Блок периодичности Фоккера

Блоки периодичности Фоккера — это концепция теории настройки, используемая для математического соотнесения музыкальных интервалов в простой интонации с интервалами в равной настройке . Они названы в честь Адриана Даниэля Фоккера . Они включены в качестве основного подмножества того, что Эрв Уилсон называет постоянными структурами, где «каждый интервал всегда состоит из одного и того же количества шагов». ^[1]

Основная идея блоков периодичности Фоккера состоит в том, чтобы представлять только отношения в виде точек на решетке и находить векторы в решетке , которые представляют собой очень маленькие интервалы, известные как запятые . Рассмотрение шагов, разделенных запятой, как эквивалентных, «складывает» решетку, эффективно уменьшая ее размер на единицу; математически это соответствует нахождению факторгруппы исходной решетки по подрешетке, порожденной запятыми.Для n -мерной решетки идентификация n линейно независимых запятых уменьшает размерность решетки до нуля, а это означает, что количество шагов в решетке конечно; математически его фактор представляет собой конечную абелеву группу . Этот нульмерный набор шагов представляет собой блок периодичности. Часто он образует циклическую группу , и в этом случае идентификация m шагов блока периодичности с m -равной настройкой дает равные аппроксимации настройки справедливых отношений, которые определяли исходную решетку.

Заметим, что октавы при построении блоков периодичности обычно игнорируются (как и вообще в теории гамм ), поскольку предполагается, что для любой высоты звука в системе настройки в принципе доступны и все высоты, отличающиеся от нее на некоторое число октав. Другими словами, все высоты и интервалы можно рассматривать как остатки по октавному модулю. Это упрощение широко известно как октавная эквивалентность .

Определение блоков периодичности

Пусть n -мерная решетка (т.е. целочисленная сетка), встроенная в n -мерное пространство, имеет числовое значение, присвоенное каждому из ее узлов, так что перемещение внутри решетки в одном из основных направлений соответствует сдвигу шага на определенный интервал. . Обычно n варьируется от одного до трех. Одновременно двумерный случай, решетка представляет собой квадратную решетку . В трехмерном случае решетка кубическая.

Примерами таких решеток являются следующие ( x , y , z и w — целые числа ):

В одномерном случае интервал, соответствующий одному шагу, обычно принимается за идеальную квинту с соотношением 3/2, определяющим 3- предельную чистую настройку. Точки решетки соответствуют целым числам, при этом точка в позиции x помечена значением шага 3. ^х/2 ^и для числа y, выбранного так, чтобы результирующее значение лежало в диапазоне от 1 до 2. Таким образом, A (0) = 1, а вокруг него - значения

... 128/81, 32/27, 16/9, 4/3, 1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, ...

В двумерном случае, соответствующем 5-предельной простой настройке, интервалы, определяющие решетку, представляют собой идеальную квинту и большую терцию с соотношением 5/4. Это дает квадратную решетку , в которой точка в позиции ( x , y ) помечена значением 3. ^х5 ^и2 ^С. Опять же, z выбирается в качестве уникального целого числа, благодаря которому результирующее значение лежит в интервале [1,2).
Трехмерный случай аналогичен, но добавляется седьмая гармоника к набору определяющих интервалов , что приводит к кубической решетке , в которой точка в позиции ( x , y , z ) помечена значением 3. ^х5 ^и7 ^С2 ^В при выборе w так, чтобы это значение лежало в интервале [1,2).

После того как решетка и ее разметка зафиксированы, выбираются n узлов решетки, отличных от начала координат, значения которых близки либо к 1, либо к 2.Векторы от начала координат до каждого из этих специальных узлов называются векторами унисона . Эти векторы определяют подрешетку исходной решетки, которая имеет фундаментальную область , которая в двумерном случае представляет собой параллелограмм, ограниченный векторами унисона и их сдвинутыми копиями, а в трехмерном случае — параллелепипед . Эти домены образуют плитки в мозаике исходной решетки.

Плитка имеет площадь или объем, определяемый абсолютным значением определителя матрицы векторов унисона: т.е. в двумерном случае, если векторами унисона являются u и v , так что $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ и $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y})$ тогда площадь двумерной плитки равна

\left|{\begin{matrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{matrix}}\right|=u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}.

Каждый тайл называется блоком периодичности Фоккера . Площадь каждого блока всегда представляет собой натуральное число, равное количеству узлов, попадающих в каждый блок.

Примеры

Пример 1. Возьмем двумерную решетку идеальных квинт (соотношение 3/2) и только основных терций (соотношение 5/4). Выберите запятые 128/125 ( диезис , расстояние, на которое три основные трети не дотягивают до октавы, около 41 цента ) и 81/80 ( синтонная запятая , разница между четырьмя чистыми квинтами и просто мажорной терцией, примерно 21,5 цента). В результате получается блок из двенадцати тонов, показывающий, как равнотемперация из двенадцати тонов приближается к соотношениям 5- лимита .

Пример 2: Однако, если бы мы отклонили диэзис как вектор унисона и вместо этого выбрали разницу между пятью основными терциями (минус октава) и четвертью, 3125/3072 (около 30 центов), результатом будет блок из 19 , показывающий, как 19-TET приближается к соотношениям 5-лимита.

Пример 3: В трехмерной решетке идеальных квинт, только больших терций и только второстепенных септим (соотношение 7/4), идентификация синтонной запятой, септимальной клеизмы (225/224, около 8 центов) и Соотношение 1029/1024 (разница между тремя септимальными целыми тонами и идеальной квинтой, около 8,4 цента) приводит к блоку из 31, показывая, как 31-TET приближается к соотношениям 7-лимита .

Математические характеристики блоков периодичности

Блоки периодичности образуют вторичную наклонную решетку, наложенную на первую. Эта решетка может быть задана функцией φ:

\phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+(x,y){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}

что на самом деле представляет собой линейную комбинацию :

\phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+x\mathbf {u} +y\mathbf {v}

где точка ( x ₀ , y ₀ ) может быть любой точкой, предпочтительно не узлом первичной решетки, и предпочтительно так, чтобы точки φ(0,1), φ(1,0) и φ(1,1) не были любые узлы тоже.

Затем принадлежность первичных узлов к блокам периодичности можно проверить аналитически с помощью обратной функции φ:

\phi _{B}^{-1}(x,y):=\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}^{-1}

={\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right) \over u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}}{\begin{pmatrix}v_{y}&-u_{y}\\-v_{x}&u_{x}\end{pmatrix}}

Позволять

\nu _{B}(x,y):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ),

\mu _{B}(x,y):=\nu _{B}(\phi _{B}^{-1}(x,y)),

тогда пусть высота B ( x , y ) принадлежит шкале M _B тогда и только тогда, когда $\mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0),$ т.е.

M_{B}=\{B(x,y):\mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0)\}.

Для одномерного случая:

\phi _{A}(x):=x_{0}+Lx

где L — длина вектора унисона,

\phi _{A}^{-1}(x)={x-x_{0} \over L}

\mu _{A}(x):=\left\lfloor {x-x_{0} \over L}\right\rfloor ,

M_{A}=\{A(x):\mu _{A}(x)=\mu _{A}(0)\}.

Для трехмерного случая

\phi _{C}(x,y,z):=(x_{0},y_{0},z_{0})+(x,y,z){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{pmatrix}}

\phi _{C}^{-1}(x,y,z)={((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})) \over \Delta }{\begin{pmatrix}v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y}&u_{z}w_{y}-u_{y}w_{z}&u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y}\\v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z}&u_{x}w_{z}-u_{z}w_{x}&u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}\\v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}&u_{y}w_{x}-u_{x}w_{y}&u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}\end{pmatrix}}

где $\Delta =u_{x}v_{y}w_{z}+u_{y}v_{z}w_{x}+u_{z}v_{x}w_{y}-u_{x}v_{z}w_{y}-u_{y}v_{x}w_{z}-u_{z}v_{y}w_{x}$ – определитель матрицы векторов унисона.