Модель спирального массива

В теории музыки модель спирального массива представляет собой расширенный тип звукового пространства . Математическая модель, включающая концентрические спирали («массив спиралей »), отражает человеческое восприятие звуков , аккордов и тональностей в одном и том же геометрическом пространстве . Он был предложен в 2000 году Элейн Чу в ее докторской диссертации Массачусетского технологического института « На пути к математической модели тональности» . ^[1] Дальнейшие исследования Чу и других привели к модификации модели спирального массива и применили ее к различным проблемам в теории и практике музыки, таким как поиск ключей (символических и звуковых). ^[2]^[3]), написание высоты тона, ^[4]^[5]^[6]^[7] тональная сегментация, ^[8]^[9] оценка сходства, ^[10] и музыкальный юмор. ^[11] Расширения и приложения описаны в книге «Математическое и вычислительное моделирование тональности: теория и приложения» . ^[12]

Модель спирального массива можно рассматривать как обобщенный tonnez , который отображает шаги в двумерную структуру решетки (массива). Спиральный массив превращает двумерный тоннец в трехмерную решетку и моделирует структуры более высокого порядка, такие как аккорды и клавиши, во внутренней части пространства решетки. Это позволяет модели спирального массива создавать геометрические интерпретации взаимосвязей между структурами низкого и высокого уровня. Например, можно смоделировать и геометрически измерить расстояние между определенной высотой звука и определенной клавишей, которые представлены в виде точек в пространстве спирального массива. Чтобы сохранить написание высоты тона, поскольку в музыкальном плане A# ≠ Bb по своей функции и использованию, спиральный массив не предполагает энгармонической эквивалентности , то есть не сворачивается в тор. Пространственные отношения между высотами звука, аккордами и тональностями согласуются с таковыми в других представлениях тонального пространства. ^[13]

Модель и ее алгоритмы реального времени реализованы в программе тональной визуализации MuSA.RT. ^[14]^[15] (Музыка в спиральном массиве. В реальном времени) и бесплатное приложение MuSA_RT, ^[16] оба из них использовались в музыкальных образовательных видеороликах. ^[17]^[18] и в живом исполнении. ^[19]^[20]^[21]

Структура спирального массива

Предлагаемая модель охватывает основные высоты звука, мажорные аккорды, минорные аккорды, мажорные и минорные тональности, представленные пятью концентрическими спиралями. Начиная с формулировки шага спирали, внутренние спирали генерируются как выпуклые комбинации точек на внешних. Например, высоты C, E и G представлены как декартовы точки P (0), P (1) и P (4) (см. определения в следующем разделе), которые очерчивают треугольник. Выпуклая комбинация этих трех точек является точкой внутри треугольника и представляет собой их центр действия ( ce ). Эта внутренняя точка CM _. (0) представляет аккорд C мажор в модели спирального массива Точно так же клавиши могут быть построены по центрам действия их аккордов I, IV и V.

Внешняя спираль представляет классы шагов. Соседние классы высоты звука разделены музыкальным интервалом в идеальную квинту и пространственно в четверть оборота. Порядок классов высоты звука можно определить по квинтовой линии. Например, за C будет следовать G (C и G разделены идеальной квинтой), за которым последует D (G и D разделены идеальной квинтой) и т. д. В результате этой структуры и одного из важных свойства, ведущие к его выбору, вертикальные соседи представляют собой музыкальный интервал, отстоящий друг от друга на большую треть . Таким образом, ближайшие соседи класса высоты и он сам образуют идеальные квинтовые и основные терции.
Если взять все последовательные трезвучия по спирали и соединить их центры воздействия, внутри основной спирали образуется вторая спираль, представляющая мажорные аккорды.
Аналогичным образом, взяв соответствующие минорные трезвучия и соединив их центры воздействия, образуется третья спираль, представляющая минорные аккорды.
Большую ключевую спираль образуют центры действия центров действия аккордов I, IV и V.
Спираль минорной тональности образуется путем соединения аналогичных комбинаций аккордов i, iv/IV и V/v.

Уравнения для представлений высоты тона, аккорда и тональности

В модели Чу спираль шага класса P представлена в параметрической форме:

$P(k)={\begin{bmatrix}x_{k}\\y_{k}\\z_{k}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin(k\cdot \pi /2)\\r\cos(k\cdot \pi /2)\\kh\end{bmatrix}}$ где k - целое число, представляющее расстояние высоты звука от C по квинтовой линии, r - радиус спирали, а h - "подъём" спирали.

Спираль большой хорды CM _{представлена} :

C_{M}(k)=w_{1}\cdot P(k)+w_{2}\cdot P(k+1)+w_{3}\cdot P(k+4)

где $w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0$ и ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}w_{i}=1}$ .

Веса «w» влияют на то, насколько близко центр эффекта находится к основной, мажорной терции и идеальной квинте аккорда. Изменяя относительные значения этих весов, модель спирального массива контролирует, насколько «близок» результирующий аккорд к трем составляющим звукам. Обычно в западной музыке основной вес при определении аккорда (w1) имеет наибольшее значение, за ним следует квинта (w2), а затем третья (w3).

Спираль малой хорды C _m представлена:

C_{m}(k)=u_{1}\cdot P(k)+u_{2}\cdot P(k+1)+u_{3}\cdot P(k-3)

где $u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0$ и $\sum _{i=1}^{3}u_{i}=1.$

Веса «u» действуют аналогично мажорному аккорду.

Основная ключевая спираль TM _{представлена} :

T_{M}(k)=\omega _{1}\cdot C_{M}(k)+\omega _{2}\cdot C_{M}(k+1)+\omega _{3}\cdot C_{M}(k-1)

где $\omega _{1}\geq \omega _{2}\geq \omega _{3}>0$ и ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}\omega _{i}=1}$ .

Подобно весам, контролирующим, насколько близки составляющие высоты звука к центру эффекта аккорда, который они производят, веса $\omega$ контролировать относительный эффект аккордов I, IV и V, определяя, насколько они близки к результирующей тональности.

Второстепенная ключевая спираль T _m представлена:

T_{m}(k)=\nu _{1}\cdot C_{m}(k)+\nu _{2}\cdot (\alpha \cdot C_{M}(k+1)+(1-\alpha )\cdot C_{m}(k+1))+\nu _{3}\cdot (\beta *C_{m}(k-1)+(1-\beta )\cdot C_{M}(k-1)).

где $\nu _{1}\geq \nu _{2}\geq \nu _{3}>0$ и $\nu _{1}+\nu _{2}+\nu _{3}=1$ и $0\geq \alpha \geq 1$ и $\beta \geq 1$ .

Ссылки

^ Чу, Элейн (2000). К математической модели тональности (доктор философии). Массачусетский технологический институт. hdl : 1721.1/9139 .
^ Чуан, Чинг-Хуа; Чу, Элейн (2005). «Поиск ключей полифонического звука с использованием алгоритма CEG спирального массива». Мультимедиа и выставка, 2005. ICME 2005. Международная конференция IEEE по . Амстердам, Нидерланды: IEEE. стр. 21–24. дои : 10.1109/ICME.2005.1521350 . 0-7803-9331-7.
^ Чуан, Чинг-Хуа; Чу, Элейн (2007). «Вывод по аудиоключу: соображения по проектированию системы и тематические исследования 24 прелюдий Шопена» . Журнал EURASIP о достижениях в области обработки сигналов . 2007 г. (56561). дои : 10.1155/2007/56561 . Проверено 1 декабря 2015 г.
^ Чу, Элейн; Чен, Юнь-Чинг (2005). «Правописание высоты тона в реальном времени с использованием спирального массива». Компьютерный музыкальный журнал . 29 (2): 61–76. дои : 10.1162/0148926054094378 . JSTOR 3681713 . S2CID 905758 .
^ Чу, Элейн; Чен, Юнь-Чинг (2003). «Определение окон, определяющих контекст: написание высоты тона с использованием спирального массива» (PDF) . Материалы международной конференции по поиску музыкальной информации . Балтимор, Мэриленд.
^ Чу, Элейн; Чен, Юнь-Чинг (2003). «Сопоставление миди со спиральным массивом: устранение неоднозначности в написании высоты звука». Вычислительное моделирование и решение проблем в сетевом мире . Финикс, Аризона: Спрингер. стр. 259–275. дои : 10.1007/978-1-4615-1043-7_13 .
^ Мередит, Дэвид (2007). «Оптимизация алгоритма правописания Чу и Чена» (PDF) . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (2): 54–72. дои : 10.1162/comj.2007.31.2.54 . S2CID 17444672 .
^ Чу, Элейн (2002). «Спиральный массив: алгоритм определения ключевых границ» . Музыка и искусственный интеллект, Вторая международная конференция . Эдинбург: Спрингер. стр. 18–31. ЛНАИ 2445.
^ Чу, Элейн (2005). «С уважением к Мессиану по двум вопросам: посттональная сегментация музыки с использованием контекстных расстояний в спиральном массиве». Журнал исследований новой музыки . 34 (4): 341–354. дои : 10.1080/09298210600578147 . S2CID 61149753 .
^ Мардироссян, Арпи; Чу, Элейн (2006). «Обобщение музыки с помощью ключевых распределений: анализ оценки сходства между вариациями» (PDF) . Материалы международной конференции по поиску музыкальной информации . Виктория, Канада. стр. 613–618.
^ Чу, Элейн; Франсуа, Александр (2007). «Видимый юмор - видение музыкальных юмористических приемов PDQ Баха в «Кратком темперированном клавире» в пространстве спирального массива». Математика и вычисления в музыке, Первая международная конференция, MCM 2007 г. Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г. Пересмотренные избранные статьи . Берлин Гейдельберг: Springer. стр. 11–18. дои : 10.1007/978-3-642-04579-0_2 .
^ Чу, Элейн (2014). Математическое и вычислительное моделирование тональности: теория и приложения . Международная серия по исследованию операций и науке управления. Спрингер. ISBN 978-1-4614-9474-4 .
^ Чу, Элейн (2008). «Из сетки и в спираль: геометрические интерпретации и сравнения с моделью спирального массива» (PDF) . Компьютерные технологии в музыкознании . 15 : 51–72.
^ Чу, Элейн; Франсуа, Александр (2003). «MuSA.RT: музыка на спиральном массиве. В реальном времени» . МУЛЬТИМЕДИА '03 Материалы одиннадцатой международной конференции ACM по мультимедиа . Беркли, Калифорния: ACM. стр. 448–449.
^ Чу, Элейн; Франсуа, Александр (2005). «Интерактивная многомасштабная визуализация тональной эволюции в MuSA.RT Opus 2» . Компьютеры в сфере развлечений . 3 (4): 3. дои : 10.1145/1095534.1095545 . S2CID 14391843 .
^ Франсуа, Александр (2012). «МуСА_РТ» . Айтюнс .
^ Меган Свон (12 декабря 2014 г.). Смотрите, что вы слышите . 3:41 минута. Внутри музыки. Филармония Лос-Анджелеса.
^ Эрик Манкин (20 января 2010 г.). Инженер-пианист Элейн Чу рассказывает об использовании математических и программных инструментов для анализа музыки . 5:49 минута. Витерби. Университет Южной Калифорнии.
^ Аврил, Том (22 сентября 2008 г.). «Анализ музыки цифровым способом. У компьютеров превосходный слух» . Филадельфийский исследователь . Филадельфия, Пенсильвания . Проверено 1 декабря 2015 г.
^ Хардести, Ларри (2008). «Геометрия звука» . Обзор технологий: Журнал новостей MIT : 111 . Проверено 1 декабря 2015 г.
^ «Фестиваль новых резонансов» . Мюзик-холл Уилтона, Лондон. 19 июня 2012 г.

Дальнейшее чтение

Чу, Элейн (2014). Математическое и вычислительное моделирование тональности: теория и приложения . Международная серия по исследованию операций и науке управления. Спрингер. ISBN 978-1-4614-9474-4 .
Чу, Элейн (2000). К математической модели тональности (доктор философии). Массачусетский технологический институт. hdl : 1721.1/9139 .
Меган Свон (12 декабря 2014 г.). Смотрите, что вы слышите . 3:41 минута. Внутри музыки. Филармония Лос-Анджелеса.
Эрик Манкин (20 января 2010 г.). Инженер-пианист Элейн Чу рассказывает об использовании математических и программных инструментов для анализа музыки . 5:49 минута. Витерби. Университет Южной Калифорнии.
Франсуа, Александр (2012). «МуСА_РТ» . Айтюнс . , бесплатное приложение для Mac, реализующее и анимирующее модель спирального массива для ввода MIDI.

[1] Чу, Элейн (2000). К математической модели тональности (доктор философии). Массачусетский технологический институт. hdl : 1721.1/9139 .

[2] Чуан, Чинг-Хуа; Чу, Элейн (2005). «Поиск ключей полифонического звука с использованием алгоритма CEG спирального массива». Мультимедиа и выставка, 2005. ICME 2005. Международная конференция IEEE по . Амстердам, Нидерланды: IEEE. стр. 21–24. дои : 10.1109/ICME.2005.1521350 . 0-7803-9331-7.

[3] Чуан, Чинг-Хуа; Чу, Элейн (2007). «Вывод по аудиоключу: соображения по проектированию системы и тематические исследования 24 прелюдий Шопена» . Журнал EURASIP о достижениях в области обработки сигналов . 2007 г. (56561). дои : 10.1155/2007/56561 . Проверено 1 декабря 2015 г.

[4] Чу, Элейн; Чен, Юнь-Чинг (2005). «Правописание высоты тона в реальном времени с использованием спирального массива». Компьютерный музыкальный журнал . 29 (2): 61–76. дои : 10.1162/0148926054094378 . JSTOR 3681713 . S2CID 905758 .

[5] Чу, Элейн; Чен, Юнь-Чинг (2003). «Определение окон, определяющих контекст: написание высоты тона с использованием спирального массива» (PDF) . Материалы международной конференции по поиску музыкальной информации . Балтимор, Мэриленд.

[6] Чу, Элейн; Чен, Юнь-Чинг (2003). «Сопоставление миди со спиральным массивом: устранение неоднозначности в написании высоты звука». Вычислительное моделирование и решение проблем в сетевом мире . Финикс, Аризона: Спрингер. стр. 259–275. дои : 10.1007/978-1-4615-1043-7_13 .

[7] Мередит, Дэвид (2007). «Оптимизация алгоритма правописания Чу и Чена» (PDF) . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (2): 54–72. дои : 10.1162/comj.2007.31.2.54 . S2CID 17444672 .

[8] Чу, Элейн (2002). «Спиральный массив: алгоритм определения ключевых границ» . Музыка и искусственный интеллект, Вторая международная конференция . Эдинбург: Спрингер. стр. 18–31. ЛНАИ 2445.

[9] Чу, Элейн (2005). «С уважением к Мессиану по двум вопросам: посттональная сегментация музыки с использованием контекстных расстояний в спиральном массиве». Журнал исследований новой музыки . 34 (4): 341–354. дои : 10.1080/09298210600578147 . S2CID 61149753 .

[10] Мардироссян, Арпи; Чу, Элейн (2006). «Обобщение музыки с помощью ключевых распределений: анализ оценки сходства между вариациями» (PDF) . Материалы международной конференции по поиску музыкальной информации . Виктория, Канада. стр. 613–618.

[11] Чу, Элейн; Франсуа, Александр (2007). «Видимый юмор - видение музыкальных юмористических приемов PDQ Баха в «Кратком темперированном клавире» в пространстве спирального массива». Математика и вычисления в музыке, Первая международная конференция, MCM 2007 г. Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г. Пересмотренные избранные статьи . Берлин Гейдельберг: Springer. стр. 11–18. дои : 10.1007/978-3-642-04579-0_2 .

[12] Чу, Элейн (2014). Математическое и вычислительное моделирование тональности: теория и приложения . Международная серия по исследованию операций и науке управления. Спрингер. ISBN 978-1-4614-9474-4 .

[13] Чу, Элейн (2008). «Из сетки и в спираль: геометрические интерпретации и сравнения с моделью спирального массива» (PDF) . Компьютерные технологии в музыкознании . 15 : 51–72.

[14] Чу, Элейн; Франсуа, Александр (2003). «MuSA.RT: музыка на спиральном массиве. В реальном времени» . МУЛЬТИМЕДИА '03 Материалы одиннадцатой международной конференции ACM по мультимедиа . Беркли, Калифорния: ACM. стр. 448–449.

[15] Чу, Элейн; Франсуа, Александр (2005). «Интерактивная многомасштабная визуализация тональной эволюции в MuSA.RT Opus 2» . Компьютеры в сфере развлечений . 3 (4): 3. дои : 10.1145/1095534.1095545 . S2CID 14391843 .

[16] Франсуа, Александр (2012). «МуСА_РТ» . Айтюнс .

[17] Меган Свон (12 декабря 2014 г.). Смотрите, что вы слышите . 3:41 минута. Внутри музыки. Филармония Лос-Анджелеса.

[18] Эрик Манкин (20 января 2010 г.). Инженер-пианист Элейн Чу рассказывает об использовании математических и программных инструментов для анализа музыки . 5:49 минута. Витерби. Университет Южной Калифорнии.

[19] Аврил, Том (22 сентября 2008 г.). «Анализ музыки цифровым способом. У компьютеров превосходный слух» . Филадельфийский исследователь . Филадельфия, Пенсильвания . Проверено 1 декабря 2015 г.

[20] Хардести, Ларри (2008). «Геометрия звука» . Обзор технологий: Журнал новостей MIT : 111 . Проверено 1 декабря 2015 г.

[21] «Фестиваль новых резонансов» . Мюзик-холл Уилтона, Лондон. 19 июня 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]