Jump to content

Модуль постоянства

Модуль постоянства — это математическая структура для анализа устойчивой гомологии и топологических данных , которая формально фиксирует сохранение топологических характеристик объекта в диапазоне параметров масштаба. Модуль персистентности часто состоит из набора групп гомологий (или векторных пространств , если используются полевые коэффициенты ), соответствующих фильтрации топологических пространств , и набора линейных карт, индуцированных включениями фильтрации . Понятие модуля персистентности было впервые введено в 2005 году как применение градуированных модулей над кольцами полиномов , что позволило импортировать хорошо развитые алгебраические идеи из классической теории коммутативной алгебры в среду персистентных гомологии. [1] С тех пор модули персистентности стали одной из основных алгебраических структур, изучаемых в области прикладной топологии. [2] [3] [4] [5] [6] [7]

Определение

[ редактировать ]

Модули сохранения одного параметра

[ редактировать ]

Позволять быть полностью упорядоченным множеством и пусть быть полем . Набор иногда называют индексным набором . Затем однопараметрический модуль персистентности является функтором упорядоченных категории из к категории векторных пространств над и линейные карты . [8] Модуль персистентности с одним параметром, индексированный дискретным ЧУМ, таким как целые числа, может быть интуитивно представлен как диаграмма пространств: Чтобы подчеркнуть используемый набор индексации, модуль сохраняемости, индексируемый иногда называют -persistence-модуль или просто -модуль. [9] Обычный выбор наборов индексации включает в себя , и т. д.

В качестве альтернативы можно использовать теоретико-множественное определение модуля персистентности, которое эквивалентно категориальной точке зрения: модуль персистентности — это пара где это коллекция из -векторные пространства и это коллекция линейных карт, где для каждого , такой, что для любого (т.е. все карты коммутируют ). [4]

Модули многопараметрического постоянства

[ редактировать ]

Позволять быть продуктом полностью упорядоченные множества , т.е. для некоторых полностью заказанных наборов . Затем, наделив продукта, с частичным заказом заданным только если для всех , мы можем определить многопараметрический модуль персистентности, индексированный как функтор . Это обобщение однопараметрических модулей персистентности, и, в частности, это согласуется с однопараметрическим определением, когда .

В этом случае -persistence-модуль называется -мерный или -модуль сохранения параметров или просто многопараметрический или многомерный модуль, если количество параметров уже понятно из контекста. [10]

Пример двухпараметрического модуля персистентности, индексированного по сетке 5x5, рассматриваемого как конечное частично упорядоченное множество.

Модули многомерного персистентности были впервые представлены в 2009 году Карлссоном и Зомородианом. [11] С тех пор было проведено значительное количество исследований теории и практики работы с многомерными модулями, поскольку они обеспечивают большую структурированность изучения формы данных. [12] [13] [14] А именно, многопараметрические модули могут иметь большую чувствительность к плотности и устойчивость к выбросам, чем однопараметрические модули, что делает их потенциально полезным инструментом для анализа данных. [15] [16] [17]

Одним из недостатков многопараметрического постоянства является присущая ему сложность. Это затрудняет выполнение вычислений, связанных с многопараметрическими модулями постоянства. В худшем случае вычислительная сложность многомерной постоянной гомологии экспоненциальна. [18]

Самый распространенный способ измерения сходства двух многопараметрических модулей персистентности — использование расстояния чередования , которое является расширением расстояния узкого места. [19]

Модули гомологии

[ редактировать ]

При использовании гомологии с коэффициентами в поле гомологии группа имеет структуру векторного пространства . Поэтому, учитывая фильтрацию пространств , применяя функтор гомологии к каждому индексу, мы получаем модуль персистентности для каждого позвонил ( трехмерный) модуль гомологии . Векторные пространства модуля гомологии можно определить по индексу как для всех , отображения индуцируются а отображениями включения линейные . [1]

Модули гомологии являются наиболее распространенным примером модулей персистентности, поскольку они кодируют информацию о количестве и масштабе топологических признаков объекта (обычно получаемую в результате построения фильтрации по облаку точек ) в чисто алгебраическую структуру, что позволяет понять форму данные, поддающиеся алгебраическим методам, импортированные из хорошо развитых областей математики, таких как коммутативная алгебра и теория представлений . [5] [20] [21]

Интервальные модули

[ редактировать ]

Основная проблема при изучении модулей персистентности заключается в том, можно ли разложить модули на «более простые части», грубо говоря. В частности, алгебраически и вычислительно удобно, если модуль постоянства может быть выражен как прямая сумма меньших модулей, известных как интервальные модули . [1]

Позволять быть непустым подмножеством частичного множества . Затем представляет собой интервал в если

  • Для каждого если затем
  • Для каждого есть последовательность элементов такой, что , , и сопоставимы для всех .

Теперь учитывая интервал мы можем определить модуль персистентности по индексу следующим образом:

; .

Модуль называется интервальным модулем . [9] [22]

Бесплатные модули

[ редактировать ]

Позволять . Затем мы можем определить модуль персистентности относительно где пробелы задаются выражением

и карты, определенные через .

Затем известен как свободный (постоянный) модуль . [23]

Свободный модуль можно также определить с помощью разложения на интервальные модули. Для каждого определить интервал , иногда называемый «свободным интервалом». [9] Затем модуль персистентности является свободным модулем, если существует мультимножество такой, что . [22] Другими словами, модуль является свободным модулем, если его можно разложить в прямую сумму модулей свободных интервалов.

Характеристики

[ редактировать ]

Условия конечного типа

[ редактировать ]

Модуль персистентности проиндексировано более называется конечным типом, если для всех выполнены следующие условия: :

  1. Каждое векторное пространство является конечномерным.
  2. Существует целое число такое, что карта является изоморфизмом для всех .

Если удовлетворяет первому условию, то обычно называют поточечно-конечномерным (pfd) . [24] [25] [26] Понятие поточечной конечномерности непосредственно распространяется на произвольные множества индексов.

Определение конечного типа также можно адаптировать к непрерывным наборам индексов. А именно модуль проиндексировано более имеет конечный тип, если это п.п.м., и содержит конечное число уникальных векторных пространств. [27] Формально говоря, это требует, чтобы для всех точек, кроме конечного числа, есть район из такой, что для всех , а также что есть некоторые такой, что для всех . [4] Модуль, удовлетворяющий только первому свойству, иногда называют существенно дискретным , тогда как модуль, удовлетворяющий обоим свойствам, называют существенно конечным . [28] [23] [29]

Ан -персистентный модуль называется полунепрерывным, если для любого и любой достаточно близко к , карта является изоморфизмом. Обратите внимание, что это условие является избыточным, если другие условия конечного типа, указанные выше, удовлетворены, поэтому оно обычно не включается в определение, но актуально в определенных обстоятельствах. [4]

Структурная теорема

[ редактировать ]

Одной из основных целей изучения модулей персистентности является классификация модулей в соответствии с их разложимостью на интервальные модули. Модуль персистентности, допускающий разложение в прямую сумму интервальных модулей, часто называют просто «интервально разложимым». Одним из основных результатов в этом направлении является то, что любой модуль постоянства п.п.м., индексированный по полностью упорядоченному набору, является интервально разлагаемым. Иногда это называют «структурной теоремой для модулей персистентности». [24]

Пример двумерного модуля персистентности на плоскости с его интервальным разложением.

Тот случай, когда конечен — это прямое применение структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов . Для модулей, индексированных более , первое известное доказательство структурной теоремы принадлежит Уэббу. [30] Теорема была распространена на случай (или любое полностью упорядоченное множество, содержащее счетное подмножество , плотное в с порядковой топологией ) Кроули-Бови в 2015 году. [31] Обобщенная версия структурной теоремы, то есть для модулей п.п.м., индексированных по произвольным полностью упорядоченным множествам, была установлена ​​Ботнаном и Кроули-Бови в 2019 году. [32]

  1. ^ Jump up to: а б с Зомородян, Афра; Карлссон, Гуннар (2005). «Вычисление устойчивой гомологии» . Дискретная и вычислительная геометрия . 33 (2): 249–274. дои : 10.1007/s00454-004-1146-y . ISSN   0179-5376 .
  2. ^ Структура и стабильность модулей персистентности . Фредерик Шазаль, Вин Де Сильва, Марк Глисс, Стив Ю. Удо. Швейцария. 2016. ISBN  978-3-319-42545-0 . OCLC   960458101 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: другие ( ссылка )
  3. ^ Удо, Стив Ю. (2015). Теория персистентности: от колчанных представлений к анализу данных . Провиденс, Род-Айленд. ISBN  978-1-4704-2545-6 . OCLC   918149730 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  4. ^ Jump up to: а б с д Полтерович, Леонид (2020). Топологическая устойчивость в геометрии и анализе . Дэниел Розен, Карина Самвелян, Цзюнь Чжан. Провиденс, Род-Айленд. ISBN  978-1-4704-5495-1 . ОСЛК   1142009348 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  5. ^ Jump up to: а б Шенк, Хэл (2022). Алгебраические основы прикладной топологии и анализа данных . Чам. ISBN  978-3-031-06664-1 . OCLC   1351750760 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  6. ^ Дей, Тамал К. (2022). Вычислительная топология для анализа данных . Юсу Ван. Кембридж, Великобритания. ISBN  978-1-009-09995-0 . OCLC   1281786176 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  7. ^ Рабадан, Рауль; Блумберг, Эндрю Дж. (2019). Топологический анализ данных для геномики и эволюции: топология в биологии . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781316671665 . ISBN  978-1-107-15954-9 . S2CID   242498045 .
  8. ^ Бубеник, Питер; Скотт, Джонатан А. (01 апреля 2014 г.). «Категоризация стойкой гомологии» . Дискретная и вычислительная геометрия . 51 (3): 600–627. arXiv : 1205.3669 . дои : 10.1007/s00454-014-9573-x . ISSN   1432-0444 . S2CID   254027425 .
  9. ^ Jump up to: а б с Бакке Бьеркевик, Ховард (2021). «Об устойчивости интервально-разложимых модулей постоянства» . Дискретная и вычислительная геометрия . 66 (1): 92–121. дои : 10.1007/s00454-021-00298-0 . ISSN   0179-5376 . S2CID   243797357 .
  10. ^ Ботнан, Магнус Бакке; Лесник, Майкл (27 марта 2022 г.). «Введение в многопараметрическую устойчивость». arXiv : 2203.14289 [ math.AT ].
  11. ^ Карлссон, Гуннар; Зомородян, Афра (01.07.2009). «Теория многомерного постоянства» . Дискретная и вычислительная геометрия . 42 (1): 71–93. дои : 10.1007/s00454-009-9176-0 . ISSN   1432-0444 .
  12. ^ Серри, Андреа; Ланди, Клаудия (2013). «Пространство персистентности в многомерной постоянной гомологии». В Гонсалес-Диас, Росио; Хименес, Мария-Хосе; Медрано, Белен (ред.). Дискретная геометрия для компьютерных изображений . Конспекты лекций по информатике. Том. 7749. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 180–191. дои : 10.1007/978-3-642-37067-0_16 . ISBN  978-3-642-37067-0 .
  13. ^ Кальяри, Ф.; Ди Фабио, Б.; Ферри, М. (28 июля 2008 г.). «Одномерная редукция многомерной стойкой гомологии». arXiv : math/0702713 .
  14. ^ Аллили, Маджид; Качиньский, Томаш; Ланди, Клаудия (01 января 2017 г.). «Редукция комплексов в многомерной теории стойких гомологий» . Журнал символических вычислений . Алгоритмы и программное обеспечение для вычислительной топологии. 78 : 61–75. дои : 10.1016/j.jsc.2015.11.020 . hdl : 11380/1123249 . ISSN   0747-7171 . S2CID   14185228 .
  15. ^ Блумберг, Эндрю Дж.; Лесник, Майкл (17 октября 2022 г.). «Стабильность двухпараметрической постоянной гомологии» . Основы вычислительной математики . arXiv : 2010.09628 . дои : 10.1007/s10208-022-09576-6 . ISSN   1615-3383 . S2CID   224705357 .
  16. ^ Серри, Андреа; Фабио, Барбара Ди; Ферри, Массимо; Фросини, Патрицио; Ланди, Клаудия (2013). «Числа Бетти в многомерных постоянных гомологиях являются стабильными функциями» . Математические методы в прикладных науках . 36 (12): 1543–1557. Бибкод : 2013MMAS...36.1543C . дои : 10.1002/мма.2704 . S2CID   9938133 .
  17. ^ Серри, Андреа; Ди Фабио, Барбара; Ферри, Массимо; Фросини, Патрицио; Ланди, Клаудия (1 августа 2009 г.). «Многомерная стойкая гомология стабильна». arXiv : 0908.0064 [ math.AT ].
  18. ^ Скрызалин, Яцек; Вонгмаса, Павин (2017). «Вычислительная сложность многомерного постоянства» . Предлагаемая журнальная статья, неопубликованная . 2017 . ОСТИ   1429696 .
  19. ^ Лесник, Майкл (2015). «Теория расстояния чередования в многомерных модулях персистентности» . Основы вычислительной математики . 15 (3): 613–650. arXiv : 1106.5305 . дои : 10.1007/s10208-015-9255-y . ISSN   1615-3375 . S2CID   254158297 .
  20. ^ Карлссон, Гуннар (2009). «Топология и данные» . Бюллетень Американского математического общества . 46 (2): 255–308. дои : 10.1090/S0273-0979-09-01249-X . ISSN   0273-0979 .
  21. ^ Шазаль, Фредерик; Мишель, Бертран (2021). «Введение в топологический анализ данных: фундаментальные и практические аспекты для специалистов по данным» . Границы искусственного интеллекта . 4 : 667963. doi : 10.3389/frai.2021.667963 . ISSN   2624-8212 . ПМЦ   8511823 . ПМИД   34661095 .
  22. ^ Jump up to: а б Ботнан, Магнус; Лесник, Майкл (18 октября 2018 г.). «Алгебраическая устойчивость зигзагообразных модулей персистентности» . Алгебраическая и геометрическая топология . 18 (6): 3133–3204. arXiv : 1604.00655 . дои : 10.2140/agt.2018.18.3133 . ISSN   1472-2739 . S2CID   14072359 .
  23. ^ Jump up to: а б Лесник, Майкл (2022). «Конспекты лекций по AMAT 840: постоянство многих параметров» (PDF) . Университет Олбани, SUNY .
  24. ^ Jump up to: а б Ботнан, Магнус Бакке; Кроули-Бови, Уильям (04 октября 2019 г.). «Декомпозиция модулей персистентности». arXiv : 1811.08946 [ math.RT ].
  25. ^ Шмаль, Максимилиан (2022). "Структура полунепрерывных $q$-ручных персистентных модулей" . Гомология, гомотопия и приложения . 24 (1): 117–128. arXiv : 2008.09493 . дои : 10.4310/HHA.2022.v24.n1.a6 . ISSN   1532-0081 . S2CID   221246111 .
  26. ^ Хэнсон, Эрик Дж.; Рок, Джоб Д. (17 июля 2020 г.). «Разложение поточечных конечномерных модулей персистентности S^1». arXiv : 2006.13793 [ math.RT ].
  27. ^ Карлссон, Гуннар; Зомородян, Афра; Коллинз, Энн; Гибас, Леонидас (8 июля 2004 г.). «Постоянство штрих-кодов для фигур» . Материалы симпозиума Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 г. по геометрической обработке . Ницца, Франция: ACM. стр. 124–135. дои : 10.1145/1057432.1057449 . ISBN  978-3-905673-13-5 . S2CID   456712 .
  28. ^ Лесник, Майкл (6 июня 2012 г.). «Многомерное чередование и приложения к топологическому выводу». arXiv : 1206.1365 [ math.AT ].
  29. ^ «3. Математические предварительные сведения — документация RIVET 1.0» . rivet.readthedocs.io . Проверено 27 февраля 2023 г.
  30. ^ Уэбб, Кэри (1985). «Декомпозиция градуированных модулей» . Труды Американского математического общества . 94 (4): 565–571. дои : 10.1090/S0002-9939-1985-0792261-6 . ISSN   0002-9939 . S2CID   115146035 .
  31. ^ Кроули-Бови, Уильям (01 июня 2015 г.). «Декомпозиция поточечных конечномерных модулей персистентности» . Журнал алгебры и ее приложений . 14 (5): 1550066. arXiv : 1210.0819 . дои : 10.1142/S0219498815500668 . ISSN   0219-4988 . S2CID   119635797 .
  32. ^ Ботнан, Магнус; Кроули-Бови, Уильям (2020). «Декомпозиция модулей персистентности» . Труды Американского математического общества . 148 (11): 4581–4596. arXiv : 1811.08946 . дои : 10.1090/proc/14790 . ISSN   0002-9939 . S2CID   119711245 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 64a98c72398652f55b8f04a9c4aeba3b__1702335300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/64/3b/64a98c72398652f55b8f04a9c4aeba3b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Persistence module - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)