Jump to content

Расстояние Хеллингера

(Перенаправлено из метрики Хеллингера )

В теории вероятности и статистике ( расстояние Хеллингера тесно связанное с расстоянием Бхаттачарьи , хотя и отличающееся от него ) используется для количественной оценки сходства между двумя распределениями вероятностей . Это разновидность f -дивергенции . Расстояние Хеллингера определяется с помощью интеграла Хеллингера , который был введен Эрнстом Хеллингером в 1909 году. [1] [2]

Иногда его называют расстоянием Джеффриса. [3] [4]

Определение

[ редактировать ]

Теория меры

[ редактировать ]

Чтобы определить расстояние Хеллингера с точки зрения теории меры , пусть и обозначают две вероятностные меры в пространстве меры относительно абсолютно непрерывные вспомогательной меры . Такая мера всегда существует, например . Квадрат расстояния Хеллингера между и определяется как количество

Здесь, и , то есть и являются производными Радона–Никодима P и Q соответственно по . Это определение не зависит от , т.е. расстояние Хеллингера между P и Q не изменится, если заменяется другой вероятностной мерой, относительно которой и P , и Q абсолютно непрерывны. Для компактности приведенную выше формулу часто записывают как

Теория вероятностей с использованием меры Лебега

[ редактировать ]

Чтобы определить расстояние Хеллингера с точки зрения элементарной теории вероятностей, мы возьмем λ в качестве меры Лебега , так что dP / и dQ / d λ являются просто функциями плотности вероятности . Если мы обозначим плотности как f и g соответственно, квадрат расстояния Хеллингера можно выразить как стандартный интеграл исчисления.

где вторую форму можно получить, разложив квадрат и воспользовавшись тем фактом, что интеграл от плотности вероятности по его области определения равен 1.

Расстояние Хеллингера H ( P , Q ) удовлетворяет свойству (выводимому из неравенства Коши – Шварца )

Дискретные распределения

[ редактировать ]

Для двух дискретных распределений вероятностей и ,их расстояние Хеллингера определяется как

что напрямую связано с евклидовой нормой разности векторов квадратных корней, т.е.

Также,

Характеристики

[ редактировать ]

Расстояние Хеллингера образует ограниченную метрику в пространстве вероятностных распределений в данном вероятностном пространстве .

Максимальное расстояние 1 достигается, когда P присваивает нулевую вероятность каждому множеству, которому Q присваивает положительную вероятность, и наоборот.

Иногда фактор перед интегралом опускается, и в этом случае расстояние Хеллингера изменяется от нуля до квадратного корня из двух.

Расстояние Хеллингера связано с коэффициентом Бхаттачарьи. как это можно определить как

Расстояния Хеллингера используются в теории последовательной и асимптотической статистики . [5] [6]

Квадрат расстояния Хеллингера между двумя нормальными распределениями и является:

Квадрат расстояния Хеллингера между двумя многомерными нормальными распределениями и является [7]

Квадрат расстояния Хеллингера между двумя экспоненциальными распределениями и является:

Квадрат расстояния Хеллингера между двумя распределениями Вейбулла и (где является общим параметром формы и — параметры масштаба соответственно):

Квадрат расстояния Хеллингера между двумя распределениями Пуассона с параметрами скорости и , так что и , является:

Квадрат расстояния Хеллингера между двумя бета-распределениями и является:

где это бета-функция .

Квадрат расстояния Хеллингера между двумя гамма-распределениями и является:

где это гамма-функция .

Соединение с общим расстоянием изменения

[ редактировать ]

Расстояние Хеллингера и общее расстояние вариации (или статистическое расстояние) связаны следующим образом: [8]

Константы в этом неравенстве могут меняться в зависимости от того, какую перенормировку вы выберете ( или ).

Эти неравенства непосредственно следуют из неравенств между 1-нормой и 2-нормой .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Никулин, М.С. (2001) [1994], «Расстояние Хеллингера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
  2. ^ Хеллингер, Эрнст (1909), «Новое обоснование теории квадратичных форм бесконечного числа переменных» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1909 (136): 210–271, doi : 10.1515/crll.1909.136. 210 , ДЖФМ   40.0393.01 , С2КИД   121150138
  3. ^ «Расстояние Джеффриса — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 24 мая 2022 г.
  4. ^ Джеффрис, Гарольд (24 сентября 1946 г.). «Инвариантная форма априорной вероятности в задачах оценивания» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 186 (1007): 453–461. Бибкод : 1946RSPSA.186..453J . дои : 10.1098/rspa.1946.0056 . ISSN   0080-4630 . ПМИД   20998741 . S2CID   19490929 .
  5. ^ Торгерсон, Эрик (1991). «Сравнение статистических экспериментов». Энциклопедия математики . Том. 36. Издательство Кембриджского университета.
  6. ^ Лизе, Фридрих; Мишке, Клаус-Й. (2008). Статистическая теория принятия решений: оценка, тестирование и отбор . Спрингер. ISBN  978-0-387-73193-3 .
  7. ^ Пардо, Л. (2006). Статистический вывод на основе мер расхождения . Нью-Йорк: Чепмен и Холл/CRC. п. 51. ИСБН  1-58488-600-5 .
  8. ^ Харша, Прахлад (23 сентября 2011 г.). «Конспекты лекций по сложности коммуникации» (PDF) .
  • Ян, Грейс Ло ; Ле Кам, Люсьен М. (2000). Асимптотика в статистике: некоторые основные понятия . Берлин: Шпрингер. ISBN  0-387-95036-2 .
  • Ваарт, А.В. ван дер (19 июня 2000 г.). Асимптотическая статистика (Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике) . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-78450-6 .
  • Поллард, Дэвид Э. (2002). Руководство пользователя по измерению теоретической вероятности . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00289-3 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 36072759d5c5c7977b7294a62c41131b__1703073300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/36/1b/36072759d5c5c7977b7294a62c41131b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hellinger distance - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)