Номер Бетти сохраняется

В постоянной гомологии постоянное число Бетти является многомасштабным аналогом числа Бетти , которое отслеживает количество топологических признаков , которые сохраняются в нескольких масштабных параметрах при фильтрации . В то время как классический $n^{th}$ Число Бетти соответствует рангу $n^{th}$ группа гомологии , $n^{th}$ постоянное число Бетти — это ранг $n^{th}$ группа устойчивой гомологии . Понятие постоянного числа Бетти было введено Гербертом Эдельсбруннером , Дэвидом Летчером и Афрой Зомородян в статье 2002 года « Топологическая устойчивость и упрощение» , одной из основополагающих работ в области постоянной гомологии и топологического анализа данных . Постоянное число Бетти применяется в различных областях, включая анализ данных, машинное обучение, и физика.

Определение

Позволять $K$ — симплициальный комплекс , и пусть $f:K\to \mathbb {R}$ быть монотонной , т. е. неубывающей функцией. Требование монотонности гарантирует, что множество подуровней $K(a):=f^{-1}(-\infty ,a]$ представляет собой подкомплекс $K$ для всех $a\in \mathbb {R}$. Разрешение параметра $a$ различаться, мы можем расположить эти подкомплексы во вложенную последовательность $\emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K$ для некоторого натурального числа $n$. Эта последовательность определяет фильтрацию на комплексе $K$.

Стойкая гомология связана с эволюцией топологических особенностей в процессе фильтрации. С этой целью, приняв $p^{th}$ группы гомологий каждого комплекса в фильтрации, мы получаем последовательность групп гомологий $0=H_{p}(K_{0})\to H_{p}(K_{1})\to \cdots \to H_{p}(K_{n})=H_{p}(K)$ которые связаны гомоморфизмами , индуцированными отображениями включения в фильтрации. Применяя гомологии к полю , мы получаем последовательность векторных пространств и линейных отображений, обычно известную как модуль персистентности .

Чтобы отслеживать эволюцию гомологических признаков, а не статической топологической информации по каждому отдельному индексу, нужно подсчитывать только количество нетривиальных классов гомологии, которые сохраняются при фильтрации, т. е. которые остаются нетривиальными для множества параметров масштаба.

Для каждого $i\leq j$, позволять $f_{p}^{i,j}$ обозначим индуцированный гомоморфизм $H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})$. Тогда $p^{th}$ постоянные группы гомологии определяются как образы каждой индуцированной карты. А именно, $H_{p}^{i,j}:=\operatorname {im} f_{p}^{i,j}$ для всех $0\leq i\leq j\leq n$.

Параллельно классическому числу Бетти $p^{th}$ устойчивые числа Бетти — это именно ранги $p^{th}$ группы постоянной гомологии, заданные определением $\beta _{p}^{i,j}:=\operatorname {rank} H_{p}^{i,j}$.