Панджерская рекурсия

- Рекурсия Панджера это алгоритм вычисления аппроксимации распределения вероятностей сложной случайной величины. $S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,$где оба $N\,$ и $X_{i}\,$ являются случайными величинами и имеют специальные типы. В более общих случаях распределение S является сложным распределением . Рекурсия для рассматриваемых особых случаев была введена в статье Гарри Панджер ( заслуженный профессор ) Университета Ватерлоо ). Он широко используется в актуарной науке (см. также системный риск ).

Предварительные сведения

Нас интересует составная случайная величина $S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,$ где $N\,$ и $X_{i}\,$ выполнить следующие предварительные условия.

Распределение размера претензий

Мы предполагаем, $X_{i}\,$ быть независимым и независимым от $N\,$. Кроме того, $X_{i}\,$ надо распределить по решетке $h\mathbb {N} _{0}\,$ с шириной решетки $h>0\,$.

$f_{k}=P[X_{i}=hk].\,$

В актуарной практике $X_{i}\,$ получается путем дискретизации функции плотности претензий (верхняя, нижняя...).

Распределение количества претензий

Число претензий N представляет собой случайную величину , о которой говорят, что она имеет «распределение числа претензий» и которая может принимать значения 0, 1, 2, .... и т. д. Для «рекурсии Панджера» распределение вероятностей из N должен быть членом класса Панджера , иначе известного как класс распределений (a,b,0) . Этот класс состоит из всех счетных случайных величин, которые удовлетворяют следующему соотношению:

$P[N=k]=p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\,$

для некоторых $a$ и $b$ которые выполняют $a+b\geq 0\,$. Начальное значение $p_{0}\,$ определяется так, что $\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,$

Рекурсия Панджера использует это итерационное соотношение, чтобы указать рекурсивный способ построения распределения вероятностей S . В следующем $W_{N}(x)\,$ обозначает производящую функцию вероятности N ) : см. таблицу в классе распределений (a,b,0 .

Если номер претензии известен, обратите внимание на алгоритм Де Приля . Этот алгоритм подходит для вычисления распределения суммы $n$ дискретные случайные величины .

Рекурсия

Алгоритм теперь дает рекурсию для вычисления $g_{k}=P[S=hk]\,$.

Начальное значение $g_{0}=W_{N}(f_{0})\,$ с особыми случаями

$g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ if }}\quad a=0,\,$

и

$g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ for }}\quad a\neq 0,\,$

и продолжить

$g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.\,$

Пример

В следующем примере показана приблизительная плотность $\scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ где $\scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,$ и $\scriptstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)$ с шириной решетки h = 0,04. (См. Распределение Фреше .)

Как уже отмечалось, проблема может возникнуть при инициализации рекурсии. Геган и Хассани (2009) предложили решение этой проблемы..

Внешние ссылки

• Рекурсия Панджера и дистрибутивы, с которыми ее можно использовать