Квадратичное поле

В теории алгебраических чисел квадратичное поле — это поле алгебраических чисел степени два над $\mathbf {Q}$, рациональные числа .

Каждое такое квадратичное поле является некоторым $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ где $d$ представляет собой (единственно определенное) целое число без квадратов, отличное от $0$ и $1$. Если $d>0$, соответствующее квадратичное поле называется вещественным квадратичным полем и, если $d<0$оно называется мнимым квадратичным полем или комплексным квадратичным полем в зависимости от того, является ли оно подполем поля действительных чисел .

Квадратичные поля изучались очень глубоко, первоначально как часть теории бинарных квадратичных форм . Остаются некоторые нерешенные проблемы. Проблема номера класса особенно важна.

Кольцо целых чисел

Основная статья: Квадратное целое число

Дискриминант

Для ненулевого квадратного свободного целого числа $d$, дискриминант квадратичного поля $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ является $d$ если $d$ соответствует $1$ модуль $4$, и иначе $4d$. Например, если $d$ является $-1$, затем $K$ - это поле гауссовых рациональных чисел , а дискриминант - это $-4$. Причина такого различия в том, что кольцо целых чисел $K$ генерируется $(1+{\sqrt {d}})/2$ в первом случае и ${\sqrt {d}}$ во втором случае.

Набор дискриминантов квадратичных полей в точности совпадает с набором фундаментальных дискриминантов .

Простая факторизация в идеалы

Любое простое число $p$ рождает идеал $p{\mathcal {O}}_{K}$ в кольце целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ квадратичного поля $K$. В соответствии с общей теорией расщепления простых идеалов в расширениях Галуа это может быть

$p$ инертен ​

$(p)$ является первичным идеалом.

Факторкольцо — это конечное поле с $p^{2}$ элементы: ${\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}$.

$p$ расколы

$(p)$ является произведением двух различных простых идеалов ${\mathcal {O}}_{K}$.

Факторкольцо – это произведение ${\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}$.

$p$ разветвлен ​

$(p)$ есть квадрат простого идеала ${\mathcal {O}}_{K}$.

Факторкольцо содержит ненулевые нильпотентные элементы.

Третий случай имеет место тогда и только тогда, когда $p$ делит дискриминант $D$. Первый и второй случаи имеют место, когда символ Кронекера $(D/p)$ равно $-1$ и $+1$, соответственно. Например, если $p$ нечетное простое число, не делящее $D$, затем $p$ распадается тогда и только тогда, когда $D$ конгруэнтен квадрату по модулю $p$. Первые два случая в определенном смысле встречаются с одинаковой вероятностью. $p$ проходит через простые числа — см. теорему о плотности Чеботарёва .

Закон квадратичной взаимности подразумевает, что поведение расщепления простого числа $p$ в квадратичном поле зависит только от $p$ модуль $D$, где $D$ является дискриминантом поля.

Группа классов

Определение группы классов расширения квадратичного поля может быть выполнено с использованием границы Минковского и символа Кронекера из-за конечности группы классов . Квадратичное поле $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ имеет дискриминант $$\Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}$$поэтому граница Минковского равна $$M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}$$

Тогда группа идеальных классов порождается простыми идеалами, норма которых меньше $M_{K}$. Это можно сделать, рассмотрев разложение идеалов. $(p)$ для $p\in \mathbf {Z}$ премьер-где $|p|<M_{k}.$ ^{стр. 72} Эти разложения можно найти с помощью теоремы Дедекинда–Куммера .

Квадратичные подполя круговых полей

Квадратичное подполе простого кругового поля

Классический пример построения квадратичного поля — взять единственное квадратичное поле внутри кругового поля, порожденного примитивом $p$корень единства, с $p$ нечетное простое число. Единственность является следствием теории Галуа , поскольку существует уникальная подгруппа индекса. $2$ в группе Галуа над $\mathbf {Q}$. Как объяснялось в период Гаусса , дискриминант квадратичного поля равен $p$ для $p=4n+1$ и $-p$ для $p=4n+3$. Это также можно предсказать на основе достаточной теории ветвления . Фактически, $p$ - единственное простое число, которое разветвляется в круговом поле, поэтому $p$ — единственное простое число, которое может делить дискриминант квадратичного поля. Это исключает «другие» дискриминанты $-4p$ и $4p$ в соответствующих случаях.

Другие круговые поля

Если взять другие круговые поля, они будут иметь группы Галуа с дополнительными $2$-torsion, поэтому содержит не менее трех квадратичных полей. В общем случае квадратичное поле дискриминанта поля $D$ можно получить как подполе кругового поля $D$корни единства. Это выражает тот факт, что проводником квадратичного поля является абсолютное значение его дискриминанта, частный случай формулы проводник-дискриминант .

Порядки полей квадратичных чисел малого дискриминанта

В следующей таблице показаны некоторые порядки малого дискриминанта квадратичных полей. Максимальный порядок поля алгебраических чисел — это его кольцо целых чисел , а дискриминант максимального порядка — это дискриминант поля. Дискриминант немаксимального порядка — это произведение дискриминанта соответствующего максимального порядка на квадрат определителя матрицы, выражающей базис немаксимального порядка, над базисом максимального порядка. Все эти дискриминанты могут быть определены по формуле Дискриминант поля алгебраических чисел § Определение .

Для действительных квадратичных целочисленных колец идеальное число класса , которое измеряет неудачу уникальной факторизации, приведено в OEIS A003649 ; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924 .

Заказ	Дискриминант	Номер класса	Единицы	Комментарии
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$	$-20$	$2$	$\pm 1$	Идеальные классы $(1)$, $(2,1+{\sqrt {-5}})$
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-19}})/2\right]$	$-19$	$1$	$\pm 1$	Основная идеальная область , а не евклидова
$\mathbf {Z} \left[2{\sqrt {-1}}\right]$	$-16$	$1$	$\pm 1$	Немаксимальный порядок
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-15}})/2\right]$	$-15$	$2$	$\pm 1$	Идеальные классы $(1)$, $(1,(1+{\sqrt {-15}})/2)$
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-3}}\right]$	$-12$	$1$	$\pm 1$	Немаксимальный порядок
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-11}})/2\right]$	$-11$	$1$	$\pm 1$	евклидов
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-2}}\right]$	$-8$	$1$	$\pm 1$	евклидов
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-7}})/2\right]$	$-7$	$1$	$\pm 1$	Клейнианские целые числа
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-1}}\right]$	$-4$	$1$	$\pm 1,\pm i$ (циклический порядка $4$)	Гауссовы целые числа
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-3}})/2\right]$	$-3$	$1$	$\pm 1,(\pm 1\pm {\sqrt {-3}})/2$.	Целые числа Эйзенштейна
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-21}}\right]$	$-84$	$4$		Группа классов нециклическая: $(\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )^{2}$
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {5}})/2\right]$	$5$	$1$	$\pm ((1+{\sqrt {5}})/2)^{n}$ (норма $(-1)^{n}$)
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {2}}\right]$	$8$	$1$	$\pm (1+{\sqrt {2}})^{n}$ (норма $(-1)^{n}$)
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {3}}\right]$	$12$	$1$	$\pm (2+{\sqrt {3}})^{n}$ (норма $1$)
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {13}})/2\right]$	$13$	$1$	$\pm ((3+{\sqrt {13}})/2)^{n}$ (норма $(-1)^{n}$)
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {17}})/2\right]$	$17$	$1$	$\pm (4+{\sqrt {17}})^{n}$ (норма $(-1)^{n}$)
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {5}}\right]$	$20$	$1$	$\pm ({\sqrt {5}}+2)^{n}$ (норма $(-1)^{n}$)	Немаксимальный порядок

Некоторые из этих примеров перечислены в книге Артин, Алгебра (2-е изд.), §13.8.

См. также

• Число Эйзенштейна – Кронекера
• Родовой персонаж
• Число Хегнера
• Инфраструктура (теория чисел)
• Квадратичное целое число
• Квадратичный иррациональный
• Теорема Штарка – Хигнера
• Дзета-функция Дедекинда
• Квадратично замкнутое поле

Ссылки

• Бьюэлл, Дункан (1989), Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления , Springer-Verlag , ISBN  0-387-97037-1 Глава 6.
• Сэмюэл, Пьер (1972), Алгебраическая теория чисел (изд. в твердом переплете), Париж / Бостон: Hermann / Houghton Mifflin Company, ISBN  978-0-901-66506-5
  • Сэмюэл, Пьер (2008), Алгебраическая теория чисел (изд. в мягкой обложке), Дувр, ISBN  978-0-486-46666-8
• Стюарт, Индиана ; Талл, Д.О. (1979), Алгебраическая теория чисел , Чепмен и Холл, ISBN  0-412-13840-9 Глава 3.1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичное поле» . Математический мир .
• «Квадратичное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]