Решетка (музыка)

В неоримановом Tonnetz высоты звука соединяются линиями, если они разделены малой терцией (/), большой терцией (\) или чистой квинтой (-).

В музыкальной настройке решетка высоте «является способом моделирования отношений настройки точной интонационной системы. Это массив точек в периодическом многомерном шаблоне. Каждая точка решетки соответствует соотношению (т. е. тона или высоте звука). интервал относительно какой-либо другой точки решетки). Решетка может быть двух-, трех- или n -мерной, причем каждое измерение соответствует различному частичному простому числу [ шаговому классу ]». ^[1] Если решетка указана в электронной таблице, ее можно назвать таблицей настройки .

Точки в решетке представляют классы высоты звука (или высоту звука, если представлены октавы), а соединители в решетке представляют интервалы между ними. Соединяющие линии в решетке отображают интервалы как векторы, так что линия одинаковой длины и угла всегда имеет одинаковое интервальное соотношение между точками, которые она соединяет, независимо от того, где она находится в решетке. Многократное добавление одного и того же вектора (многократное наложение одного и того же интервала) продвигает вас дальше в том же направлении. Решетки в простой интонации (ограниченные интервалами, содержащими простые числа, их степени и их произведения) теоретически бесконечны (поскольку ни одна степень любого простого числа не равна степени другого простого числа). Однако решетки иногда также используются для обозначения ограниченных подмножеств, которые особенно интересны (например, Eikosany, проиллюстрированная ниже, или различные способы извлечения определенных масштабных форм из более крупной решетки).

Примеры музыкальных решеток включают Тоннец Эйлера , а также (1739) и Хьюго Римана системы настройки композиторов-теоретиков Бена Джонстона и Джеймса Тенни . Музыкальные интервалы в простой интонации связаны с интервалами в равной настройке с помощью Адриана Фоккера блоков периодичности Фоккера . Многие многомерные настройки верхних пределов были отображены Эрвом Уилсоном . Предел — это наибольшее простое число , используемое в соотношениях, определяющих интервалы, используемые при настройке.

Таким образом, пифагорейская настройка , в которой используются только идеальная квинта (3/2) и октава (2/1) и их кратные ( степени 2 и 3), представлена через двумерную решетку (или, учитывая октавную эквивалентность , одинарную решетку) . измерение), в то время как стандартная (5-лимитная) справедливая интонация, которая добавляет использование только основной терции (5/4), может быть представлена через трехмерную решетку, хотя «может быть представлена «хроматическая» гамма из двенадцати нот. как двумерная (3,5) плоскость проекции внутри трехмерного (2,3,5) пространства, необходимая для отображения масштаба. ^[а] (Эквиваленты октав будут располагаться на оси под прямым углом к двум другим, но такое расположение не является необходимым графически.)». ^[1] Другими словами, круг квинт в одном измерении и серия основных терций на этих квинтах во втором (горизонтальном и вертикальном) с возможностью представления глубины для моделирования октав:

 5-limit
 A----E----B----F#+    5/3--5/4-15/8-45/32
 |    |    |    |       |    |    |    |
 F----C----G----D   =  4/3--1/1--3/2--9/8
 |    |    |    |       |    |    |    |
(Db—)-Ab-—-Eb—--Bb     16/15-8/5--6/5--9/5

Решетка, показывающая структуру Эйкосани Эрва Уилсона. Этот шаблон можно использовать с любыми 6 соотношениями.

Эрв Уилсон добился значительных успехов в разработке решеток, которые могут представлять гармоники более высокого предела, то есть более двух измерений, отображая их в двух измерениях. Вот шаблон, который он использовал для создания того, что он назвал решеткой «Эйлера», в честь которой он черпал свое вдохновение. Каждая простая гармоника (каждый вектор представляет соотношение 1/n или n/1, где n — простое число) имеет уникальный интервал, что позволяет избежать конфликтов даже при создании решеток многомерной гармонической структуры. Уилсон обычно использовал миллиметровую бумагу размером 10 квадратов на дюйм. Таким образом, у него было место для обозначения обоих отношений и часто степени масштаба, что объясняет, почему он не использовал шаблон, в котором все числа делились на 2. Степень масштаба всегда следовала за точкой или точкой, чтобы отделить ее от отношений. .

Примеры:

Одномерный
- Пифагорова настройка (3/2)
- Музыкальные темпераменты, включая равнотемперированные (12 тонов равнотемперированных = 2 ^1/12 (или 2 ^7/12), 24-тет = 2 ^1/24, четверть запятой означает = ${\sqrt[{5}]{4}}$ )
Двумерный
- 5-лимитная просто интонация (3/2 и 5/4)
- Масштаб 833 цента ( $\varphi$ и 3/2)
Трехмерный
- 7-лимит только интонации (3/2, 5/4 и 7/4)

См. также

Тональность бриллиант

Примечания

^ Размеры, необходимые для настройки n -предела, равны функции подсчета простых чисел минус единица.

Источники

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гилмор, Боб (2006). «Введение», стр. xviii, «Максимальная ясность» и другие сочинения о музыке , под редакцией Боба Гилмора. Урбана: Издательство Университета Иллинойса. ISBN 0-252-03098-2 .

Дальнейшее чтение

Джонстон, Бен (2006). «Рациональная структура в музыке», «Максимальная ясность» и другие сочинения о музыке под редакцией Боба Гилмора. Урбана: Издательство Университета Иллинойса. ISBN 0-252-03098-2 .
Ваннамейкер, Роберт, Музыка Джеймса Тенни, Том 1: Контексты и парадигмы (University of Illinois Press, 2021), 155–65.</ref>

Внешние ссылки

Архивы Уилсона содержат множество примеров.

[2] Размеры, необходимые для настройки n -предела, равны функции подсчета простых чисел минус единица.

[Gilmore-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гилмор, Боб (2006). «Введение», стр. xviii, «Максимальная ясность» и другие сочинения о музыке , под редакцией Боба Гилмора. Урбана: Издательство Университета Иллинойса. ISBN 0-252-03098-2 .

[1]

[а]