Вероятностное пространство

Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать о романе, см. «Пространство вероятностей» (роман) .

В теории вероятностей — вероятностное пространство или вероятностная тройка. $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ — это математическая конструкция , предоставляющая формальную модель случайного процесса или «эксперимента». Например, можно определить вероятностное пространство, моделирующее бросание игральной кости .

Вероятностное пространство состоит из трех элементов:

1. Образцовое пространство , $\Omega$, который представляет собой набор всех возможных результатов .
2. Пространство событий , которое представляет собой набор событий , ${\mathcal {F}}$, событие представляет собой набор результатов в пространстве выборки.
3. Функция вероятности , $P$, который присваивает каждому событию в пространстве событий вероятность , которая представляет собой число от 0 до 1 (включительно).

Чтобы обеспечить модель вероятности, эти элементы должны удовлетворять аксиомам вероятности .

В примере с броском стандартной игральной кости:

1. Образец пространства $\Omega$ обычно это набор $\{1,2,3,4,5,6\}$ где каждый элемент в наборе представляет собой метку, которая представляет результат попадания кубика на эту метку. Например, $1$ представляет собой результат, при котором на кубике выпадает 1.
2. Пространство для проведения мероприятий ${\mathcal {F}}$ может быть набором всех подмножеств выборочного пространства, которое тогда будет содержать простые события, такие как $\{5\}$ («на кубике выпало 5»), а также сложные события, такие как $\{2,4,6\}$ («на кубике выпадает четное число»).
3. Функция вероятности $P$ затем сопоставил бы каждое событие с количеством исходов в этом событии, деленным на 6, например, $\{5\}$ будет сопоставлен с $1/6$, и $\{2,4,6\}$ будет сопоставлен с $3/6=1/2$.

Когда эксперимент проводится, он приводит ровно к одному результату. $\omega$ из выборочного пространства $\Omega$. Все события в пространстве событий ${\mathcal {F}}$ которые содержат выбранный результат $\omega$ Говорят, что они «произошли». Функция вероятности $P$ должно быть определено так, чтобы, если эксперимент повторялся произвольное количество раз, количество появлений каждого события как доля от общего числа экспериментов, скорее всего, будет стремиться к вероятности, приписываемой этому событию.

Советский математик Андрей Колмогоров ввел понятие вероятностного пространства и аксиомы вероятности в 1930-х годах. В современной теории вероятностей существуют альтернативные подходы аксиоматизации, такие как алгебра случайных величин .

Введение

Вероятностное пространство для броска игральной кости дважды подряд: выборочное пространство $\Omega$ состоит из всех 36 возможных исходов; показаны три разных события (цветные многоугольники) с соответствующими вероятностями (при условии дискретного равномерного распределения ).

Вероятностное пространство — это математическая тройка $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ который представляет модель для определенного класса реальных ситуаций.Как и в случае с другими моделями, ее автор в конечном итоге определяет, какие элементы $\Omega$, ${\mathcal {F}}$, и $P$ будет содержать.

• Образец пространства $\Omega$ представляет собой совокупность всех возможных исходов. Результат — это результат одного выполнения модели. Результатами могут быть состояния природы, возможности, результаты экспериментов и тому подобное. Каждый случай реальной ситуации (или проведения эксперимента) должен давать ровно один результат. Если результаты разных серий эксперимента отличаются каким-либо существенным образом, это разные результаты. Какие различия имеют значение, зависит от того, какой анализ мы хотим провести. Это приводит к различному выбору выборочного пространства.
• σ -алгебра ${\mathcal {F}}$ представляет собой набор всех событий, которые мы хотели бы рассмотреть. Эта коллекция может включать или не включать каждое из элементарных событий. Здесь «событие» — это набор из нуля или более результатов; то есть подмножество выборочного пространства. Событие считается «произошедшим» во время эксперимента, если результат последнего является элементом события. Поскольку один и тот же результат может быть частью многих событий, возможно, что многие события произошли при одном исходе. Например, когда испытание состоит из бросания двух игральных костей, набор всех результатов с суммой 7 очков может представлять собой событие, тогда как результаты с нечетным количеством очков могут представлять собой другое событие. Если результатом является элемент элементарного события: два очка на первом кубике и пять очков на втором, то говорят, что оба события: «7 очков» и «нечетное количество очков» произошли.
• мера Вероятностная $P$ — это заданная функция, события возвращающая вероятность . Вероятность — это действительное число между нулем (невозможные события имеют нулевую вероятность, хотя события с нулевой вероятностью не обязательно невозможны) и единицей (событие произойдет почти наверняка , с почти полной уверенностью). Таким образом $P$ это функция $P:{\mathcal {F}}\to [0,1].$ Функция меры вероятности должна удовлетворять двум простым требованиям. Во-первых, вероятность счетного объединения взаимоисключающих событий должна быть равна счетной сумме вероятностей каждого из этих событий. Например, вероятность объединения взаимоисключающих событий ${\text{Head}}$ и ${\text{Tail}}$ в случайном эксперименте с одним подбрасыванием монеты, $P({\text{Head}}\cup {\text{Tail}})$, представляет собой сумму вероятностей для ${\text{Head}}$ и вероятность ${\text{Tail}}$, $P({\text{Head}})+P({\text{Tail}})$. Во-вторых, вероятность выборочного пространства $\Omega$ должно быть равно 1 (что объясняет тот факт, что при выполнении модели должен произойти некоторый результат). В предыдущем примере вероятность набора исходов $P(\{{\text{Head}},{\text{Tail}}\})$ должно быть равно единице, поскольку совершенно очевидно, что результат будет либо ${\text{Head}}$ или ${\text{Tail}}$ (модель игнорирует любую другую возможность) за один бросок монеты.

Не каждое подмножество выборочного пространства $\Omega$ обязательно должно считаться событием: некоторые из подмножеств просто не представляют интереса, другие невозможно «измерить» . В таком случае, как подбрасывание монеты, это не так очевидно. В другом примере можно рассмотреть длины метания копья, где события обычно представляют собой интервалы типа «от 60 до 65 метров» и объединения таких интервалов, а не наборы, такие как «иррациональные числа между 60 и 65 метрами».

Определение

Короче говоря, вероятностное пространство — это такое пространство с мерой , что мера всего пространства равна единице.

Расширенное определение следующее: вероятностное пространство — это тройка $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ состоящий из:

• пространство выборки $\Omega$ – произвольное непустое множество ,
• σ -алгебра ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ (также называемое σ-полем) – набор подмножеств $\Omega$, называемые событиями , такие, что:
  • ${\mathcal {F}}$ содержит образец пространства: $\Omega \in {\mathcal {F}}$,
  • ${\mathcal {F}}$ замкнут при дополнениях : если $A\in {\mathcal {F}}$, тогда также $(\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}$,
  • ${\mathcal {F}}$ замкнуто относительно счетных объединений : если $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ для $i=1,2,\dots$, тогда также ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
    • Следствием двух предыдущих свойств и закона Де Моргана является то, что ${\mathcal {F}}$ также замкнуто относительно счетных пересечений : если $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ для $i=1,2,\dots$, тогда также ${\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
• вероятностная мера $P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ – функция на ${\mathcal {F}}$ такой, что:
  • P ( счетно-аддитивен также называемый σ-аддитивным): если $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}$ — счетная совокупность попарно непересекающихся множеств , то ${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
  • мера всего выборочного пространства равна единице: $P(\Omega )=1$.

Дискретный случай

Дискретная теория вероятностей нужна только в большинстве счетных выборочных пространств. $\Omega$. Вероятности можно приписать точкам $\Omega$ функцией массы вероятности $p:\Omega \to [0,1]$ такой, что ${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$. Все подмножества $\Omega$ можно рассматривать как события (таким образом, ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ это набор мощности ). Вероятностная мера принимает простую форму

$$P(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\quad {\text{for all }}A\subseteq \Omega .$$ ( ⁎ )

Величайшая σ-алгебра ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ описывает полную информацию. В общем случае σ-алгебра ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ соответствует конечному или счетному разбиению $\Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots$, общая форма события $A\in {\mathcal {F}}$ существование $A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots$. См. также примеры.

Дело $p(\omega )=0$ разрешено по определению, но используется редко, поскольку такое $\omega$ могут быть безопасно исключены из выборочного пространства.

Общий случай

Если Ω несчетно , тем не менее , может случиться так, что P ( ω ) ≠ 0 для некоторого ω ; такие ω называются атомами . Они представляют собой не более чем счетное (возможно, пустое ) множество, вероятность которого равна сумме вероятностей всех атомов. Если эта сумма равна 1, то все остальные точки можно смело исключить из выборочного пространства, вернув нас к дискретному случаю. В противном случае, если сумма вероятностей всех атомов находится между 0 и 1, то вероятностное пространство распадается на дискретную (атомарную) часть (возможно, пустую) и неатомарную часть.

Неатомарный случай

Если P ( ω ) = 0 для всех ω ∈ Ω (в этом случае Ω должно быть несчетным, поскольку в противном случае P(Ω) = 1 не может быть выполнено), то уравнение ( ⁎ ) не выполняется: вероятность набора не равна обязательно сумма по вероятностям его элементов, поскольку суммирование определяется только для счетного числа элементов. Это делает теорию вероятностного пространства гораздо более технической. более сильная формулировка, чем теория суммирования Применима . Первоначально вероятности приписываются некоторым «генераторным» множествам (см. примеры). Тогда предельная процедура позволяет приписать вероятности множествам, которые являются пределами последовательностей порождающих наборов или пределами пределов и т.д. Все эти множества представляют собой σ-алгебру ${\mathcal {F}}$. Технические подробности см. в теореме о продолжении Каратеодори . Наборы, принадлежащие ${\mathcal {F}}$ называются измеримыми . В целом они намного сложнее генераторных установок, но гораздо лучше неизмеримых установок .

Полное вероятностное пространство

Вероятностное пространство $(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)$ называется полным вероятностным пространством, если для всех $B\in {\mathcal {F}}$ с $P(B)=0$ и все $A\;\subset \;B$ у одного есть $A\in {\mathcal {F}}$. Часто изучение вероятностных пространств ограничивается полными вероятностными пространствами.

Примеры

Дискретные примеры

Пример 1

Если эксперимент состоит всего из одного подбрасывания честной монеты , то результатом будет либо орел, либо решка: $\Omega =\{{\text{H}},{\text{T}}\}$. σ-алгебра ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ содержит $2^{2}=4$ события, а именно: $\{{\text{H}}\}$ («головы»), $\{{\text{T}}\}$ («хвосты»), $\{\}$ («ни орла, ни решки»), и $\{{\text{H}},{\text{T}}\}$ («либо орел, либо решка»); другими словами, ${\mathcal {F}}=\{\{\},\{{\text{H}}\},\{{\text{T}}\},\{{\text{H}},{\text{T}}\}\}$. Вероятность выпадения орла составляет пятьдесят процентов, а решки — пятьдесят процентов, поэтому мера вероятности в этом примере равна $P(\{\})=0$, $P(\{{\text{H}}\})=0.5$, $P(\{{\text{T}}\})=0.5$, $P(\{{\text{H}},{\text{T}}\})=1$.

Пример 2

Честную монету подбрасывают три раза. Существует 8 возможных исходов: Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} (здесь «HTH», например, означает, что в первый раз монета выпала орлом, во второй раз решкой и в последний раз снова головы). Полная информация описывается σ-алгеброй ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ из 2 ⁸ = 256 событий, где каждое из событий является подмножеством Ω.

Алиса знает результат только второго броска. Таким образом, ее неполная информация описывается разбиением Ω = A ₁ ⊔ A ₂ = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT} , где ⊔ — непересекающееся объединение , и соответствующая σ-алгебра ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}=\{\{\},A_{1},A_{2},\Omega \}$. Брайан знает только общее количество решок. Его разбиение содержит четыре части: Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ B ₂ ⊔ B ₃ = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT} ; соответственно, его σ-алгебра ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ содержит 2 ⁴ = 16 событий.

Две σ-алгебры несравнимы : ни одна ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ ни ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}$; обе являются суб-σ-алгебрами 2 ^Ой .

Пример 3

Если 100 избирателей случайным образом выбрать из числа всех избирателей Калифорнии и спросить, за кого они будут голосовать за губернатора, то набор всех последовательностей из 100 калифорнийских избирателей будет пространством выборки Ω. Мы предполагаем, что выборка без замены используется только последовательности из 100 разных : допускаются избирателей. Для простоты рассматривается упорядоченная выборка, то есть последовательность (Алиса, Брайан) отличается от (Брайан, Алиса). Мы также считаем само собой разумеющимся, что каждый потенциальный избиратель точно знает свой будущий выбор, то есть он не делает выбор случайно.

ли Арнольд Шварценеггер Алисе известно только то, получил хотя бы 60 голосов. Ее неполная информация описывается σ-алгеброй ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}$ который содержит: (1) набор всех последовательностей в Ω, в которых не менее 60 человек голосуют за Шварценеггера; (2) набор всех последовательностей, в которых менее 60 голосуют за Шварценеггера; (3) все выборочное пространство Ω; и (4) пустое множество ∅.

Брайан знает точное количество избирателей, которые собираются проголосовать за Шварценеггера. Его неполная информация описывается соответствующим разбиением Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ ⋯ ⊔ B ₁₀₀ и σ-алгеброй ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ состоит из 2 ¹⁰¹ события.

В этом случае σ-алгебра Алисы является подмножеством Брайана: ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subset {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$. σ-алгебра Брайана, в свою очередь, является подмножеством гораздо большей «полной информационной» σ-алгебры 2. ^Ой состоящий из 2 ^{п ( п -1)⋯( п -99)} событий, где n — количество всех потенциальных избирателей в Калифорнии.

Неатомарные примеры

Пример 4

Число от 0 до 1 выбирается случайно и равномерно. Здесь Ω = [0,1], ${\mathcal {F}}$ — σ-алгебра борелевских множеств на Ω, а P — мера Лебега на [0,1].

В этом случае в качестве генераторных наборов можно взять открытые интервалы вида ( a , b ) , где 0 < a < b < 1 . Каждому такому множеству можно приписать вероятность P (( a , b )) = ( b − a ) , которая порождает меру Лебега на [0,1] и борелевскую σ-алгебру на Ω.

Пример 5

Честную монету подбрасывают бесконечно. Здесь можно взять Ω = {0,1} ^∞ , множество всех бесконечных последовательностей чисел 0 и 1. Наборы цилиндров {( x ₁ , x ₂ , ...) ∈ Ω : x ₁ = a ₁ , ..., x _n = a _n } могут использоваться как генераторные установки. Каждый такой набор описывает событие, в котором первые n бросков привели к фиксированной последовательности ( a ₁ , ..., an _n ) , а остальная часть последовательности может быть произвольной. Каждому такому событию естественно присвоить вероятность 2 ^{− п} .

Эти два неатомарных примера тесно связаны: последовательность ( x ₁ , x ₂ , ...) ∈ {0,1} ^∞ приводит к числу 2 ⁻¹ х ₁ + 2 ⁻² Икс ₂ + ⋯ ∈ [0,1] . Это не взаимно однозначное соответствие между {0,1} ^∞ и [0,1] однако: это изоморфизм по модулю ноль , который позволяет рассматривать два вероятностных пространства как две формы одного и того же вероятностного пространства. Фактически, все непатологические неатомарные вероятностные пространства в этом смысле одинаковы. Это так называемые стандартные вероятностные пространства . Основные приложения вероятностных пространств нечувствительны к стандартности. Однако недискретная обусловленность проста и естественна в стандартных вероятностных пространствах, в противном случае она становится неясной.

Связанные понятия

Распределение вероятностей

Основная статья: Распределение вероятностей

Случайные переменные

Основная статья: Случайная величина

Случайная величина X — это измеримая функция X : Ω → S из выборочного пространства Ω в другое измеримое пространство S, называемое пространством состояний .

Если A ⊂ S , обозначение Pr( X ∈ A ) является обычно используемым сокращением для $P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})$.

Определение событий с точки зрения выборочного пространства

Если Ω счетно , мы почти всегда определяем ${\mathcal {F}}$ как набор степеней Ω, т.е. ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ которая тривиально является σ-алгеброй и самой большой, которую мы можем создать с помощью Ω. Поэтому мы можем опустить ${\mathcal {F}}$ и просто напишите (Ω,P), чтобы определить вероятностное пространство.

С другой стороны, если Ω несчетно и мы используем ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ у нас возникают проблемы с определением нашей вероятностной меры P, потому что ${\mathcal {F}}$ слишком «больш», т. е. часто будут существовать множества, которым невозможно будет присвоить уникальную меру. В этом случае нам придется использовать меньшую σ-алгебру ${\mathcal {F}}$, например, борелевская алгебра Ω, которая является наименьшей σ-алгеброй, которая делает все открытые множества измеримыми.

Условная вероятность

Основная статья: Условная вероятность

Определение Колмогорова вероятностных пространств порождает естественное понятие условной вероятности. Каждое множество A с ненулевой вероятностью (то есть P ( A ) > 0 ) определяет другую вероятностную меру. $$P(B\mid A)={P(B\cap A) \over P(A)}$$на пространстве. Обычно это произносится как «вероятность B при условии A ».

Для любого события A такого, что P ( A ) > 0 , функция Q, определяемая формулой Q ( B ) = P ( B | A ) для всех событий B, сама является вероятностной мерой.

Независимость

Основная статья: Статистическая независимость

Два события, A и B, называются независимыми, если P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) .

Две случайные величины, X и Y , называются независимыми, если любое событие, определенное через , не зависит от любого события, определенного через Y. X Формально они порождают независимые σ-алгебры, где две σ-алгебры G и H , являющиеся подмножествами F , называются независимыми, если любой элемент G не зависит от любого элемента H .

Взаимная исключительность

Основная статья: Взаимная исключительность

Два события, A и B, называются взаимоисключающими или непересекающимися, если появление одного из них подразумевает ненаступление другого, т. е. их пересечение пусто. Это более сильное условие, чем вероятность их пересечения равна нулю.

Если A и B непересекающиеся события, то P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . Это распространяется на (конечную или счетную) последовательность событий. Однако вероятность объединения несчетного множества событий не является суммой их вероятностей. Например, если Z — нормально распределенная случайная величина, то P ( Z = x ) равно 0 для любого x , но P ( Z ∈ R ) = 1 .

Событие A ∩ B называется « A и B », а событие A ∪ B — « A или B ».

См. также

• Космос (математика)
• Измерьте пространство
• Теория нечеткой меры
• Фильтрованное вероятностное пространство
• Неравенство концентрации Талагранда

Библиография

• Пьер Симон де Лаплас (1812) Аналитическая теория вероятностей

Первый крупный трактат, сочетающий исчисление с теорией вероятностей, первоначально на французском языке: Théorie Analyse des Probabilités .

• Андрей Николаевич Колмогоров (1950) Основы теории вероятностей

Современное теоретико-мерное основание теории вероятностей; оригинальная немецкая версия ( Основные понятия расчета вероятностей ) появилась в 1933 году.

• Гарольд Джеффрис (1939) Теория вероятности

Эмпирический, байесовский подход к основам теории вероятностей.

• Эдвард Нельсон (1987) Радикально элементарная теория вероятностей

Основы теории вероятностей, основанные на нестандартном анализе. Можно скачать. http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html

• Патрик Биллингсли : Вероятность и мера , Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк, Торонто, Лондон, 1979.
• Хенк Таймс (2004) Понимание вероятности

Живое введение в теорию вероятностей для начинающих, Cambridge Univ. Нажимать.

• Дэвид Уильямс (1991) Вероятность с мартингалами

Введение в теорию вероятности для студентов, Cambridge Univ. Нажимать.

• Гут, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Спрингер. ISBN  0-387-22833-0 .

Внешние ссылки

• Сазонов, В.В. (2001) [1994], «Пространство вероятностей» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Анимация, демонстрирующая вероятностное пространство игральных костей
• Виртуальные лаборатории вероятностей и статистики (основной автор Кайл Зигрист), особенно « Пространства вероятностей»
• Граждандиум
• Полное вероятностное пространство
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство вероятностей» . Математический мир .