Golod–Shafarevich theorem

В математике теорема Голода –Шафаревича была доказана в 1964 году Евгением Голодом и Игорем Шафаревичем . Это результат некоммутативной гомологической алгебры , который решает проблему башни поля классов , показывая, что башни полей классов могут быть бесконечными.

Неравенство

Пусть A = K ⟨ x ₁ , ..., x _n ⟩ — свободная алгебра над полем K от n = d + 1 некоммутирующих переменных x _i .

Пусть J — двусторонний идеал A, порожденный однородными элементами f _j из A степени d _j с

2 ≤ д ₁ ≤ д ₂ ≤ ...

где d _j стремится к бесконечности. Пусть r _i будет числом d _j, равным i .

Пусть B = A / J — градуированная алгебра . Пусть bj dim Bj _. =

Фундаментальное неравенство Голода и Шафаревича гласит, что

b_{j}\geq nb_{j-1}-\sum _{i=2}^{j}b_{j-i}r_{i}.

Как следствие:

B бесконечномерен, если r _i ≤ d ²/4 для всех я

Приложения

Этот результат имеет важные приложения в комбинаторной теории групп :

Если G — нетривиальная конечная p-группа , то r > d ²/4 где d = dim H ¹( G , Z / п Z ) и р знак равно тусклый ЧАС ²( G , Z / p Z mod p ) ( группы когомологий группы G ). В частности, если G — конечная p-группа с минимальным числом образующих d и имеет r реляторов в данном представлении, то r > d ²/4.
Для каждого простого числа p существует бесконечная группа G, порожденная тремя элементами, в которой каждый элемент имеет порядок, равный степени p . Группа G представляет собой контрпример к обобщенной гипотезе Бернсайда : это конечно порожденная бесконечная периодическая группа , хотя не существует равномерной границы порядка ее элементов.

В теории полей классов башня поля классов числового поля K создается путем итерации конструкции поля классов Гильберта . Проблема башни поля класса спрашивает, всегда ли эта башня конечна; Хассе (1926) приписал этот вопрос Фуртвенглеру, хотя Фуртвенглер сказал, что слышал его от Шрайера. Другое следствие теоремы Голода – Шафаревича состоит в том, что такие башни могут быть бесконечными (другими словами, не всегда оканчиваются в поле, равном ее полю классов Гильберта ). Конкретно,

Пусть K — мнимое квадратичное поле, дискриминант которого имеет не менее 6 простых множителей. Тогда максимальное неразветвленное 2-расширение поля K имеет бесконечную степень.

В более общем смысле, числовое поле с достаточно большим количеством простых делителей в дискриминанте имеет башню поля бесконечного класса.

Ссылки

Голод, Е.С. ; Шафаревич И.Р. (1964), "На классной полевой башне", Изв. Акад. СССР , 28 261–272 Наук : . МР 0161852
Хассе, Гельмут (1926), «Отчет о последних исследованиях и проблемах теории полей алгебраических чисел». , Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков , 35 , Геттинген: Тойбнер
Голод Е.С. (1964), "О ниль-алгебрах и конечно аппроксимируемых p-группах", Изв. Акад. СССР , 28 273–276 Наук : . МР 0161878
Херштейн, Индиана (1968). Некоммутативные кольца . Карус Математические монографии. МАА. ISBN 0-88385-039-7 . См. главу 8.
Джонсон, Д.Л. (1980). «Темы теории групповых презентаций» (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-23108-6 . См. главу VI.
Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . п. 180. ИСБН 3-540-63003-1 . Збл 0819.11044 .
Наркевич, Владислав (2004). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел . Монографии Спрингера по математике (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . п. 194. ИСБН 3-540-21902-1 . Збл 1159.11039 .
Рокетт, Питер (1986) [1967]. «На классных полевых башнях». в Касселсе, JWS ; Фрелих, А. (ред.). Алгебраическая теория чисел, Материалы учебной конференции, состоявшейся в Университете Сассекса, Брайтон, 1–17 сентября 1965 г. (перепечатка оригинального издания 1967 г.). Лондон: Академическая пресса . стр. 231–249. ISBN 0-12-163251-2 .
Серр, Ж.-П. (2002), «Когомологии Галуа», Springer-Verlag . ISBN 3-540-42192-0 . См. Приложение 2. (Перевод Cohomologie Galoisienne , Конспект лекций по математике 5 , 1973.)