Модуль постоянства
Модуль постоянства — это математическая структура для анализа устойчивой гомологии и топологических данных , которая формально фиксирует сохранение топологических характеристик объекта в диапазоне параметров масштаба. Модуль персистентности часто состоит из набора групп гомологий (или векторных пространств , если используются полевые коэффициенты ), соответствующих фильтрации топологических пространств , и набора линейных карт, индуцированных включениями фильтрации . Понятие модуля персистентности было впервые введено в 2005 году как применение градуированных модулей над кольцами полиномов , что позволило импортировать хорошо развитые алгебраические идеи из классической теории коммутативной алгебры в среду персистентных гомологии. [1] С тех пор модули персистентности стали одной из основных алгебраических структур, изучаемых в области прикладной топологии. [2] [3] [4] [5] [6] [7]
Определение
[ редактировать ]Модули сохранения одного параметра
[ редактировать ]Позволять быть полностью упорядоченным множеством и пусть быть полем . Набор иногда называют индексным набором . Затем однопараметрический модуль персистентности является функтором упорядоченных категории из к категории векторных пространств над и линейные карты . [8] Модуль персистентности с одним параметром, индексированный дискретным ЧУМ, таким как целые числа, может быть интуитивно представлен как диаграмма пространств: Чтобы подчеркнуть используемый набор индексации, модуль сохраняемости, индексируемый иногда называют -persistence-модуль или просто -модуль. [9] Обычный выбор наборов индексации включает в себя , и т. д.
В качестве альтернативы можно использовать теоретико-множественное определение модуля персистентности, которое эквивалентно категориальной точке зрения: модуль персистентности — это пара где это коллекция из -векторные пространства и это коллекция линейных карт, где для каждого , такой, что для любого (т.е. все карты коммутируют ). [4]
Модули многопараметрического постоянства
[ редактировать ]Позволять быть продуктом полностью упорядоченные множества , т.е. для некоторых полностью заказанных наборов . Затем, наделив продукта, с частичным заказом заданным только если для всех , мы можем определить многопараметрический модуль персистентности, индексированный как функтор . Это обобщение однопараметрических модулей персистентности, и, в частности, это согласуется с однопараметрическим определением, когда .
В этом случае -persistence-модуль называется -мерный или -модуль сохранения параметров или просто многопараметрический или многомерный модуль, если количество параметров уже понятно из контекста. [10]
Модули многомерного персистентности были впервые представлены в 2009 году Карлссоном и Зомородианом. [11] С тех пор было проведено значительное количество исследований теории и практики работы с многомерными модулями, поскольку они обеспечивают большую структурированность изучения формы данных. [12] [13] [14] А именно, многопараметрические модули могут иметь большую чувствительность к плотности и устойчивость к выбросам, чем однопараметрические модули, что делает их потенциально полезным инструментом для анализа данных. [15] [16] [17]
Одним из недостатков многопараметрического постоянства является присущая ему сложность. Это затрудняет выполнение вычислений, связанных с многопараметрическими модулями постоянства. В худшем случае вычислительная сложность многомерной постоянной гомологии экспоненциальна. [18]
Самый распространенный способ измерения сходства двух многопараметрических модулей персистентности — использование расстояния чередования , которое является расширением расстояния узкого места. [19]
Примеры
[ редактировать ]Модули гомологии
[ редактировать ]При использовании гомологии с коэффициентами в поле гомологии группа имеет структуру векторного пространства . Поэтому, учитывая фильтрацию пространств , применяя функтор гомологии к каждому индексу, мы получаем модуль персистентности для каждого позвонил ( трехмерный) модуль гомологии . Векторные пространства модуля гомологии можно определить по индексу как для всех , отображения индуцируются а отображениями включения линейные . [1]
Модули гомологии являются наиболее распространенным примером модулей персистентности, поскольку они кодируют информацию о количестве и масштабе топологических признаков объекта (обычно получаемую в результате построения фильтрации по облаку точек ) в чисто алгебраическую структуру, что позволяет понять форму данные, поддающиеся алгебраическим методам, импортированные из хорошо развитых областей математики, таких как коммутативная алгебра и теория представлений . [5] [20] [21]
Интервальные модули
[ редактировать ]Основная проблема при изучении модулей персистентности заключается в том, можно ли разложить модули на «более простые части», грубо говоря. В частности, алгебраически и вычислительно удобно, если модуль постоянства может быть выражен как прямая сумма меньших модулей, известных как интервальные модули . [1]
Позволять быть непустым подмножеством частичного множества . Затем представляет собой интервал в если
- Для каждого если затем
- Для каждого есть последовательность элементов такой, что , , и сопоставимы для всех .
Теперь учитывая интервал мы можем определить модуль персистентности по индексу следующим образом:
; .
Модуль называется интервальным модулем . [9] [22]
Бесплатные модули
[ редактировать ]Позволять . Затем мы можем определить модуль персистентности относительно где пробелы задаются выражением
и карты, определенные через .
Затем известен как свободный (постоянный) модуль . [23]
Свободный модуль можно также определить с помощью разложения на интервальные модули. Для каждого определить интервал , иногда называемый «свободным интервалом». [9] Затем модуль персистентности является свободным модулем, если существует мультимножество такой, что . [22] Другими словами, модуль является свободным модулем, если его можно разложить в прямую сумму модулей свободных интервалов.
Характеристики
[ редактировать ]Условия конечного типа
[ редактировать ]Модуль персистентности проиндексировано более называется конечным типом, если для всех выполнены следующие условия: :
- Каждое векторное пространство является конечномерным.
- Существует целое число такое, что карта является изоморфизмом для всех .
Если удовлетворяет первому условию, то обычно называют поточечно-конечномерным (pfd) . [24] [25] [26] Понятие поточечной конечномерности непосредственно распространяется на произвольные множества индексов.
Определение конечного типа также можно адаптировать к непрерывным наборам индексов. А именно модуль проиндексировано более имеет конечный тип, если это п.п.м., и содержит конечное число уникальных векторных пространств. [27] Формально говоря, это требует, чтобы для всех точек, кроме конечного числа, есть район из такой, что для всех , а также что есть некоторые такой, что для всех . [4] Модуль, удовлетворяющий только первому свойству, иногда называют существенно дискретным , тогда как модуль, удовлетворяющий обоим свойствам, называют существенно конечным . [28] [23] [29]
Ан -персистентный модуль называется полунепрерывным, если для любого и любой достаточно близко к , карта является изоморфизмом. Обратите внимание, что это условие является избыточным, если другие условия конечного типа, указанные выше, удовлетворены, поэтому оно обычно не включается в определение, но актуально в определенных обстоятельствах. [4]
Структурная теорема
[ редактировать ]Одной из основных целей изучения модулей персистентности является классификация модулей в соответствии с их разложимостью на интервальные модули. Модуль персистентности, допускающий разложение в прямую сумму интервальных модулей, часто называют просто «интервально разложимым». Одним из основных результатов в этом направлении является то, что любой модуль постоянства п.п.м., индексированный по полностью упорядоченному набору, является интервально разлагаемым. Иногда это называют «структурной теоремой для модулей персистентности». [24]
Тот случай, когда конечен — это прямое применение структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов . Для модулей, индексированных более , первое известное доказательство структурной теоремы принадлежит Уэббу. [30] Теорема была распространена на случай (или любое полностью упорядоченное множество, содержащее счетное подмножество , плотное в с порядковой топологией ) Кроули-Бови в 2015 году. [31] Обобщенная версия структурной теоремы, то есть для модулей п.п.м., индексированных по произвольным полностью упорядоченным множествам, была установлена Ботнаном и Кроули-Бови в 2019 году. [32]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с Зомородян, Афра; Карлссон, Гуннар (2005). «Вычисление устойчивой гомологии» . Дискретная и вычислительная геометрия . 33 (2): 249–274. дои : 10.1007/s00454-004-1146-y . ISSN 0179-5376 .
- ^ Структура и стабильность модулей персистентности . Фредерик Шазаль, Вин Де Сильва, Марк Глисс, Стив Ю. Удо. Швейцария. 2016. ISBN 978-3-319-42545-0 . OCLC 960458101 .
{{cite book}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: другие ( ссылка ) - ^ Удо, Стив Ю. (2015). Теория персистентности: от колчанных представлений к анализу данных . Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-2545-6 . OCLC 918149730 .
{{cite book}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - ^ Jump up to: а б с д Полтерович, Леонид (2020). Топологическая устойчивость в геометрии и анализе . Дэниел Розен, Карина Самвелян, Цзюнь Чжан. Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-5495-1 . ОСЛК 1142009348 .
{{cite book}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - ^ Jump up to: а б Шенк, Хэл (2022). Алгебраические основы прикладной топологии и анализа данных . Чам. ISBN 978-3-031-06664-1 . OCLC 1351750760 .
{{cite book}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - ^ Дей, Тамал К. (2022). Вычислительная топология для анализа данных . Юсу Ван. Кембридж, Великобритания. ISBN 978-1-009-09995-0 . OCLC 1281786176 .
{{cite book}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - ^ Рабадан, Рауль; Блумберг, Эндрю Дж. (2019). Топологический анализ данных для геномики и эволюции: топология в биологии . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781316671665 . ISBN 978-1-107-15954-9 . S2CID 242498045 .
- ^ Бубеник, Питер; Скотт, Джонатан А. (01 апреля 2014 г.). «Категоризация стойкой гомологии» . Дискретная и вычислительная геометрия . 51 (3): 600–627. arXiv : 1205.3669 . дои : 10.1007/s00454-014-9573-x . ISSN 1432-0444 . S2CID 254027425 .
- ^ Jump up to: а б с Бакке Бьеркевик, Ховард (2021). «Об устойчивости интервально-разложимых модулей постоянства» . Дискретная и вычислительная геометрия . 66 (1): 92–121. дои : 10.1007/s00454-021-00298-0 . ISSN 0179-5376 . S2CID 243797357 .
- ^ Ботнан, Магнус Бакке; Лесник, Майкл (27 марта 2022 г.). «Введение в многопараметрическую устойчивость». arXiv : 2203.14289 [ math.AT ].
- ^ Карлссон, Гуннар; Зомородян, Афра (01.07.2009). «Теория многомерного постоянства» . Дискретная и вычислительная геометрия . 42 (1): 71–93. дои : 10.1007/s00454-009-9176-0 . ISSN 1432-0444 .
- ^ Серри, Андреа; Ланди, Клаудия (2013). «Пространство персистентности в многомерной постоянной гомологии». В Гонсалес-Диас, Росио; Хименес, Мария-Хосе; Медрано, Белен (ред.). Дискретная геометрия для компьютерных изображений . Конспекты лекций по информатике. Том. 7749. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 180–191. дои : 10.1007/978-3-642-37067-0_16 . ISBN 978-3-642-37067-0 .
- ^ Кальяри, Ф.; Ди Фабио, Б.; Ферри, М. (28 июля 2008 г.). «Одномерная редукция многомерной стойкой гомологии». arXiv : math/0702713 .
- ^ Аллили, Маджид; Качиньский, Томаш; Ланди, Клаудия (01 января 2017 г.). «Редукция комплексов в многомерной теории стойких гомологий» . Журнал символических вычислений . Алгоритмы и программное обеспечение для вычислительной топологии. 78 : 61–75. дои : 10.1016/j.jsc.2015.11.020 . hdl : 11380/1123249 . ISSN 0747-7171 . S2CID 14185228 .
- ^ Блумберг, Эндрю Дж.; Лесник, Майкл (17 октября 2022 г.). «Стабильность двухпараметрической постоянной гомологии» . Основы вычислительной математики . arXiv : 2010.09628 . дои : 10.1007/s10208-022-09576-6 . ISSN 1615-3383 . S2CID 224705357 .
- ^ Серри, Андреа; Фабио, Барбара Ди; Ферри, Массимо; Фросини, Патрицио; Ланди, Клаудия (2013). «Числа Бетти в многомерных постоянных гомологиях являются стабильными функциями» . Математические методы в прикладных науках . 36 (12): 1543–1557. Бибкод : 2013MMAS...36.1543C . дои : 10.1002/мма.2704 . S2CID 9938133 .
- ^ Серри, Андреа; Ди Фабио, Барбара; Ферри, Массимо; Фросини, Патрицио; Ланди, Клаудия (1 августа 2009 г.). «Многомерная стойкая гомология стабильна». arXiv : 0908.0064 [ math.AT ].
- ^ Скрызалин, Яцек; Вонгмаса, Павин (2017). «Вычислительная сложность многомерного постоянства» . Предлагаемая журнальная статья, неопубликованная . 2017 . ОСТИ 1429696 .
- ^ Лесник, Майкл (2015). «Теория расстояния чередования в многомерных модулях персистентности» . Основы вычислительной математики . 15 (3): 613–650. arXiv : 1106.5305 . дои : 10.1007/s10208-015-9255-y . ISSN 1615-3375 . S2CID 254158297 .
- ^ Карлссон, Гуннар (2009). «Топология и данные» . Бюллетень Американского математического общества . 46 (2): 255–308. дои : 10.1090/S0273-0979-09-01249-X . ISSN 0273-0979 .
- ^ Шазаль, Фредерик; Мишель, Бертран (2021). «Введение в топологический анализ данных: фундаментальные и практические аспекты для специалистов по данным» . Границы искусственного интеллекта . 4 : 667963. doi : 10.3389/frai.2021.667963 . ISSN 2624-8212 . ПМЦ 8511823 . ПМИД 34661095 .
- ^ Jump up to: а б Ботнан, Магнус; Лесник, Майкл (18 октября 2018 г.). «Алгебраическая устойчивость зигзагообразных модулей персистентности» . Алгебраическая и геометрическая топология . 18 (6): 3133–3204. arXiv : 1604.00655 . дои : 10.2140/agt.2018.18.3133 . ISSN 1472-2739 . S2CID 14072359 .
- ^ Jump up to: а б Лесник, Майкл (2022). «Конспекты лекций по AMAT 840: постоянство многих параметров» (PDF) . Университет Олбани, SUNY .
- ^ Jump up to: а б Ботнан, Магнус Бакке; Кроули-Бови, Уильям (04 октября 2019 г.). «Декомпозиция модулей персистентности». arXiv : 1811.08946 [ math.RT ].
- ^ Шмаль, Максимилиан (2022). "Структура полунепрерывных $q$-ручных персистентных модулей" . Гомология, гомотопия и приложения . 24 (1): 117–128. arXiv : 2008.09493 . дои : 10.4310/HHA.2022.v24.n1.a6 . ISSN 1532-0081 . S2CID 221246111 .
- ^ Хэнсон, Эрик Дж.; Рок, Джоб Д. (17 июля 2020 г.). «Разложение поточечных конечномерных модулей персистентности S^1». arXiv : 2006.13793 [ math.RT ].
- ^ Карлссон, Гуннар; Зомородян, Афра; Коллинз, Энн; Гибас, Леонидас (8 июля 2004 г.). «Постоянство штрих-кодов для фигур» . Материалы симпозиума Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 г. по геометрической обработке . Ницца, Франция: ACM. стр. 124–135. дои : 10.1145/1057432.1057449 . ISBN 978-3-905673-13-5 . S2CID 456712 .
- ^ Лесник, Майкл (6 июня 2012 г.). «Многомерное чередование и приложения к топологическому выводу». arXiv : 1206.1365 [ math.AT ].
- ^ «3. Математические предварительные сведения — документация RIVET 1.0» . rivet.readthedocs.io . Проверено 27 февраля 2023 г.
- ^ Уэбб, Кэри (1985). «Декомпозиция градуированных модулей» . Труды Американского математического общества . 94 (4): 565–571. дои : 10.1090/S0002-9939-1985-0792261-6 . ISSN 0002-9939 . S2CID 115146035 .
- ^ Кроули-Бови, Уильям (01 июня 2015 г.). «Декомпозиция поточечных конечномерных модулей персистентности» . Журнал алгебры и ее приложений . 14 (5): 1550066. arXiv : 1210.0819 . дои : 10.1142/S0219498815500668 . ISSN 0219-4988 . S2CID 119635797 .
- ^ Ботнан, Магнус; Кроули-Бови, Уильям (2020). «Декомпозиция модулей персистентности» . Труды Американского математического общества . 148 (11): 4581–4596. arXiv : 1811.08946 . дои : 10.1090/proc/14790 . ISSN 0002-9939 . S2CID 119711245 .