} \$, $F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\$
• $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}).\$

Другими словами, функтор размера изучаетпроцесс рождения и смерти классов гомологии по мере изменения множества нижнего уровня.Когда $M\$ гладкий, компактный и $f\$ — функция Морса , функтор $F_{0}\$ может бытьописывается ориентированными деревьями, называемыми $H_{0}\$ − деревья.

Понятие функтора размера было введено как расширение теории гомологии и теории категорий идеи функции размера . Основная мотивация введения функтора размера возникла из наблюдения, что функция размера $\ell _{(M,f)}(x,y)\$ можно рассматривать как рангизображения $H_{0}(j_{xy}):H_{0}(M_{x})\rightarrow H_{0}(M_{y})$.

Понятие функтора размера строго связано с понятием устойчивой группы гомологии . изучены в устойчивой гомологии . Стоит отметить, что $i\$-я персистентная группа гомологий совпадает с образом гомоморфизма $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$.

См. также

• Теория размеров
• Функция размера
• Размерная гомотопическая группа
• Пара размеров