Теорема Райкова

Теорема Райкова, названная в честь российского математика Дмитрия Абрамовича Райкова , является результатом теории вероятностей . Хорошо известно, что если каждая из двух независимых случайных величин ξ ₁ и ξ ₂ имеет распределение Пуассона , то их сумма ξ=ξ ₁ +ξ ₂ также имеет распределение Пуассона. Оказывается, справедливо и обратное.

Формулировка теоремы

Предположим, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона и допускает разложение в сумму ξ=ξ ₁ +ξ ₂ двух независимых случайных величин. Тогда распределение каждого слагаемого представляет собой сдвинутое распределение Пуассона.

Комментарий

Теорема Райкова аналогична теореме Крамера о разложении . Последний результат утверждает, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждое слагаемое также имеет нормальное распределение. также было доказано Ю.В.Линником , что аналогичным свойством обладает свертка нормального распределения и распределения Пуассона ( теорема Линника ).

Расширение локально компактных абелевых групп.

Позволять $X$ — локально компактная абелева группа . Обозначим через $M^{1}(X)$ полугруппа свертки вероятностных распределений на $X$и по $E_{x}$вырожденное распределение сконцентрировано в $x\in X$. Позволять $x_{0}\in X,\lambda >0$.

Распределение Пуассона, порожденное мерой $\lambda E_{x_{0}}$ определяется как сдвинутое распределение вида

$\mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\ldots ).$

У одного есть следующее

Теорема Райкова о локально компактных абелевых группах

Позволять $\mu$ — распределение Пуассона, порожденное мерой $\lambda E_{x_{0}}$. Предположим, что $\mu =\mu _{1}*\mu _{2}$, с $\mu _{j}\in M^{1}(X)$. Если $x_{0}$ либо элемент бесконечного порядка, либо имеет порядок 2, то $\mu _{j}$ также является распределением Пуассона. В случае $x_{0}$ являющийся элементом конечного порядка $n\neq 2$, $\mu _{j}$ может не быть распределением Пуассона.