Предельная теорема Пуассона

«Теорема Пуассона» перенаправляется сюда. О «теореме Пуассона» в гамильтоновой механике см. скобку Пуассона § Константы движения .

В теории вероятностей закон редких событий или предельная теорема Пуассона гласит, что распределение Пуассона может использоваться в качестве приближения к биномиальному распределению при определенных условиях. Теорема была названа в честь Симеона Дени Пуассона (1781–1840). Обобщением этой теоремы является теорема Ле Кама .

Для более широкого освещения этой темы см. Распределение Пуассона § Закон редких событий .

Теорема

Позволять $p_{n}$ быть последовательностью действительных чисел в $[0,1]$ такая, что последовательность $np_{n}$ сходится к конечному пределу $\lambda$. Затем:

$\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$

Первое доказательство

Предполагать $\lambda >0$ (дело $\lambda =0$ проще). Затем

${\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}.\end{aligned}}$

С

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}=e^{-\lambda }$

это оставляет

${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.$

Альтернативное доказательство

Используя приближение Стирлинга , можно записать:

${\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(n-k\right)}}\left({\frac {n-k}{e}}\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{n-k}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}.\end{aligned}}$

Сдача в аренду $n\to \infty$ и $np=\lambda$:

${\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{n-k}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{n^{n-k}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&\simeq {\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}$

Как $n\to \infty$, $\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}$ так:

${\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}$

Обыкновенные производящие функции

Также можно продемонстрировать теорему с помощью обычных производящих функций биномиального распределения:

$G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{N-k}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}$

в силу биномиальной теоремы . Принимая предел $N\rightarrow \infty$ сохраняя при этом продукт $pN\equiv \lambda$ постоянно, это видно:

$\lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}$

который является OGF для распределения Пуассона. (Второе равенство имеет место благодаря определению показательной функции .)

См. также

• Теорема Де Муавра – Лапласа
• Теорема Ле Кама