L-момент

В статистике — это последовательность статистических данных , L-моменты используемых для суммирования формы распределения вероятностей . Они представляют собой линейные комбинации порядковой статистики ( L-статистики ), аналогичных обычным моментам , и могут использоваться для расчета величин, аналогичных стандартному отклонению , асимметрии и эксцессу , называемым L-шкалой, L-асимметрией и L-эксцессом соответственно (L-шкала, L-асимметрия и L-эксцесс соответственно). -mean идентично обычному среднему ). Стандартизированные L-моменты называются отношениями L-моментов и аналогичны стандартизированным моментам . Как и в случае с обычными моментами, теоретическое распределение имеет набор L-моментов населения. Выборочные L-моменты могут быть определены для выборки из совокупности и могут использоваться в качестве оценок L-моментов совокупности.

Население L-моменты

Для случайной величины X r - равен й L-момент популяции

$\lambda _{r}={\frac {\ 1\ }{r}}\sum _{k=0}^{r-1}(-1)^{k}{\binom {r-1}{k}}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X_{r-k:r}\ \}\ ,$

где X _k:n обозначает статистику k -го порядка ( k -е наименьшее значение) в независимой выборке размера n из распределения X и $\ \mathbb {E} \$ обозначает ожидаемого значения оператор . В частности, первые четыре L-момента населенности равны

$\lambda _{1}=\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X\ \}$

$\lambda _{2}={\frac {\ 1\ }{2}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:2}\ \}-\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:2}\ \}\ {\Bigr )}$

$\lambda _{3}={\frac {\ 1\ }{3}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{3:3}\ \}-2\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:3}\ \}+\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:3}\ \}\ {\Bigr )}$

$\lambda _{4}={\frac {\ 1\ }{4}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{4:4}\ \}-3\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{3:4}\ \}+3\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:4}\ \}-\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:4}\ \}\ {\Bigr )}~.$

Обратите внимание, что коэффициенты r -го L-момента такие же, как и в r -м члене биномиального преобразования , используемого в r -го порядка конечной разности (конечный аналог производной).

Первые два из этих L-моментов имеют условные названия:

$\ \lambda _{1}\$ это «среднее», «L-среднее» или «L-местоположение»,

$\ \lambda _{2}\$ это «L-шкала».

L-шкала равна половине средней абсолютной разницы .

Примеры L-моментов

L-моменты выборки можно вычислить как L-моменты совокупности выборки, суммируя по подмножествам r -элементов выборки. $\left\{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}\right\},$ следовательно, усреднение путем деления на биномиальный коэффициент :

$\lambda _{r}={\frac {1}{\ r\cdot {\tbinom {n}{r}}\ }}\ \sum _{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}}\ (-1)^{r-j}{\binom {r-1}{j}}\ x_{j}~.$

Группируя их по статистике порядка, подсчитывает количество случаев, когда элемент выборки из n элементов может быть j -м элементом подмножества r элементов, и дает формулы вида, приведенного ниже. Прямые оценки первых четырех L-моментов в конечной выборке из n наблюдений:

$\ell _{1}={\frac {1}{\ {\tbinom {n}{1}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ x_{(i)}\$

$\ell _{2}={\frac {1}{\ 2\cdot {\tbinom {n}{2}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl [}\ {\tbinom {i-1}{1}}-{\tbinom {n-i}{1}}\ {\Bigr ]}\ x_{(i)}\$

$\ell _{3}={\frac {1}{\ 3\cdot {\tbinom {n}{3}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl [}\ {\tbinom {i-1}{2}}-2{\tbinom {i-1}{1}}{\tbinom {n-i}{1}}+{\tbinom {n-i}{2}}\ {\Bigr ]}\ x_{(i)}\$

$\ell _{4}={\frac {1}{\ 4\cdot {\tbinom {n}{4}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl [}\ {\tbinom {i-1}{3}}-3{\tbinom {i-1}{2}}{\tbinom {n-i}{1}}+3{\tbinom {i-1}{1}}{\tbinom {n-i}{2}}-{\tbinom {n-i}{3}}\ {\Bigr ]}\ x_{(i)}\$

где x _{( i )} — i -го статистика порядка , а $\ {\tbinom {\boldsymbol {\cdot }}{\boldsymbol {\cdot }}}\$ является биномиальным коэффициентом . Выборочные L-моменты также могут быть определены косвенно через взвешенные по вероятности моменты , что приводит к более эффективному алгоритму их вычисления.

Передаточные числа L-моментов

Набор отношений L-моментов или масштабированных L-моментов определяется формулой

$\tau _{r}=\lambda _{r}/\lambda _{2},\qquad r=3,4,\dots ~.$

Наиболее полезными из них являются $\ \tau _{3}\ ,$ называется L-асимметрией , и $\ \tau _{4}\ ,$ L -эксцесс .

Отношения L-моментов лежат в интервале   (−1, 1) . Более точные границы можно найти для некоторых конкретных отношений моментов L; в частности, L-эксцесс $\ \tau _{4}\$ лежит в   [ ⁠− + 1/4 ​ ⁠ и , ) 1

$\ {\tfrac {\ 1\ }{4}}\left(\ 5\ \tau _{3}^{2}-1\ \right)\leq \tau _{4}<1~.$

Также можно определить величину, аналогичную коэффициенту вариации , но на основе L-моментов: $\ \tau =\lambda _{2}/\lambda _{1}\ ,$который называется «коэффициентом L-вариации», или «L-CV». Для неотрицательной случайной величины это лежит в интервале   ( 0, 1 )   и идентичен коэффициенту Джини .

Сопутствующие количества

L-моменты - это статистические величины, полученные из взвешенных по вероятности моментов. (ШИМ), которые были определены ранее (1979 г.). ШИМ используются для эффективной оценки параметров распределений, выражаемых в обратной форме, таких как Gumbel , лямбда Тьюки и распределения Уэйкби .

Использование

Существует два распространенных способа использования L-моментов, в обоих случаях аналогично обычным моментам:

1. В качестве сводной статистики для данных.
2. Получить оценки параметров вероятностных распределений , применяя метод моментов к L-моментам, а не к обычным моментам.

Помимо выполнения этих операций со стандартными моментами, последняя (оценка) чаще выполняется с использованием максимального правдоподобия методов ; однако использование L-моментов дает ряд преимуществ. В частности, L-моменты более устойчивы , чем обычные моменты, и для существования более высоких L-моментов требуется только, чтобы случайная величина имела конечное среднее значение. Одним из недостатков отношений L-моментов для оценки является их обычно меньшая чувствительность. Например, распределение Лапласа имеет эксцесс, равный 6, и слабые экспоненциальные хвосты, но большее соотношение 4-го L-момента, чем, например, распределение Стьюдента с df=3, которое имеет бесконечный эксцесс и гораздо более тяжелые хвосты.

В качестве примера рассмотрим набор данных с несколькими точками данных и одним внешним значением данных. Если взять обычное стандартное отклонение этого набора данных, на него будет сильно влиять эта точка: однако, если взять L-шкалу, она будет гораздо менее чувствительна к этому значению данных. Следовательно, L-моменты гораздо более значимы при работе с выбросами в данных, чем обычные моменты. Однако существуют и другие, более подходящие методы для достижения еще более высокой надежности, чем просто замена моментов L-моментами. Одним из примеров этого является использование L-моментов в качестве сводной статистики в теории экстремальных значений (EVT). Это приложение показывает ограниченную устойчивость L-моментов, т.е. L-статистика не является устойчивой статистикой , поскольку одно экстремальное значение может сбить ее с толку, но поскольку они только линейны (а не статистика более высокого порядка ), на них меньше влияют экстремальные значения. ценности, чем обычные моменты.

Еще одно преимущество L-моментов перед обычными моментами состоит в том, что для их существования требуется только, чтобы случайная величина имела конечное среднее значение, поэтому L-моменты существуют, даже если более высокие условные моменты не существуют (например, для t-распределения Стьюдента с низкими степенями свобода ). Кроме того, необходима конечная дисперсия для того, чтобы стандартные ошибки оценок L-моментов были конечными.

Некоторые упоминания L-моментов в статистической литературе включают книгу Дэвида и Нагараджи (2003, раздел 9.9). и ряд документов. Сообщалось о ряде положительных сравнений L-моментов с обычными моментами.

Значения для некоторых распространенных дистрибутивов

В таблице ниже приведены выражения для первых двух моментов L и численные значения первых двух отношений L-моментов некоторых распространенных непрерывных распределений вероятностей с постоянными отношениями L-моментов. Более сложные выражения были получены для некоторых дальнейших распределений, для которых отношения L-моментов изменяются в зависимости от одного или нескольких параметров распределения, включая логарифмически нормальное , гамма , обобщенное Парето , обобщенное экстремальное значение и обобщенное логистическое распределения.

Распределение	Параметры	среднее, λ 1	L-шкала, λ 2	L-асимметрия, τ 3	L-эксцесс, τ 4
Униформа	а , б	⁠ 1 / 2 ⁠ ( а + б )	⁠ 1 / 6 ⁠ ( б – а )	0	0
Логистика	РС ​ ​	м	с	0	⁠  1  / 6 ⁠ = 0.1667
Нормальный	м , п 2	м	⁠ σ /  √ π  ⁠	0	30 ⁠ θ м / π ⁠ - 9 = 0,1226
Лаплас	м , б	м	⁠  3  / 4 ⁠ b	0	⁠ 1 /  3  √ 2  ⁠ = 0.2357
Студенческая т , 2 дф	п = 2	0	⁠ π /  2 √ 2  ⁠ = 1.111	0	⁠  3  / 8 ⁠ = 0.375
Студенческая т , 4 дф	п = 4	0	⁠  15  / 64 ⁠ π = 0.7363	0	⁠  111  / 512 ⁠ = 0.2168
Экспоненциальный	л	⁠ 1 /  λ  ⁠	⁠ 1 /  2 λ  ⁠	⁠  1  / 3 ⁠ = 0.3333	⁠  1  / 6 ⁠ = 0.1667
Гумбель	м , б	м + в е б	β log 2 (3)	2 log 2 (3) - 3 = 0,1699	16 - 10 log 2 (3) = 0,1504

Обозначения параметров каждого распределения такие же, как и в связанной статье. В выражении для среднего распределения Гамбеля γ e _{представляет} собой константу Эйлера–Машерони 0,5772 1566 4901 ... .

Расширения

Обрезанные L-моменты — это обобщения L-моментов, которые придают нулевой вес экстремальным наблюдениям. Поэтому они более устойчивы к наличию выбросов и, в отличие от L-моментов, могут быть четко определены для распределений, для которых среднее значение не существует, таких как распределение Коши .

См. также

• Оценщик

Внешние ссылки

• Страница L-моментов Джонатан Р.М. Хоскинг, IBM Research
• Л моменты. по датаплотам Справочное руководство , том. 1, вспомогательная глава. Национальный институт стандартов и технологий , 2006 г. По состоянию на 25 мая 2010 г.
• Облегченный Python Lmo включает функции для быстрого расчета L-моментов, усеченных L-моментов и многомерных L-комментариев.