Гамма-распределение/Гомпертца

Гамма-распределение/Гомпертца

Функция плотности вероятности Примечание: b=0,4, β=3.
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$b,s,\beta >0\,\!$
Поддерживать	$x\in [0,\infty )\!$
PDF	$bse^{bx}\beta ^{s}/\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s+1}{\text{where }}b,s,\beta >0$
CDF	$1-\beta ^{s}/\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s},x>0,b,s,\beta >0$ $1-e^{-bsx},\beta =1$
Иметь в виду	$=\left(1/b\right)\left(1/s\right){_{2}{\text{F}}_{1}}\left(s,1;s+1;\left(\beta -1\right)/\beta \right),$            $b,s>0,\beta \neq 1$ $=\left(1/b\right)\left[\beta /\left(\beta -1\right)\right]\ln \left(\beta \right),$            $b>0,s=1,\beta \neq 1$ $=1/\left(bs\right),\quad b,s>0,\beta =1$
медиана	$\left(1/b\right)\ln\{\beta \left[\left(1/2\right)^{-1/s}-1\right]+1\}$
Режим	${\begin{aligned}x^{*}&=(1/b)\ln \left[(1/s)(\beta -1)\right],\\&{\text{with }}0<{\text{F}}(x^{*})<1-(\beta s)^{s}/\left[(\beta -1)(s+1)\right]^{s}<0.632121,\\&\beta >s+1\\&=0,\quad \beta \leq s+1\\\end{aligned}}$
Дисперсия	$=2(1/b^{2})(1/s^{2})\beta ^{s}{_{3}{\text{F}}_{2}}(s,s,s;s+1,s+1;1-\beta )$            $-{\text{E}}^{2}(\tau |b,s,\beta ),\quad \beta \neq 1$ $=(1/b^{2})(1/s^{2}),\quad \beta =1$ ${\text{with}}$ ${_{3}{\text{F}}_{2}}(a,b,c;d,e;z)=\sum _{k=0}^{\infty }\{(a)_{k}(b)_{k}(c)_{k}/[(d)_{k}(e)_{k}]\}z^{k}/k!$ ${\text{and}}$ $(a)_{k}=\Gamma (a+k)/\Gamma (a)$
МГФ	${\text{E}}(e^{-tx})$ $=\beta ^{s}[sb/(t+sb)]{_{2}{\text{F}}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta ),$ $\quad \beta \neq 1$ $=sb/(t+sb),\quad \beta =1$ ${\text{with }}{_{2}{\text{F}}_{1}}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }[(a)_{k}(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!$

В теории вероятности и статистике распределение Гамма/Гомпертца представляет собой непрерывное распределение вероятностей . Он использовался в качестве модели совокупного уровня продолжительности жизни клиента и модели рисков смертности.

Спецификация

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Гамма/Гомпертца:

$f(x;b,s,\beta )={\frac {bse^{bx}\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s+1}}}$

где $b>0$ является параметром масштаба и $\beta ,s>0\,\!$ – параметры формы распределения Гамма/Гомпертца.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения распределения Гамма/Гомпертца:

${\begin{aligned}F(x;b,s,\beta )&=1-{\frac {\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s}}},{\ }x>0,{\ }b,s,\beta >0\\[6pt]&=1-e^{-bsx},{\ }\beta =1\\\end{aligned}}$

Функция генерации момента

Производящая функция момента определяется выражением:

${\begin{aligned}{\text{E}}(e^{-tx})={\begin{cases}\displaystyle \beta ^{s}{\frac {sb}{t+sb}}{\ }{_{2}{\text{F}}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta ),&\beta \neq 1;\\\displaystyle {\frac {sb}{t+sb}},&\beta =1.\end{cases}}\end{aligned}}$

где ${_{2}{\text{F}}_{1}}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }[(a)_{k}(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!$ является гипергеометрической функцией .

Характеристики

Распределение Гамма/Гомпертца представляет собой гибкое распределение, которое можно смещать вправо или влево.

Связанные дистрибутивы

• Когда β = 1, это сводится к экспоненциальному распределению с параметром sb .
• Гамма -распределение является естественным сопряжением до вероятности Гомпертца с известным параметром масштаба. $b\,\!.$
• Когда параметр формы $\eta \,\!$ варьируется распределения Гомпертца в зависимости от гамма-распределения с параметром формы $\alpha \,\!$ и параметр масштабирования $\beta \,\!$ (среднее = $\alpha /\beta \,\!$), распределение $x$ это Гамма/Гомпертц.

См. также

• Распределение Гомпертца
• Пожизненная ценность клиента

Ссылки

• Беммаор, Альберт К.; Глэди, Николас (2012). «Моделирование покупательского поведения в условиях внезапной «смерти»: гибкая модель продолжительности жизни клиента» . Наука управления . 58 (5): 1012–1021. дои : 10.1287/mnsc.1110.1461 . Архивировано из оригинала 26 июня 2015 г.
• Беммаор, Альберт К.; Глэди, Николас (2011). «Реализация модели Gamma/Gompertz/NBD в MATLAB» (PDF) . Сержи-Понтуаз: Бизнес-школа ESSEC.
• Гомпертц, Б. (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизни при непредвиденных обстоятельствах» . Философские труды Лондонского королевского общества . 115 : 513–583. дои : 10.1098/rstl.1825.0026 . JSTOR   107756 . S2CID   145157003 .
• Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения . Том. 2 (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 25–26. ISBN  0-471-58494-0 .
• Мэнтон, КГ; Сталлард, Э.; Вопель, JW (1986). «Альтернативные модели неоднородности рисков смертности среди пожилых людей». Журнал Американской статистической ассоциации . 81 (395): 635–644. дои : 10.1080/01621459.1986.10478316 . ПМИД   12155405 .