Группа стойкой гомологии

В устойчивой гомологии постоянная группа гомологии представляет собой многомасштабный аналог группы гомологии , которая собирает информацию об эволюции топологических признаков при фильтрации пространств. В то время как обычная группа гомологий представляет собой нетривиальные классы гомологий отдельного топологического пространства , постоянная группа гомологий отслеживает только те классы, которые остаются нетривиальными по множеству параметров базовой фильтрации. По аналогии с обычным числом Бетти , ранги постоянных групп гомологии известны как постоянные числа Бетти . Группы постоянной гомологии были впервые представлены Гербертом Эдельсбруннером , Дэвидом Летшером и Афрой Зомородян в статье 2002 года «Топологическая устойчивость и упрощение» , одной из основополагающих статей в области постоянной гомологии и топологического анализа данных . ^[1] основанный в основном на персистентных штрих-кодах и алгоритме персистентности, которые были впервые описаны Сергеем Баранниковым в статье 1994 года. ^[2] С тех пор изучение групп устойчивой гомологии привело к их применениям в науке о данных . ^[3] машинное обучение , ^[4] материаловедение , ^[5] биология , ^[6]^[7] и экономика . ^[8]

Определение

Позволять $K$ — симплициальный комплекс , и пусть $f:K\to \mathbb {R}$ быть вещественной монотонной функцией . Тогда для некоторых значений $a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}\in \mathbb {R}$ наборы подуровней $K(a):=f^{-1}(-\infty ,a]$ дать последовательность вложенных подкомплексов $\emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K$ известный фильтрация как $K$ .

Применение $p^{th}$ гомология каждому комплексу дает последовательность групп гомологии $0=H_{p}(K_{0})\to H_{p}(K_{1})\to \cdots \to H_{p}(K_{n})=H_{p}(K)$ связаны гомоморфизмами , индуцированными отображениями включения базовой фильтрации. Когда гомологии применяются к полю , мы получаем последовательность векторных пространств и линейных отображений, известную как модуль персистентности .

Позволять $f_{p}^{i,j}:H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})$ – гомоморфизм, индуцированный включением $K_{i}\hookrightarrow K_{j}$ . Тогда $p^{th}$ группы устойчивой гомологии определяются как изображения $H_{p}^{i,j}:=\operatorname {im} f_{p}^{i,j}$ для всех $1\leq i\leq j\leq n$ . В частности, группа персистентной гомологии $H_{p}^{i,i}=H_{p}(K_{i})$ .

Точнее, $p^{th}$ группу постоянной гомологии можно определить как $H_{p}^{i,j}=Z_{p}(K_{i})/\left(B_{p}(K_{j})\cap Z_{p}(K_{i})\right)$ , где $Z_{p}(K_{\bullet })$ и $B_{p}(K_{\bullet })$ — стандартные группы p-циклов и p-границ соответственно. ^[9]

Рождение и смерть классов гомологии

Иногда элементы $H_{p}^{i,j}$ описываются как классы гомологии, которые «рождаются» в момент или раньше $K_{i}$ и которые еще не «умерли», входя $K_{j}$ . Эти понятия можно уточнить следующим образом. Класс гомологии $\gamma \in H_{p}(K_{i})$ говорят, что он родился в $K_{i}$ если он не содержится в образе предыдущей устойчивой группы гомологии, т. е. $\gamma \notin H_{p}^{i-1,i}$ . Наоборот, $\gamma$ говорят, что он умирает, входя $K_{j}$ если $\gamma$ включается (т. е. сливается с) в другой более старый класс, поскольку последовательность исходит из $K_{j-1}\to K_{j}$ . То есть, $f_{p}^{i,j-1}(\gamma )\notin H_{p}^{i-1,j-1}$ но $f_{p}^{i,j}(\gamma )\in H_{p}^{i-1,j}$ . Определение того, что старший класс сохраняется, если он сливается с младшим классом, а не наоборот, иногда называют правилом старшего . ^[10]^[11]

Индексы $i,j$ в котором класс гомологии $\gamma$ рождается и умирает, входящие в него, известны как рождения и смерти индексы $\gamma$ . Разница $j-i$ известен как устойчивости индекс $\gamma$ , а соответствующая разность $a_{j}-a_{i}$ известно как сохранение в значениях функций, соответствующих этим индексам , $\gamma$ . Если не существует индекса, по которому $\gamma$ умирает, ему присваивается бесконечный индекс смерти. Таким образом, устойчивость каждого класса можно представить как интервал расширенной вещественной линии. $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ любой формы $[a_{i},a_{j})$ или $[a_{i}',\infty )$ . Поскольку в случае бесконечного поля бесконечное число классов всегда имеет одинаковую персистентность, сбор по всем классам таких интервалов не дает значимых кратностей для мультимножества интервалов. Вместо этого такие кратности и мультимножества интервалов в расширенной вещественной прямой задаются структурной теоремой гомологии персистентности . ^[2] Этот мультинабор известен как штрих-код персистентности . ^[12]

Каноническая форма

Конкретно, структурная теорема утверждает, что для любого фильтрованного комплекса над полем $F$ , существует линейное преобразование, сохраняющее фильтрацию и переводящее фильтрованный комплекс в так называемую каноническую форму - канонически определенную прямую сумму фильтрованных комплексов двух типов: двумерных комплексов с тривиальными гомологиями. $d(e_{a_{j}})=e_{a_{i}}$ и одномерные комплексы с тривиальным дифференциалом $d(e_{a'_{i}})=0$ . ^[2]

Диаграмма устойчивости

Геометрически штрих-код можно отобразить как множество точек (возможно, с бесконечными координатами). $(a_{i},a_{j})$ в расширенной плоскости $\left(\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\right)^{2}$ . Согласно приведенным выше определениям, каждая точка будет лежать выше диагонали, а расстояние до диагонали в точности равно постоянству времен соответствующего класса. ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ . Эта конструкция известна как диаграмма персистентности , и она обеспечивает способ визуализации структуры персистентности классов гомологии в последовательности персистентных групп гомологии. ^[1]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Эдельсбруннер; Летчер; Зомородянин (2002). «Топологическая устойчивость и упрощение» . Дискретная и вычислительная геометрия . 28 (4): 511–533. дои : 10.1007/s00454-002-2885-2 . ISSN 0179-5376 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Баранников, Сергей (1994). «Оформленный комплекс Морса и его инварианты» (PDF) . Успехи советской математики . АДВСОВ. 21 : 93–115. дои : 10.1090/advsov/021/03 . ISBN 9780821802373 . S2CID 125829976 .
^ Чен, Ли М. (2015). Математические проблемы науки о данных: теоретические и практические методы . Чжисюнь Су, Бо Цзян. Чам. стр. 120–124. ISBN 978-3-319-25127-1 . OCLC 932464024 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Машинное обучение и извлечение знаний: Первая международная междоменная конференция IFIP TC 5, WG 8.4, 8.9, 12.9, CD-MAKE 2017, Реджио, Италия, 29 августа – 1 сентября 2017 г., Материалы . Андреас Хольцингер, Питер Кизеберг, А. Мин Тьоа, Эдгар Р. Вейппль. Чам. 2017. С. 23–24. ISBN 978-3-319-66808-6 . OCLC 1005114370 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: другие ( ссылка )
^ Хирата, Акихико (2016). Структурный анализ металлических стекол с расчетной гомологией . Канаме Мацуэ, Минвэй Чен. Япония. стр. 63–65. ISBN 978-4-431-56056-2 . OCLC 946084762 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Мораледа, Родриго Рохас (2020). Вычислительная топология для анализа биомедицинских изображений и данных: теория и приложения . Нектариос А. Валоус, Вэй Сюн, Нильс Халама. Бока-Ратон, Флорида. ISBN 978-0-429-81099-2 . OCLC 1108919429 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Рабадан, Рауль (2020). Топологический анализ данных для геномики и эволюции: топология в биологии . Эндрю Дж. Блумберг. Кембридж, Великобритания. стр. 132–158. ISBN 978-1-316-67166-5 . OCLC 1129044889 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Йен, Питер Цунг-Вен; Чеонг, Сью Энн (2021). «Использование топологического анализа данных (TDA) и постоянной гомологии для анализа фондовых рынков Сингапура и Тайваня» . Границы в физике . 9 : 20. Бибкод : 2021FrP.....9...20Y . дои : 10.3389/fphy.2021.572216 . hdl : 10356/155402 . ISSN 2296-424X .
^ Эдельсбруннер, Герберт (2010). Вычислительная топология: введение . Дж. Харер. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 149–153. ISBN 978-0-8218-4925-5 . OCLC 427757156 .
^ Нильсен, Франк, изд. (2021). Прогресс информационной геометрии: теория и приложения . Чам. п. 224. ИСБН 978-3-030-65459-7 . OCLC 1243544872 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Удо, Стив Ю. (2015). Теория персистентности: от колчанных представлений к анализу данных . Провиденс, Род-Айленд. стр. 2–3. ISBN 978-1-4704-2545-6 . OCLC 918149730 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Грист, Роберт (2008). «Штрих-коды: постоянная топология данных» . Бюллетень Американского математического общества . 45 (1): 61–75. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01191-3 . ISSN 0273-0979 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Эдельсбруннер; Летчер; Зомородянин (2002). «Топологическая устойчивость и упрощение» . Дискретная и вычислительная геометрия . 28 (4): 511–533. дои : 10.1007/s00454-002-2885-2 . ISSN 0179-5376 .

[Barannikov_1994-2] Jump up to: ^а ^б ^с Баранников, Сергей (1994). «Оформленный комплекс Морса и его инварианты» (PDF) . Успехи советской математики . АДВСОВ. 21 : 93–115. дои : 10.1090/advsov/021/03 . ISBN 9780821802373 . S2CID 125829976 .

[3] Чен, Ли М. (2015). Математические проблемы науки о данных: теоретические и практические методы . Чжисюнь Су, Бо Цзян. Чам. стр. 120–124. ISBN 978-3-319-25127-1 . OCLC 932464024 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[4] Машинное обучение и извлечение знаний: Первая международная междоменная конференция IFIP TC 5, WG 8.4, 8.9, 12.9, CD-MAKE 2017, Реджио, Италия, 29 августа – 1 сентября 2017 г., Материалы . Андреас Хольцингер, Питер Кизеберг, А. Мин Тьоа, Эдгар Р. Вейппль. Чам. 2017. С. 23–24. ISBN 978-3-319-66808-6 . OCLC 1005114370 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: другие ( ссылка )

[5] Хирата, Акихико (2016). Структурный анализ металлических стекол с расчетной гомологией . Канаме Мацуэ, Минвэй Чен. Япония. стр. 63–65. ISBN 978-4-431-56056-2 . OCLC 946084762 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[6] Мораледа, Родриго Рохас (2020). Вычислительная топология для анализа биомедицинских изображений и данных: теория и приложения . Нектариос А. Валоус, Вэй Сюн, Нильс Халама. Бока-Ратон, Флорида. ISBN 978-0-429-81099-2 . OCLC 1108919429 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[7] Рабадан, Рауль (2020). Топологический анализ данных для геномики и эволюции: топология в биологии . Эндрю Дж. Блумберг. Кембридж, Великобритания. стр. 132–158. ISBN 978-1-316-67166-5 . OCLC 1129044889 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[8] Йен, Питер Цунг-Вен; Чеонг, Сью Энн (2021). «Использование топологического анализа данных (TDA) и постоянной гомологии для анализа фондовых рынков Сингапура и Тайваня» . Границы в физике . 9 : 20. Бибкод : 2021FrP.....9...20Y . дои : 10.3389/fphy.2021.572216 . hdl : 10356/155402 . ISSN 2296-424X .

[9] Эдельсбруннер, Герберт (2010). Вычислительная топология: введение . Дж. Харер. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 149–153. ISBN 978-0-8218-4925-5 . OCLC 427757156 .

[10] Нильсен, Франк, изд. (2021). Прогресс информационной геометрии: теория и приложения . Чам. п. 224. ИСБН 978-3-030-65459-7 . OCLC 1243544872 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[11] Удо, Стив Ю. (2015). Теория персистентности: от колчанных представлений к анализу данных . Провиденс, Род-Айленд. стр. 2–3. ISBN 978-1-4704-2545-6 . OCLC 918149730 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[12] Грист, Роберт (2008). «Штрих-коды: постоянная топология данных» . Бюллетень Американского математического общества . 45 (1): 61–75. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01191-3 . ISSN 0273-0979 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]