Теорема Ле Кама

В вероятностей теории теорема Ле Кама , названная в честь Люсьена Ле Кама , утверждает следующее.

Предполагать:

• $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ являются независимыми случайными величинами , каждая из которых имеет распределение Бернулли (т. е. равна 0 или 1), не обязательно распределенная одинаково.
• $\Pr(X_{i}=1)=p_{i},{\text{ for }}i=1,2,3,\ldots .$
• $\lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.$
• $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.$ (т.е. $S_{n}$ следует биномиальному распределению Пуассона )

Затем

$\sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right).$

Другими словами, сумма имеет приблизительно распределение Пуассона , и приведенное выше неравенство ограничивает ошибку аппроксимации с точки зрения общего расстояния вариации .

Полагая p _i = λ _n / n , мы видим, что это обобщает обычную предельную теорему Пуассона .

Когда $\lambda _{n}$ велика, возможна лучшая оценка: $\sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\left(1\wedge {\frac {1}{\lambda }}_{n}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right)$, где $\wedge$ представляет собой $\min$ оператор.

Также возможно ослабить требование независимости.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Ле Кэма» . Математический мир .