Трансфер Артина (теория групп)

В математической области теории групп — перенос Артина это некоторый гомоморфизм произвольной конечной или бесконечной группы в фактор-группу коммутатора подгруппы конечного индекса. Первоначально такие отображения возникли как теоретико-групповые аналоги гомоморфизмов расширения классов абелевых расширений полей алгебраических чисел путем применения карт взаимности Артина к группам идеальных классов и анализа полученных гомоморфизмов между факторами групп Галуа. Однако, независимо от приложений теории чисел, частичный порядок ядер и целей переносов Артина недавно оказался совместимым с отношениями родитель-потомок между конечными p -группами (с простым числом p ), которые можно визуализировать в потомках деревья . Следовательно, трансферы Артина предоставляют ценный инструмент для классификации конечных p -групп, а также для поиска и идентификации конкретных групп в деревьях-потомках путем поиска шаблонов, определяемых ядрами и целями трансферов Артина. Эти стратегии Распознавание образов полезно в чисто теоретико-групповом контексте, а также для приложений в теории алгебраических чисел, касающихся групп Галуа полей высшего p -класса и -класса Гильберта p башен полей .

Трансверсали подгруппы

Позволять $G$ быть группой и $H\leq G$ — подгруппа конечного индекса $n.$

Определения. Левая трансверсальная часть $H$ в $G$ это упорядоченная система $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ представителей левых классов $H$ в $G$ такой, что

$G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.$

Аналогично, трансверсаль правая $H$ в $G$ это упорядоченная система $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ представителей правых классов $H$ в $G$ такой, что

$G=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hd_{i}.$

Замечание. Для любого трансверсала $H$ в $G$, существует уникальный индекс $1\leq i_{0}\leq n$ такой, что $g_{i_{0}}\in H$, соотв. $d_{i_{0}}\in H$. Конечно, этот элемент с индексом $i_{0}$ который представляет главный смежный класс (т. е. подгруппу $H$ сам по себе) может быть, но не обязательно, заменен нейтральным элементом $1$.

Лемма. Позволять $G$ неабелева группа с подгруппой $H$. Тогда обратные элементы $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ левой трансверсали $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ из $H$ в $G$ образуют правую трансверсальную $H$ в $G$. Более того, если $H$ является нормальной подгруппой $G$, то любая левая трансверсаль является также правой трансверсалью $H$ в $G$.

Доказательство. Поскольку отображение $x\mapsto x^{-1}$ представляет инволюцию собой $G$ мы видим это:

$G=G^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}(g_{i}H)^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}H^{-1}g_{i}^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hg_{i}^{-1}.$

Для нормальной подгруппы $H$ у нас есть $xH=Hx$ для каждого $x\in G$.

Мы должны проверить, когда образ трансверсали при гомоморфизме также является трансверсалем.

Предложение. Позволять $\phi :G\to K$ — групповой гомоморфизм и $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ быть левой трансверсалью подгруппы $H$ в $G$ с конечным индексом $n.$ Следующие два условия эквивалентны:

• $(\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))$ является левой трансверсалью подгруппы $\phi (H)$ на изображении $\phi (G)$ с конечным индексом $(\phi (G):\phi (H))=n.$
• $\ker(\phi )\leq H.$

Доказательство. Как отображение множеств $\phi$ отображает объединение в другое объединение:

$\phi (G)=\phi \left(\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}H\right)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i}H)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H),$

но ослабляет равенство пересечения до тривиального включения:

$\emptyset =\phi (\emptyset )=\phi (g_{i}H\cap g_{j}H)\subseteq \phi (g_{i}H)\cap \phi (g_{j}H)=\phi (g_{i})\phi (H)\cap \phi (g_{j})\phi (H),\qquad i\neq j.$

Предположим, для некоторых $1\leq i\leq j\leq n$:

$\phi (g_{i})\phi (H)\cap \phi (g_{j})\phi (H)\neq \emptyset$

тогда существуют элементы $h_{i},h_{j}\in H$ такой, что

$\phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\phi (h_{j})$

Тогда у нас есть:

${\begin{aligned}\phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\phi (h_{j})&\Longrightarrow \phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{i})\phi (h_{i})\phi (h_{j})^{-1}=1\\&\Longrightarrow \phi \left(g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\right)=1\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\in H&&\ker(\phi )\leq H\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}\in H&&h_{i}h_{j}^{-1}\in H\\&\Longrightarrow g_{i}H=g_{j}H\\&\Longrightarrow i=j\end{aligned}}$

И наоборот, если $\ker(\phi )\nsubseteq H$ тогда существует $x\in G\setminus H$ такой, что $\phi (x)=1.$ Но гомоморфизм $\phi$ отображает непересекающиеся смежные классы $x\cdot H\cap 1\cdot H=\emptyset$ равным смежным классам:

$\phi (x)\phi (H)\cap \phi (1)\phi (H)=1\cdot \phi (H)\cap 1\cdot \phi (H)=\phi (H).$

Замечание. Подчеркнем важную эквивалентность предложения в формуле:

$(1)\quad \ker(\phi )\leq H\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{cases}\phi (G)=\bigsqcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H)\\(\phi (G):\phi (H))=n\end{cases}}$

Представление перестановок

Предполагать $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ является левой трансверсалью подгруппы $H$ конечного индекса $n$ в группе $G$. Фиксированный элемент $x\in G$ порождает уникальную перестановку $\pi _{x}\in S_{n}$ левых смежных классов $H$ в $G$ умножением слева так, что:

$(2)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H\Longrightarrow xg_{i}\in g_{\pi _{x}(i)}H.$

Используя это, мы определяем набор элементов, называемых мономами , связанными с $x$ относительно $(g_{1},\ldots ,g_{n})$:

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.$

Аналогично, если $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ является правой трансверсалой $H$ в $G$, то фиксированный элемент $x\in G$ порождает уникальную перестановку $\rho _{x}\in S_{n}$ правых смежных классов $H$ в $G$ путем правильного умножения так, что:

$(3)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad Hd_{i}x=Hd_{\rho _{x}(i)}\Longrightarrow d_{i}x\in Hd_{\rho _{x}(i)}.$

И определим мономы , связанные с $x$ относительно $(d_{1},\ldots ,d_{n})$:

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\in H.$

Определение. Сопоставления:

${\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \rho _{x}\end{cases}}$

называются представлением перестановочным $G$ в симметричной группе $S_{n}$ относительно $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ и $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ соответственно.

Определение. Сопоставления:

${\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (w_{x}(1),\ldots ,w_{x}(n);\rho _{x})\end{cases}}$

называются представлением мономиальным $G$ в $H^{n}\times S_{n}$ относительно $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ и $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ соответственно.

Лемма. Для правой поперечной $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ связанный с левой трансверсальной $(g_{1},\ldots ,g_{n})$, мы имеем следующие соотношения между мономами и перестановками, соответствующими элементу $x\in G$:

$(4)\quad {\begin{cases}w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}&1\leq i\leq n\\\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}\end{cases}}$

Доказательство. Для правой поперечной $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$, у нас есть $w_{x}(i)=g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}$, для каждого $1\leq i\leq n$. С другой стороны, для левой поперечной $(g_{1},\ldots ,g_{n})$, у нас есть

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i)^{-1}=\left(g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\right)^{-1}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\pi _{x}(i)}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\rho _{x^{-1}}(i)}=w_{x^{-1}}(i).$

Это соотношение одновременно показывает, что для любого $x\in G$представления перестановок и связанные с ними мономы связаны соотношением $\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}$ и $w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}$ для каждого $1\leq i\leq n$.

Трансферное искусство

Определения. Позволять $G$ быть группой и $H$ подгруппа конечного индекса $n.$ Предполагать $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$ является левой трансверсальной $H$ в $G$ со связанным представлением перестановки $\pi _{x}:G\to S_{n},$ такой, что

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.$

Аналогично пусть $(d)=(d_{1},\ldots ,d_{n})$ быть правой трансверсалой $H$ в $G$ со связанным представлением перестановки $\rho _{x}:G\to S_{n}$ такой, что

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\in H.$

Артина Трансфер $T_{G,H}^{(g)}:G\to H/H'$ относительно $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ определяется как:

$(5)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(g)}(x):=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'.$

Аналогично определяем:

$(6)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(d)}(x):=\prod _{i=1}^{n}d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'.$

Замечания. Айзекс вызывает сопоставления

${\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\end{cases}}\qquad {\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\end{cases}}$

предварительный перевод из $G$ к $H$. Предварительный перенос можно составить с помощью гомоморфизма $\phi :H\to A$ от $H$ в абелеву группу $A$ определить более общий вариант передачи из $G$ к $A$ с помощью $\phi$, который встречается в книге Горенштейна.

${\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (u_{x}(i))\end{cases}}\qquad {\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (w_{x}(i))\end{cases}}$

Взяв естественный эпиморфизм

${\begin{cases}\phi :H\to H/H'\\v\mapsto vH'\end{cases}}$

дает предыдущее определение переноса Артина $T_{G,H}$ в оригинальном виде от Шура и Эмиль Артин, также назвал Verlagerung . который Хассе Обратите внимание, что, вообще говоря, предперенос не является независимым ни от трансверсаля, ни от группового гомоморфизма.

Независимость поперечной

Предложение. Перенос Артина относительно любых двух левых трансверсалей $H$ в $G$ совпадают.

Доказательство. Позволять $(\ell )=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})$ и $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$ две левые трансверсали $H$ в $G$. Тогда существует единственная перестановка $\sigma \in S_{n}$ такой, что:

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad g_{i}H=\ell _{\sigma (i)}H.$

Следовательно:

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\exists h_{i}\in H:\qquad g_{i}h_{i}=\ell _{\sigma (i)}.$

Для фиксированного элемента $x\in G$, существует единственная перестановка $\lambda _{x}\in S_{n}$ такой, что:

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad \ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}H=x\ell _{\sigma (i)}H=xg_{i}h_{i}H=xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H=g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}H=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}H.$

Следовательно, перестановочное представление $G$ относительно $(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})$ дается $\lambda _{x}\circ \sigma =\sigma \circ \pi _{x}$ что дает: $\lambda _{x}=\sigma \circ \pi _{x}\circ \sigma ^{-1}\in S_{n}.$ Кроме того, для связи между двумя элементами:

${\begin{aligned}v_{x}(i)&:=\ell _{\lambda _{x}(i)}^{-1}x\ell _{i}\in H\\u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H\end{aligned}}$

у нас есть:

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad v_{x}(\sigma (i))=\ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}^{-1}x\ell _{\sigma (i)}=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}^{-1}xg_{i}h_{i}=\left(g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}.$

Наконец, поскольку $H/H'$ является абелевым и $\sigma$ и $\pi _{x}$ являются перестановками, перенос Артина оказывается независимым от левой трансверсали:

$T_{G,H}^{(\ell )}(x)=\prod _{i=1}^{n}v_{x}(\sigma (i))\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}\prod _{i=1}^{n}h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot 1\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'=T_{G,H}^{(g)}(x),$

как определено в формуле (5).

Предложение. Перенос Артина относительно любых двух правых трансверсалей $H$ в $G$ совпадают.

Доказательство. Аналогично предыдущему предложению.

Предложение. Артин переносит по отношению к $(g^{-1})=(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ и $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$ совпадают.

Доказательство. Используя формулу (4) и $H/H'$ будучи абелевыми, мы имеем:

$T_{G,H}^{(g^{-1})}(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)^{-1}\cdot H'=\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)\cdot H'\right)^{-1}=\left(T_{G,H}^{(g)}\left(x^{-1}\right)\right)^{-1}=T_{G,H}^{(g)}(x).$

Последний шаг оправдан тем, что перенос Артина является гомоморфизмом. Это будет показано в следующем разделе.

Следствие. Перенос Артина не зависит от выбора трансверсалей и зависит только от $H$ и $G$.

Трансферы Артина как гомоморфизмы

Теорема. Позволять $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ быть левой трансверсальной $H$ в $G$. Трансфер Артина

${\begin{cases}T_{G,H}:G\to H/H'\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\end{cases}}$

и представление перестановки:

${\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}$

являются групповыми гомоморфизмами:

$(7)\quad \forall x,y\in G:\qquad T_{G,H}(xy)=T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)\quad {\text{and}}\quad \pi _{xy}=\pi _{x}\circ \pi _{y}.$

показывать

Доказательство

Let $x,y\in G$:

$T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'$

Since $H/H'$ is abelian and $\pi _{y}$ is a permutation, we can change the order of the factors in the product:

${\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'&=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n}g_{(\pi _{x}\circ \pi _{y})(j))}^{-1}xyg_{j}\cdot H'\\&=T_{G,H}(xy)\end{aligned}}$

This relation simultaneously shows that the Artin transfer and the permutation representation are homomorphisms.

Полезно переформулировать свойство гомоморфизма переноса Артина в терминах мономиального представления . Образы факторов $x,y$ даны

$T_{G,H}(x)=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\quad {\text{and}}\quad T_{G,H}(y)=\prod _{j=1}^{n}u_{y}(j)\cdot H'.$

В последнем доказательстве изображение продукта $xy$ оказался

$T_{G,H}(xy)=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{n}u_{x}(\pi _{y}(j))\cdot u_{y}(j)\cdot H'$,

это очень своеобразный закон композиции, который более подробно обсуждается в следующем разделе.

Закон напоминает скрещенные гомоморфизмы. $x\mapsto u_{x}$ в первой группе когомологий $\mathrm {H} ^{1}(G,M)$ из $G$-модуль $M$, обладающие свойством $u_{xy}=u_{x}^{y}\cdot u_{y}$ для $x,y\in G$.

Сплетение H и S ( n )

Своеобразные структуры, возникшие в предыдущем разделе, также можно интерпретировать, наделив декартово произведение $H^{n}\times S_{n}$ с особым законом состава, известным как сплетение $H\wr S_{n}$ групп $H$ и $S_{n}$ относительно набора $\{1,\ldots ,n\}.$

Определение. Для $x,y\in G$сплетение выражением связанных мономов и перестановок определяется

$(8)\quad (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\cdot (u_{y}(1),\ldots ,u_{y}(n);\pi _{y}):=(u_{x}(\pi _{y}(1))\cdot u_{y}(1),\ldots ,u_{x}(\pi _{y}(n))\cdot u_{y}(n);\pi _{x}\circ \pi _{y})=(u_{xy}(1),\ldots ,u_{xy}(n);\pi _{xy}).$

Теорема. По этому закону композиции $H^{n}\times S_{n}$ мономиальное представление

${\begin{cases}G\to H\wr S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}$

является инъективным гомоморфизмом.

показывать

Доказательство

The homomorphism property has been shown above already. For a homomorphism to be injective, it suffices to show the triviality of its kernel. The neutral element of the group $H^{n}\times S_{n}$ endowed with the wreath product is given by $(1,\ldots ,1;1)$, where the last $1$ means the identity permutation. If $(u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})=(1,\ldots ,1;1)$, for some $x\in G$, then $\pi _{x}=1$ and consequently

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad 1=u_{x}(i)=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}=g_{i}^{-1}xg_{i}.$

Finally, an application of the inverse inner automorphism with $g_{i}$ yields $x=1$, as required for injectivity.

Замечание. Мономиальное представление теоремы контрастирует с представлением перестановок, которое не может быть инъективным, если $|G|>n!.$

Замечание. Тогда как Юпперт использует мономиальное представление для определения переноса Артина, мы предпочитаем дать непосредственные определения в формулах (5) и (6) и просто проиллюстрировать свойство гомоморфизма переноса Артина с помощью мономиального представления.

Состав трансферов Артина

Теорема. Позволять $G$ быть группой с вложенными подгруппами $K\leq H\leq G$ такой, что $(G:H)=n,(H:K)=m$ и $(G:K)=(G:H)\cdot (H:K)=nm<\infty .$ Затем передача Артина $T_{G,K}$ представляет собой композит индуцированного переноса ${\tilde {T}}_{H,K}:H/H'\to K/K'$ и трансфер Артина $T_{G,H}$, то есть:

$(9)\quad T_{G,K}={\tilde {T}}_{H,K}\circ T_{G,H}$.

показывать

Доказательство

If $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ is a left transversal of $H$ in $G$ and $(h_{1},\ldots ,h_{m})$ is a left transversal of $K$ in $H$, that is $G=\sqcup _{i=1}^{n}g_{i}H$ and $H=\sqcup _{j=1}^{m}h_{j}K$, then

$G=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigsqcup _{j=1}^{m}g_{i}h_{j}K$

is a disjoint left coset decomposition of $G$ with respect to $K$.

Given two elements $x\in G$ and $y\in H$, there exist unique permutations $\pi _{x}\in S_{n}$, and $\sigma _{y}\in S_{m}$, such that

${\begin{aligned}u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H&&{\text{for all }}1\leq i\leq n\\v_{y}(j)&:=h_{\sigma _{y}(j)}^{-1}yh_{j}\in K&&{\text{for all }}1\leq j\leq m\end{aligned}}$

Then, anticipating the definition of the induced transfer, we have

${\begin{aligned}T_{G,H}(x)&=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\\{\tilde {T}}_{H,K}(y\cdot H')&=T_{H,K}(y)=\prod _{j=1}^{m}v_{y}(j)\cdot K'\end{aligned}}$

For each pair of subscripts $1\leq i\leq n$ and $1\leq j\leq m$, we put $y_{i}:=u_{x}(i)$, and we obtain

$xg_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}u_{x}(i)h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}y_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}v_{y_{i}}(j),$

resp.

$h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=v_{y_{i}}(j).$

Therefore, the image of $x$ under the Artin transfer $T_{G,K}$ is given by

${\begin{aligned}T_{G,K}(x)&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}v_{y_{i}}(j)\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}u_{x}(i)h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}{\tilde {T}}_{H,K}\left(y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}(T_{G,H}(x))\end{aligned}}$

Наконец, мы хотим подчеркнуть структурную особенность мономиального представления

${\begin{cases}G\to K^{n\cdot m}\times S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}$

что соответствует совокупности трансферов Артина, определяющих

$k_{x}(i,j):=\left((gh)_{\gamma _{x}(i,j)}\right)^{-1}x(gh)_{(i,j)}\in K$

для перестановки $\gamma _{x}\in S_{n\cdot m}$, и используя символическое обозначение $(gh)_{(i,j)}:=g_{i}h_{j}$ для всех пар индексов $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq m$.

Предыдущее доказательство показало, что

$k_{x}(i,j)=h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}.$

Следовательно, действие перестановки $\gamma _{x}$ на съемочной площадке $[1,n]\times [1,m]$ дается $\gamma _{x}(i,j)=(\pi _{x}(i),\sigma _{u_{x}(i)}(j))$. Действие на второй компонент $j$ зависит от первого компонента $i$ (через перестановку $\sigma _{u_{x}(i)}\in S_{m}$), тогда как действие на первую компоненту $i$ не зависит от второго компонента $j$. Следовательно, перестановка $\gamma _{x}\in S_{n\cdot m}$ можно отождествить с мультиплетом

$(\pi _{x};\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)})\in S_{n}\times S_{m}^{n},$

которое будет записано в извращенной форме в следующем разделе.

Сплетение S ( m ) и S ( n )

Перестановки $\gamma _{x}$, возникшие как вторые компоненты мономиального представления

${\begin{cases}G\to K\wr S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}$

в предыдущем разделе относятся к совершенно особому виду. Они принадлежат стабилизатору естественного равнораспределения множества $[1,n]\times [1,m]$ в $n$ строки соответствующей матрицы (прямоугольный массив). Используя особенности состава трансферов Артина из предыдущего раздела, мы показываем, что этот стабилизатор изоморфен сплетению $S_{m}\wr S_{n}$ симметрических групп $S_{m}$ и $S_{n}$ относительно набора $\{1,\ldots ,n\}$, базовый набор которого $S_{m}^{n}\times S_{n}$ наделен следующим законом композиции :

${\begin{aligned}(10)\quad \forall x,z\in G:\qquad \gamma _{x}\cdot \gamma _{z}&=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\cdot (\sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{z}(n)};\pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(1))}\circ \sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(n))}\circ \sigma _{u_{z}(n)};\pi _{x}\circ \pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{xz}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{xz}(n)};\pi _{xz})\\&=\gamma _{xz}\end{aligned}}$

Этот закон напоминает правило цепочки $D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x)$ для производной Фреше в $x\in E$ композиции дифференцируемых функций $f:E\to F$ и $g:F\to G$ между полными нормированными пространствами .

Приведенные выше соображения устанавливают третье представление, представление стабилизатора ,

${\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{n}\\x\mapsto (\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}$

группы $G$ в изделии-венке $S_{m}\wr S_{n}$, аналогично представлению перестановок и мономиальному представлению . В отличие от последнего, представление стабилизатора, вообще говоря, не может быть инъективным. Например, конечно нет, если $G$ бесконечен. Формула (10) доказывает следующее утверждение.

Теорема. Представление стабилизатора

${\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{n}\\x\mapsto \gamma _{x}=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}$

группы $G$ в изделии-венке $S_{m}\wr S_{n}$ симметрических групп является групповым гомоморфизмом.

Декомпозиция цикла

Позволять $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ быть левой трансверсалью подгруппы $H$ конечного индекса $n$ в группе $G$ и $x\mapsto \pi _{x}$ быть связанным с ним представлением перестановки.

Теорема. Предположим, что перестановка $\pi _{x}$ разлагается на попарно непересекающиеся (и, следовательно, коммутирующие) циклы $\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{t}\in S_{n}$ длины $f_{1},\ldots f_{t},$ единственное с точностью до порядка циклов. Более явно предположим, что

$(11)\quad \left(g_{j}H,g_{\zeta _{j}(j)}H,g_{\zeta _{j}^{2}(j)}H,\ldots ,g_{\zeta _{j}^{f_{j}-1}(j)}H\right)=\left(g_{j}H,xg_{j}H,x^{2}g_{j}H,\ldots ,x^{f_{j}-1}g_{j}H\right),$

для $1\leq j\leq t$, и $f_{1}+\cdots +f_{t}=n.$ Тогда образ $x\in G$ при переводе Артина дается

$(12)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H'.$

показывать

Доказательство

Define $\ell _{j,k}:=x^{k}g_{j}$ for $0\leq k\leq f_{j}-1$ and $1\leq j\leq t$. This is a left transversal of $H$ in $G$ since

$(13)\quad G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\bigsqcup _{k=0}^{f_{j}-1}x^{k}g_{j}H$

is a disjoint decomposition of $G$ into left cosets of $H$.

Fix a value of $1\leq j\leq t$. Then:

${\begin{aligned}x\ell _{j,k}&=xx^{k}g_{j}=x^{k+1}g_{j}=\ell _{j,k+1}\in \ell _{j,k+1}H&&\forall k\in \{0,\ldots ,f_{j}-2\}\\x\ell _{j,f_{j}-1}&=xx^{f_{j}-1}g_{j}=x^{f_{j}}g_{j}\in g_{j}H=\ell _{j,0}H\end{aligned}}$

Define:

${\begin{aligned}u_{x}(j,k)&:=\ell _{j,k+1}^{-1}x\ell _{j,k}=1\in H&&\forall k\in \{0,\ldots ,f_{j}-2\}\\u_{x}(j,f_{j}-1)&:=\ell _{j,0}^{-1}x\ell _{j,f_{j}-1}=g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\in H\end{aligned}}$

Consequently,

$T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}\prod _{k=0}^{f_{j}-1}u_{x}(j,k)\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}\left(\prod _{k=0}^{f_{j}-2}1\right)\cdot u_{x}(j,f_{j}-1)\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H'.$

Разложение цикла соответствует $(\langle x\rangle ,H)$ двойное разложение смежных классов $G$:

$G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\langle x\rangle g_{j}H$

Именно эта циклическая форма разложения трансферного гомоморфизма была дана Э. Артином в его оригинальной статье 1929 года.

Перевод в обычную подгруппу

Позволять $H$ — нормальная подгруппа конечного индекса $n$ в группе $G$. Тогда у нас есть $xH=Hx$, для всех $x\in G$, и существует факторгруппа $G/H$ порядка $n$. Для элемента $x\in G$, мы позволяем $f:=\mathrm {ord} (xH)$ обозначим порядок смежного класса $xH$ в $G/H$, и мы позволяем $(g_{1},\ldots ,g_{t})$ будет левой трансверсалью подгруппы $\langle x,H\rangle$ в $G$, где $t=n/f$.

Теорема. Тогда образ $x\in G$ под трансфером Артина $T_{G,H}$ дается:

$(14)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'$.

показывать

Доказательство

$\langle xH\rangle$ is a cyclic subgroup of order $f$ in $G/H$, and a left transversal $(g_{1},\ldots ,g_{t})$ of the subgroup $\langle x,H\rangle$ in $G$, where $t=n/f$ and $G=\sqcup _{j=1}^{t}g_{j}\langle x,H\rangle$ is the corresponding disjoint left coset decomposition, can be refined to a left transversal $g_{j}x^{k}(1\leq j\leq t,\ 0\leq k\leq f-1)$ with disjoint left coset decomposition:

$(15)\quad G=\sqcup _{j=1}^{t}\sqcup _{k=0}^{f-1}g_{j}x^{k}H$

of $H$ in $G$. Hence, the formula for the image of $x$ under the Artin transfer $T_{G,H}$ in the previous section takes the particular shape

$T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'$

with exponent $f$ independent of $j$.

Следствие. В частности, внутренний перенос элемента $x\in H$ дается как символическая сила:

$(16)\quad T_{G,H}(x)=x^{\mathrm {Tr} _{G}(H)}\cdot H'$

с микроэлементом

$(17)\quad \mathrm {Tr} _{G}(H)=\sum _{j=1}^{t}g_{j}\in \mathbb {Z} [G]$

из $H$ в $G$ как символический показатель.

Другая крайность — внешний перенос элемента $x\in G\setminus H$ который генерирует $G/H$, то есть $G=\langle x,H\rangle$.

Это просто $n$эта сила

$(18)\quad T_{G,H}(x)=x^{n}\cdot H'$.

показывать

Доказательство

The inner transfer of an element $x\in H$, whose coset $xH=H$ is the principal set in $G/H$ of order $f=1$, is given as the symbolic power

$T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}xg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}x^{g_{j}}\cdot H'=x^{\sum _{j=1}^{t}g_{j}}\cdot H'$

with the trace element

$\mathrm {Tr} _{G}(H)=\sum _{j=1}^{t}g_{j}\in \mathbb {Z} [G]$

of $H$ in $G$ as symbolic exponent.

The outer transfer of an element $x\in G\setminus H$ which generates $G/H$, that is $G=\langle x,H\rangle$, whence the coset $xH$ is generator of $G/H$ with order$f=n$, is given as the $n$th power

$T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{1}1^{-1}\cdot x^{n}\cdot 1\cdot H'=x^{n}\cdot H'.$

Переходы в нормальные подгруппы будут в дальнейшем наиболее важными случаями, поскольку центральная концепция данной статьи — паттерн Артина , наделяющий деревья-потомки дополнительной структурой, — состоит из целей и ядер переходов Артина из группы. $G$ в промежуточные группы $G'\leq H\leq G$ между $G$ и $G'$. Для этих промежуточных групп справедлива следующая лемма.

Лемма. Все подгруппы, содержащие коммутатор, нормальны.

показывать

Доказательство

Let $G'\leq H\leq G$. If $H$ were not a normal subgroup of $G$, then we had $x^{-1}Hx\not \subseteq H$ for some element $x\in G\setminus H$. This would imply the existence of elements $h\in H$ and $y\in G\setminus H$ such that $x^{-1}hx=y$, and consequently the commutator $[h,x]=h^{-1}x^{-1}hx=h^{-1}y$ would be an element in $G\setminus H$ in contradiction to $G'\leq H$.

Явные реализации переносов Артина в простейших ситуациях представлены в следующем разделе.

Вычислительная реализация

Абелианизация типа ( p , p )

Позволять $G$ быть p -группой с абелианизацией $G/G'$ элементарного абелева типа $(p,p)$. Затем $G$ имеет $p+1$ максимальные подгруппы $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ индекса $p.$

Лемма. В этом частном случае подгруппа Фраттини, определенная как пересечение всех максимальных подгрупп, совпадает с подгруппой-коммутатором.

Доказательство. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что из-за абелева типа $G/G'$ подгруппа коммутатора содержит все p -ты степени $G'\supset G^{p},$ и таким образом мы имеем $\Phi (G)=G^{p}\cdot G'=G'$.

Для каждого $1\leq i\leq p+1$, позволять $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ — гомоморфизм переноса Артина. Согласно базовой теореме Бернсайда группа $G$ поэтому может быть сгенерировано двумя элементами $x,y$ такой, что $x^{p},y^{p}\in G'.$ Для каждой из максимальных подгрупп $H_{i}$, что тоже нормально, нам нужен генератор $h_{i}$ относительно $G'$и генератор $t_{i}$ поперечного ​ $(1,t_{i},t_{i}^{2},\ldots ,t_{i}^{p-1})$ такой, что

${\begin{aligned}H_{i}&=\langle h_{i},G'\rangle \\G&=\langle t_{i},H_{i}\rangle =\bigsqcup _{j=0}^{p-1}t_{i}^{j}H_{i}\end{aligned}}$

Удобный выбор дает

$(19)\quad {\begin{cases}h_{1}=y\\t_{1}=x\\h_{i}=xy^{i-2}&2\leq i\leq p+1\\t_{i}=y&2\leq i\leq p+1\end{cases}}$

Тогда для каждого $1\leq i\leq p+1$ мы используем уравнения (16) и (18) для реализации внутренней и внешней передачи:

${\begin{aligned}(20)\quad T_{i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\cdots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=h_{i}\cdot \left(t_{i}^{-1}h_{i}t_{i}\right)\cdot \left(t_{i}^{-2}h_{i}t_{i}^{2}\right)\cdots \left(t_{i}^{-p+1}h_{i}t_{i}^{p-1}\right)\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(21)\quad T_{i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}$,

Причина в том, что в $G/H_{i},$ $\mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1$ и $\mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p.$

Полная спецификация трансферов Artin $T_{i}$ также требует явного знания производных подгрупп $H_{i}'$. С $G'$ является нормальной подгруппой индекса $p$ в $H_{i}$, некоторое общее сокращение возможно за счет $H_{i}'=[H_{i},H_{i}]=[G',H_{i}]=(G')^{h_{i}-1},$ но презентация $G$ необходимо знать для определения генераторов $G'=\langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle$, откуда

$(22)\quad H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}=\langle [s_{1},h_{i}],\ldots ,[s_{n},h_{i}]\rangle .$

Абелианизация типа ( p ² , п )

Позволять $G$ быть p -группой с абелианизацией $G/G'$ неэлементарного абелева типа $(p^{2},p)$. Затем $G$ имеет $p+1$ максимальные подгруппы $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ индекса $p$ и $p+1$ подгруппы $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ индекса $p^{2}.$ Для каждого $i\in \{1,\ldots ,p+1\}$ позволять

${\begin{aligned}T_{1,i}:G&\to H_{i}/H_{i}'\\T_{2,i}:G&\to U_{i}/U_{i}'\end{aligned}}$

— гомоморфизмы переноса Артина. Базисная теорема Бернсайда утверждает, что группа $G$ может быть создан двумя элементами $x,y$ такой, что $x^{p^{2}},y^{p}\in G'.$

Начнем с рассмотрения первого слоя подгрупп. Для каждой из нормальных подгрупп $H_{i}$, подбираем генератор

$(23)\quad h_{i}=xy^{i-1}$

такой, что $H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle$. Это случаи, когда группа факторов $H_{i}/G'$ является циклическим порядка $p^{2}$. Однако для выделенной максимальной подгруппы $H_{p+1}$, для которого факторная группа $H_{p+1}/G'$ является бициклическим типа $(p,p)$, нам нужны два генератора:

$(24)\quad {\begin{cases}h_{p+1}=y\\h_{0}=x^{p}\end{cases}}$

такой, что $H_{p+1}=\langle h_{p+1},h_{0},G'\rangle$. Далее генератор $t_{i}$ трансверсали должно быть задано так, чтобы $G=\langle t_{i},H_{i}\rangle$, для каждого $1\leq i\leq p+1$. Удобно определить

$(25)\quad {\begin{cases}t_{i}=y&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\end{cases}}$

Тогда для каждого $1\leq i\leq p+1$, у нас есть внутренние и внешние передачи:

${\begin{aligned}(26)\quad T_{1,i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(27)\quad T_{1,i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}$

с $\mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1$ и $\mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p$.

Теперь мы продолжим рассмотрение второго слоя подгрупп. Для каждой из нормальных подгрупп $U_{i}$, подбираем генератор

$(28)\quad {\begin{cases}u_{1}=y\\u_{i}=x^{p}y^{i-1}&2\leq i\leq p\\u_{p+1}=x^{p}\end{cases}}$

такой, что $U_{i}=\langle u_{i},G'\rangle$. Среди этих подгрупп подгруппа Фраттини $U_{p+1}=\langle x^{p},G'\rangle =G^{p}\cdot G'$ особенно выделяется. Единый способ определения генераторов $t_{i},w_{i}$ трансверсали такой, что $G=\langle t_{i},w_{i},U_{i}\rangle$, это установить

$(29)\quad {\begin{cases}t_{i}=x&1\leq i\leq p\\w_{i}=x^{p}&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\\w_{p+1}=y\end{cases}}$

С $\mathrm {ord} (u_{i}U_{i})=1$, но с другой стороны $\mathrm {ord} (t_{i}U_{i})=p^{2}$ и $\mathrm {ord} (w_{i}U_{i})=p$, для $1\leq i\leq p+1$, за единственным исключением, что $\mathrm {ord} (t_{p+1}U_{p+1})=p$, получим следующие выражения для внутреннего и внешнего переносов

${\begin{aligned}(30)\quad T_{2,i}(u_{i})&=u_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(U_{i})}\cdot U_{i}'=u_{i}^{\sum _{j=0}^{p-1}\sum _{k=0}^{p-1}w_{i}^{j}t_{i}^{k}}\cdot U_{i}'=\prod _{j=0}^{p-1}\prod _{k=0}^{p-1}(w_{i}^{j}t_{i}^{k})^{-1}u_{i}w_{i}^{j}t_{i}^{k}\cdot U_{i}'\\(31)\quad T_{2,i}(t_{i})&=t_{i}^{p^{2}}\cdot U_{i}'\end{aligned}}$

исключительно

${\begin{aligned}&(32)\quad T_{2,p+1}\left(t_{p+1}\right)=\left(t_{p+1}^{p}\right)^{1+w_{p+1}+w_{p+1}^{2}+\ldots +w_{p+1}^{p-1}}\cdot U_{p+1}'\\&(33)\quad T_{2,i}(w_{i})=\left(w_{i}^{p}\right)^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot U_{i}'&&1\leq i\leq p+1\end{aligned}}$

Строение производных подгрупп $H_{i}'$ и $U_{i}'$ должно быть известно, чтобы полностью определить действие передач Артина.

Перенос ядер и целей

Позволять $G$ группа с конечной абелианизацией $G/G'$. Предположим, что $(H_{i})_{i\in I}$ обозначает семейство всех подгрупп, содержащих $G'$ и поэтому обязательно нормальны и нумеруются конечным набором индексов $I$. Для каждого $i\in I$, позволять $T_{i}:=T_{G,H_{i}}$ быть переводом Артина из $G$ к абелианизации $H_{i}/H_{i}'$.

Определение. Семейство нормальных подгрупп $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{i\in I}$ называется типом ядра передачи (TKT) $G$ относительно $(H_{i})_{i\in I}$и семейство абелианизаций (соответственно их инвариантов абелева типа) $\tau _{H}(G)=(H_{i}/H_{i}')_{i\in I}$ называется целевым типом передачи (TTT) $G$ относительно $(H_{i})_{i\in I}$. Оба семейства также называются мультиплетами , тогда как отдельный компонент будет называться синглетом .

Важные примеры этих концепций представлены в следующих двух разделах.

Абелианизация типа ( p , p )

Позволять $G$ быть p -группой с абелианизацией $G/G'$ элементарного абелева типа $(p,p)$. Затем $G$ имеет $p+1$ максимальные подгруппы $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ индекса $p$. Для $i\in \{1,\ldots ,p+1\}$ позволять $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ обозначают гомоморфизм переноса Артина.

Определение. Семейство нормальных подгрупп $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{1\leq i\leq p+1}$ называется типом ядра передачи (TKT) $G$ относительно $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$.

Замечание. Для краткости ТКТ отождествляется с мультиплетом $(\varkappa (i))_{1\leq i\leq p+1}$, целые компоненты которого имеют вид

$\varkappa (i)={\begin{cases}0&\ker(T_{i})=G\\j&\ker(T_{i})=H_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1\end{cases}}$

Здесь мы учтем, что каждое трансферное ядро $\ker(T_{i})$ должен содержать подгруппу коммутатора $G'$ из $G$, поскольку цель передачи $H_{i}/H_{i}'$ является абелевым. Однако минимальный случай $\ker(T_{i})=G'$ не может произойти.

Замечание. Перенумерация максимальных подгрупп $K_{i}=H_{\pi (i)}$ и о трансферах $V_{i}=T_{\pi (i)}$ с помощью перестановки $\pi \in S_{p+1}$ порождает новый ТКТ $\lambda _{K}(G)=(\ker(V_{i}))_{1\leq i\leq p+1}$ относительно $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$, отождествленный с $(\lambda (i))_{1\leq i\leq p+1}$, где

$\lambda (i)={\begin{cases}0&\ker(V_{i})=G\\j&\ker(V_{i})=K_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1\end{cases}}$

Достаточно просмотреть ТКТС $\lambda _{K}(G)\sim \varkappa _{H}(G)$ как эквивалент . Поскольку у нас есть

$K_{\lambda (i)}=\ker(V_{i})=\ker(T_{\pi (i)})=H_{\varkappa (\pi (i))}=K_{{\tilde {\pi }}^{-1}(\varkappa (\pi (i)))},$

отношения между $\lambda$ и $\varkappa$ дается $\lambda ={\tilde {\pi }}^{-1}\circ \varkappa \circ \pi$. Поэтому, $\lambda$ еще один представитель орбиты $\varkappa ^{S_{p+1}}$ из $\varkappa$ под действием $(\pi ,\mu )\mapsto {\tilde {\pi }}^{-1}\circ \mu \circ \pi$ симметрической группы $S_{p+1}$ на множестве всех отображений из $\{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\},$ где расширение ${\tilde {\pi }}\in S_{p+2}$ перестановки $\pi \in S_{p+1}$ определяется ${\tilde {\pi }}(0)=0,$ и формально $H_{0}=G,K_{0}=G.$

Определение. Орбита $\varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p+1}}$ любого представителя $\varkappa$ является инвариантом p -группы $G$ и называется его типом ядра передачи , кратко ТКТ.

Замечание. Позволять $\#{\mathcal {H}}_{0}(G):=\#\{1\leq i\leq p+1\mid \varkappa (i)=0\}$ обозначаем счетчик общего числа трансферных ядер $\ker(T_{i})=G$, который является инвариантом группы $G$. В 1980 году С.М. Чанг и Р. Фут доказал, что для любого нечетного простого числа $p$ и для любого целого числа $0\leq n\leq p+1$, существуют метабелевы p -группы $G$ имеющий абелианизацию $G/G'$ типа $(p,p)$ такой, что $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=n$. Однако для $p=2$, не существует неабелевых $2$-группы $G$ с $G/G'\simeq (2,2)$, который должен быть метабелевым максимального класса, таким, что $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)\geq 2$. Только элементарный абелев $2$-группа $G=C_{2}\times C_{2}$ имеет $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3$. См. рисунок 5.

В следующих конкретных примерах счетчиков $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)$, а также в оставшейся части этой статьи мы используем идентификаторы конечных p -групп из библиотеки SmallGroups авторов HU Besche, B. Eick и EA O'Brien.

Для $p=3$, у нас есть

• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=0$ для особо специальной группы $G=\langle 27,4\rangle$ экспоненты $9$ с ТКТ $\varkappa =(1111)$ (рисунок 6),
• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=1$ для двух групп $G\in \{\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}$ с ТКТС $\varkappa \in \{(0122),(2034)\}$ (рис. 8 и 9),
• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=2$ для группы $G=\langle 243,3\rangle$ с ТКТ $\varkappa =(0043)$ (рис. 4 в статье о деревьях-потомках ),
• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3$ для группы $G=\langle 81,7\rangle$ с ТКТ $\varkappa =(2000)$ (рисунок 6),
• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=4$ для особо специальной группы $G=\langle 27,3\rangle$ экспоненты $3$ с ТКТ $\varkappa =(0000)$ (рисунок 6).

Абелианизация типа ( p ² , п )

Позволять $G$ быть p -группой с абелианизацией $G/G'$ неэлементарного абелева типа $(p^{2},p).$ Затем $G$ обладает $p+1$ максимальные подгруппы $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ индекса $p$ и $p+1$ подгруппы $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ индекса $p^{2}.$

Предположение. Предполагать

$H_{p+1}=\prod _{j=1}^{p+1}U_{j}$

— выделенная максимальная подгруппа и

$U_{p+1}=\bigcap _{j=1}^{p+1}H_{j}$

- выделенная подгруппа индекса $p^{2}$ которая как пересечение всех максимальных подгрупп является подгруппой Фраттини $\Phi (G)$ из $G$.

Первый слой

Для каждого $1\leq i\leq p+1$, позволять $T_{1,i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ обозначают гомоморфизм переноса Артина.

Определение. Семья $\varkappa _{1,H,U}(G)=(\ker(T_{1,i}))_{i=1}^{p+1}$ называется ядра передачи первого уровня типом $G$ относительно $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ и $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$, и отождествляется с $(\varkappa _{1}(i))_{i=1}^{p+1}$, где

$\varkappa _{1}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{1,i})=H_{p+1},\\j&\ker(T_{1,i})=U_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}$

Замечание. Здесь мы наблюдаем, что каждое ядро ​​переноса первого слоя имеет показатель степени $p$ относительно $G'$ и, следовательно, не может совпадать с $H_{j}$ для любого $1\leq j\leq p$, с $H_{j}/G'$ является циклическим порядка $p^{2}$, тогда как $H_{p+1}/G'$ является бициклическим типа $(p,p)$.

Второй слой

Для каждого $1\leq i\leq p+1$, позволять $T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'$ — гомоморфизм переноса Артина из $G$ к абелианизации $U_{i}$.

Определение. Семья $\varkappa _{2,U,H}(G)=(\ker(T_{2,i}))_{i=1}^{p+1}$ называется ядра передачи второго уровня типом $G$ относительно $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ и $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$, и отождествляется с $(\varkappa _{2}(i))_{i=1}^{p+1},$ где

$\varkappa _{2}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{2,i})=G,\\j&\ker(T_{2,i})=H_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}$

Передача типа ядра

Объединив информацию о двух слоях, мы получаем (полный) тип ядра передачи $\varkappa _{H,U}(G)=(\varkappa _{1,H,U}(G);\varkappa _{2,U,H}(G))$ группы р - $G$ относительно $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ и $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$.

Замечание. Выделенные подгруппы $H_{p+1}$ и $U_{p+1}=\Phi (G)$ являются уникальными инвариантами $G$ и не подлежат перерасчету. Однако независимые перенумерации остальных максимальных подгрупп $K_{i}=H_{\tau (i)}(1\leq i\leq p)$ и трансферы $V_{1,i}=T_{1,\tau (i)}$ с помощью перестановки $\tau \in S_{p}$, а из остальных подгрупп $W_{i}=U_{\sigma (i)}(1\leq i\leq p)$ индекса $p^{2}$ и трансферы $V_{2,i}=T_{2,\sigma (i)}$ с помощью перестановки $\sigma \in S_{p}$, порождают новые ТКТ $\lambda _{1,K,W}(G)=(\ker(V_{1,i}))_{i=1}^{p+1}$ относительно $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ и $W_{1},\ldots ,W_{p+1}$, отождествленный с $(\lambda _{1}(i))_{i=1}^{p+1}$, где

$\lambda _{1}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{1,i})=K_{p+1},\\j&\ker(V_{1,i})=W_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1,\end{cases}}$

и $\lambda _{2,W,K}(G)=(\ker(V_{2,i}))_{i=1}^{p+1}$ относительно $W_{1},\ldots ,W_{p+1}$ и $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$, отождествленный с $(\lambda _{2}(i))_{i=1}^{p+1},$ где

$\lambda _{2}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{2,i})=G,\\j&\ker(V_{2,i})=K_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}$

Достаточно просмотреть ТКТС $\lambda _{1,K,W}(G)\sim \varkappa _{1,H,U}(G)$ и $\lambda _{2,W,K}(G)\sim \varkappa _{2,U,H}(G)$ как эквивалент . Поскольку у нас есть

${\begin{aligned}W_{\lambda _{1}(i)}&=\ker(V_{1,i})=\ker(T_{1,{\hat {\tau }}(i)})=U_{\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i))}=W_{{\tilde {\sigma }}^{-1}(\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i)))}\\K_{\lambda _{2}(i)}&=\ker(V_{2,i})=\ker(T_{2,{\hat {\sigma }}(i)})=H_{\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i))}=K_{{\tilde {\tau }}^{-1}(\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i)))}\end{aligned}}$

отношения между $\lambda _{1}$ и $\varkappa _{1}$, и $\lambda _{2}$ и $\varkappa _{2}$, даны

$\lambda _{1}={\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \varkappa _{1}\circ {\hat {\tau }}$

$\lambda _{2}={\tilde {\tau }}^{-1}\circ \varkappa _{2}\circ {\hat {\sigma }}$

Поэтому, $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2})$ еще один представитель орбиты $\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}$ из $\varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})$ под действием:

$((\sigma ,\tau ),(\mu _{1},\mu _{2}))\mapsto \left({\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \mu _{1}\circ {\hat {\tau }},{\tilde {\tau }}^{-1}\circ \mu _{2}\circ {\hat {\sigma }}\right)$

произведения двух симметричных групп $S_{p}\times S_{p}$ на множестве всех пар отображений $\{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\}$, где расширения ${\hat {\pi }}\in S_{p+1}$ и ${\tilde {\pi }}\in S_{p+2}$ перестановки $\pi \in S_{p}$ определяются ${\hat {\pi }}(p+1)={\tilde {\pi }}(p+1)=p+1$ и ${\tilde {\pi }}(0)=0$и формально $H_{0}=K_{0}=G,K_{p+1}=H_{p+1},U_{0}=W_{0}=H_{p+1},$ и $W_{p+1}=U_{p+1}=\Phi (G).$

Определение. Орбита $\varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}$ любого представителя $\varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})$ является инвариантом p -группы $G$ и называется его типом ядра передачи , кратко ТКТ.

Связи между слоями

Трансфер Артина $T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'$ это композиция $T_{2,i}={\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j}$ индуцированного переноса ${\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}:H_{j}/H_{j}'\to U_{i}/U_{i}'$ от $H_{j}$ к $U_{i}$ и трансфер Артина $T_{1,j}:G\to H_{j}/H_{j}'.$

Есть два варианта относительно промежуточных подгрупп.

• Для подгрупп $U_{1},\ldots ,U_{p}$ только выделенная максимальная подгруппа $H_{p+1}$ является промежуточной подгруппой.
• Для подгруппы Фраттини $U_{p+1}=\Phi (G)$ все максимальные подгруппы $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ являются промежуточными подгруппами.

Это вызывает ограничения для типа ядра передачи. $\varkappa _{2}(G)$ второго слоя, поскольку

$\ker(T_{2,i})=\ker({\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j})\supset \ker(T_{1,j}),$

и таким образом

$\forall i\in \{1,\ldots ,p\}:\qquad \ker(T_{2,i})\supset \ker(T_{1,p+1}).$

Но даже

$\ker(T_{2,p+1})\supset \left\langle \bigcup _{j=1}^{p+1}\ker(T_{1,j})\right\rangle .$

Кроме того, когда $G=\langle x,y\rangle$ с $x^{p}\notin G',y^{p}\in G',$ элемент $xy^{k-1}(1\leq k\leq p)$ порядка $p^{2}$ относительно $G'$, может принадлежать $\ker(T_{2,i})$ только если это $p$эта сила заключена в $\ker(T_{1,j})$, для всех промежуточных подгрупп $U_{i}<H_{j}<G$, и таким образом: $xy^{k-1}\in \ker(T_{2,i})$, наверняка $1\leq i,k\leq p$, обеспечивает первый слой ТКТ синглет $\varkappa _{1}(p+1)=p+1$, но $xy^{k-1}\in \ker(T_{2,p+1})$, для некоторых $1\leq k\leq p$, даже указывает полный мультиплет TKT первого слоя $\varkappa _{1}=((p+1)^{p+1})$, то есть $\varkappa _{1}(j)=p+1$, для всех $1\leq j\leq p+1$.

Рисунок 1: Факторинг через абелианизацию.

Наследование от частного

Общей чертой всех отношений родитель-потомок между конечными p -группами является то, что родительский $\pi (G)$ это частное $G/N$ потомка $G$ подходящей нормальной подгруппой $N.$ Таким образом, эквивалентное определение можно дать, выбрав эпиморфизм $\phi :G\to {\tilde {G}}$ с $\ker(\phi )=N.$ Затем группа ${\tilde {G}}=\phi (G)$ можно рассматривать как родителя потомка $G$.

В следующих разделах эта точка зрения будет рассматриваться, вообще говоря, для произвольных групп, а не только для конечных p -групп.

Проходя через абелианизацию

Предложение. Предполагать $A$ является абелевой группой и $\phi :G\to A$ является гомоморфизмом. Позволять $\omega :G\to G/G'$ обозначим каноническую карту проекции. Тогда существует единственный гомоморфизм ${\tilde {\phi }}:G/G'\to A$ такой, что $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega$ и $\ker({\tilde {\phi }})=\ker(\phi )/G'$ (См. рисунок 1).

Доказательство. Это утверждение является следствием второго следствия статьи об индуцированном гомоморфизме . Тем не менее, мы даем независимое доказательство для данной ситуации: единственность ${\tilde {\phi }}$ является следствием состояния $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega ,$ что означает для любого $x\in G$ у нас есть:

${\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(\omega (x))=({\tilde {\phi }}\circ \omega )(x)=\phi (x),$

${\tilde {\phi }}$ является гомоморфизмом, пусть $x,y\in G$ быть произвольным, то:

${\begin{aligned}{\tilde {\phi }}\left(xG'\cdot yG'\right)&={\tilde {\phi }}((xy)G')=\phi (xy)=\phi (x)\cdot \phi (y)={\tilde {\phi }}(xG')\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\\phi ([x,y])&=\phi \left(x^{-1}y^{-1}xy\right)=\phi (x^{-1})\phi (y^{-1})\phi (x)\phi (y)=[\phi (x),\phi (y)]=1&&A{\text{ is abelian.}}\end{aligned}}$

Таким образом, коммутантная подгруппа $G'\subset \ker(\phi )$, и это, наконец, показывает, что определение ${\tilde {\phi }}$ не зависит от представителя смежного класса,

${\begin{aligned}xG'=yG'&\Longrightarrow y^{-1}x\in G'\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow 1=\phi (y^{-1}x)={\tilde {\phi }}(y^{-1}xG')={\tilde {\phi }}(yG')^{-1}\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\&\Longrightarrow {\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(yG')\end{aligned}}$

Рисунок 2: Эпиморфизмы и производные факторы.

ТТТ синглеты

Предложение. Предполагать $G,{\tilde {G}},\phi$ такие же, как указано выше, и ${\tilde {H}}=\phi (H)$ это образ подгруппы $H.$ Коммутаторная подгруппа ${\tilde {H}}$ есть образ коммутатора группы $H.$ Поэтому, $\phi$ индуцирует уникальный эпиморфизм ${\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$, и таким образом ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ является частным $H/H'.$ Более того, если $\ker(\phi )\leq H'$, то карта ${\tilde {\phi }}$ является изоморфизмом (см. рисунок 2).

Доказательство. Это утверждение является следствием основной теоремы статьи о индуцированном гомоморфизме . Тем не менее, независимое доказательство дается следующим образом: во-первых, образ коммутанта равен

$\phi (H')=\phi ([H,H])=\phi (\langle [u,v]|u,v\in H\rangle )=\langle [\phi (u),\phi (v)]\mid u,v\in H\rangle =[\phi (H),\phi (H)]=\phi (H)'={\tilde {H}}'.$

Во-вторых, эпиморфизм $\phi$ может быть ограничено эпиморфизмом $\phi |_{H}:H\to {\tilde {H}}$. Согласно предыдущему разделу, составной эпиморфизм $(\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}):H\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ факторы через $H/H'$ посредством однозначно определенного эпиморфизма ${\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ такой, что ${\tilde {\phi }}\circ \omega _{H}=\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}$. Следовательно, мы имеем ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})$. Более того, ядро ${\tilde {\phi }}$ задается явно $\ker({\tilde {\phi }})=(H'\cdot \ker(\phi ))/H'$.

Наконец, если $\ker(\phi )\leq H'$, затем ${\tilde {\phi }}$ является изоморфизмом, поскольку $\ker({\tilde {\phi }})=H'/H'=1$.

Определение. Благодаря результатам настоящего раздела имеет смысл определить частичный порядок на множестве инвариантов абелева типа, полагая ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\preceq H/H'$, когда ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})$, и ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'=H/H'$, когда ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq H/H'$.

Рисунок 3: Эпиморфизмы и переносы Артина.

ТКТ синглет

Предложение. Предполагать $G,{\tilde {G}},\phi$ такие же, как указано выше, и ${\tilde {H}}=\phi (H)$ есть образ подгруппы конечного индекса $n.$ Позволять $T_{G,H}:G\to H/H'$ и $T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ быть Артин переводит. Если $\ker(\phi )\leq H$, то образ левой трансверсали $H$ в $G$ является левой трансверсальной ${\tilde {H}}$ в ${\tilde {G}}$, и $\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).$ Более того, если $\ker(\phi )\leq H'$ затем $\phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})$ (См. рисунок 3).

Доказательство. Позволять $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ быть левой трансверсальной $H$ в $G$. Тогда у нас есть непересекающийся союз:

$G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.$

Рассмотрим образ этого непересекающегося союза, который не обязательно непересекающийся.

$\phi (G)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H),$

и пусть $j,k\in \{1,\ldots ,n\}.$ У нас есть:

${\begin{aligned}\phi (g_{j})\phi (H)=\phi (g_{k})\phi (H)&\Longleftrightarrow \phi (H)=\phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{k})\phi (H)=\phi (g_{j}^{-1}g_{k})\phi (H)\\&\Longleftrightarrow \phi (g_{j}^{-1}g_{k})=\phi (h)&&{\text{for some }}h\in H\\&\Longleftrightarrow \phi (h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k})=1\\&\Longleftrightarrow h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k}\in \ker(\phi )\subset H\\&\Longleftrightarrow g_{j}^{-1}g_{k}\in H\\&\Longleftrightarrow j=k\\\end{aligned}}$

Позволять ${\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ — эпиморфизм из предыдущего предложения. У нас есть:

${\tilde {\phi }}(T_{G,H}(x))={\tilde {\phi }}\left(\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\right)=\prod _{i=1}^{n}\phi \left(g_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}\phi (x)\phi (g_{i})\cdot \phi (H').$

С $\phi (H')=\phi (H)'={\tilde {H}}'$, правая часть равна $T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}(\phi (x))$, если $(\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))$ является левой трансверсальной ${\tilde {H}}$ в ${\tilde {G}}$, что верно, когда $\ker(\phi )\subset H.$ Поэтому, ${\tilde {\phi }}\circ T_{G,H}=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi .$ Следовательно, $\ker(\phi )\subset H$ подразумевает включение

$\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).$

Наконец, если $\ker(\phi )\subset H'$, то по предыдущему предложению ${\tilde {\phi }}$ является изоморфизмом. Используя обратное, мы получаем $T_{G,H}={\tilde {\phi }}^{-1}\circ T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi$, что доказывает

$\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H}).$

Объединив включения, мы имеем:

${\begin{aligned}{\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H})\end{cases}}&\Longrightarrow {\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\\phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\end{cases}}\\[8pt]&\Longrightarrow \phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\end{aligned}}$

Определение. Учитывая результаты настоящего раздела, мы можем определить частичный порядок трансферных ядер, положив $\ker(T_{G,H})\preceq \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})$, когда $\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).$

Мультиплеты ТТТ и ТКТ

Предполагать $G,{\tilde {G}},\phi$ такие же, как указано выше, и это $G/G'$ и ${\tilde {G}}/{\tilde {G}}'$ изоморфны и конечны. Позволять $(H_{i})_{i\in I}$ обозначим семейство всех подгрупп, содержащих $G'$ (что делает его конечным семейством нормальных подгрупп). Для каждого $i\in I$ позволять:

${\begin{aligned}{\tilde {H_{i}}}&:=\phi (H_{i})\\T_{i}&:=T_{G,H_{i}}:G\to H_{i}/H_{i}'\\{\tilde {T_{i}}}&:=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H_{i}}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H_{i}}}/{\tilde {H_{i}}}'\end{aligned}}$

Брать $J$ быть любым непустым подмножеством $I$. Тогда удобно определить $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{j}))_{j\in J}$, называемый (частичным) типом ядра передачи (TKT) $G$ относительно $(H_{j})_{j\in J}$, и $\tau _{H}(G)=(H_{j}/H_{j}')_{j\in J},$ называется (частичным) целевым типом передачи (TTT) $G$ относительно $(H_{j})_{j\in J}$.

В соответствии с правилами для синглетов, установленными в двух предыдущих разделах, эти мультиплеты TTT и TKT подчиняются следующим фундаментальным законам наследования:

Наследственное право I. Если $\ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}$, затем $\tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})\preceq \tau _{H}(G)$, в том смысле, что ${\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'\preceq H_{j}/H_{j}'$, для каждого $j\in J$, и $\varkappa _{H}(G)\preceq \varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})$, в том смысле, что $\ker(T_{j})\preceq \ker({\tilde {T_{j}}})$, для каждого $j\in J$.

Наследственное право II. Если $\ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}'$, затем $\tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})=\tau _{H}(G)$, в том смысле, что ${\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'=H_{j}/H_{j}'$, для каждого $j\in J$, и $\varkappa _{H}(G)=\varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})$, в том смысле, что $\ker(T_{j})=\ker({\tilde {T_{j}}})$, для каждого $j\in J$.

Унаследованные автоморфизмы

Еще одно свойство наследования не касается непосредственно передачи Артина, но может оказаться полезным в приложениях к деревьям-потомкам.

Наследственное право III. Предполагать $G,{\tilde {G}},\phi$ такие же, как указано выше, и $\sigma \in \mathrm {Aut} (G).$ Если $\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )$ то существует единственный эпиморфизм ${\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}$ такой, что $\phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi$. Если $\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi ),$ затем ${\tilde {\sigma }}\in \mathrm {Aut} ({\tilde {G}}).$

Доказательство. Используя изоморфизм ${\tilde {G}}=\phi (G)\simeq G/\ker(\phi )$ мы определяем:

${\begin{cases}{\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}\\{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi )):=\sigma (g)\ker(\phi )\end{cases}}$

Сначала мы покажем, что эта карта четко определена:

${\begin{aligned}g\ker(\phi )=h\ker(\phi )&\Longrightarrow h^{-1}g\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \sigma (\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \ker(\phi )&&\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1})\sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\sigma (h)\ker(\phi )\end{aligned}}$

Тот факт, что ${\tilde {\sigma }}$ является сюръективным, гомоморфизмом и удовлетворяет $\phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi$ легко проверяются.

И если $\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )$, то инъективность ${\tilde {\sigma }}$ является следствием

${\begin{aligned}{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi ))=\ker(\phi )&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma ^{-1}(\sigma (g))\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \ker(\phi )&&\sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g\ker(\phi )=\ker(\phi )\end{aligned}}$

Позволять $\omega :G\to G/G'$ — каноническая проекция, то существует единственный индуцированный автоморфизм ${\bar {\sigma }}\in \mathrm {Aut} (G/G')$ такой, что $\omega \circ \sigma ={\bar {\sigma }}\circ \omega$, то есть,

$\forall g\in G:\qquad {\bar {\sigma }}(gG')={\bar {\sigma }}(\omega (g))=\omega (\sigma (g))=\sigma (g)G',$

Причина инъективности ${\bar {\sigma }}$ это что

$\sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=G'\Rightarrow \sigma (g)\in G'\Rightarrow g=\sigma ^{-1}(\sigma (g))\in G',$

с $G'$ является характерной подгруппой $G$.

Определение. $G$ называется σ −группой , если существует $\sigma \in \mathrm {Aut} (G)$ такой, что индуцированный автоморфизм действует как инверсия на $G/G'$, это для всех

$g\in G:\qquad \sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'\Longleftrightarrow \sigma (g)g\in G'.$

Закон о наследстве III утверждает, что, если $G$ является σ -группой и $\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )$, затем ${\tilde {G}}$ также является σ -группой, причем требуемый автоморфизм равен ${\tilde {\sigma }}$. В этом можно убедиться, применив эпиморфизм $\phi$ к уравнению $\sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'$ что дает

$\forall x=\phi (g)\in \phi (G)={\tilde {G}}:\qquad {\tilde {\sigma }}(x){\tilde {G}}'={\tilde {\sigma }}(\phi (g)){\tilde {G}}'=\phi (\sigma (g))\phi (G')=\phi (g^{-1})\phi (G')=\phi (g)^{-1}{\tilde {G}}'=x^{-1}{\tilde {G}}'.$

Критерии стабилизации

В этом разделе результаты, касающиеся наследования ТТТ и ТКТ от частных из предыдущего раздела, применяются к простейшему случаю, который характеризуется следующим:

Предположение. Родитель $\pi (G)$ группы $G$ это частное $\pi (G)=G/N$ из $G$ по последнему нетривиальному члену $N=\gamma _{c}(G)\triangleleft G$ нижнего центрального ряда $G$, где $c$ обозначает класс нильпотентности $G$. Соответствующий эпиморфизм $\pi$ от $G$ на $\pi (G)=G/\gamma _{c}(G)$ — каноническая проекция, ядро ​​которой определяется выражением $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)$.

Согласно этому предположению,ядра и цели переносов Артина оказываются совместимыми с отношениями родитель-потомок между конечными p -группами.

Критерий совместимости. Позволять $p$ быть простым числом. Предположим, что $G$ является неабелевой конечной p -группой класса нильпотентности $c=\mathrm {cl} (G)\geq 2$. Потом ТТТ и ТКТ $G$ и его родителя $\pi (G)$ сопоставимы что в том смысле, $\tau (\pi (G))\preceq \tau (G)$ и $\varkappa (G)\preceq \varkappa (\pi (G))$.

Простая причина этого факта состоит в том, что для любой подгруппы $G'\leq H\leq G$, у нас есть $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{2}(G)=G'\leq H$, с $c\geq 2$.

В оставшейся части этого раздела исследуемые группы предполагаются конечными метабелевыми p -группами. $G$ с элементарной абелианизацией $G/G'$ ранга $2$, это типа $(p,p)$.

Частичная стабилизация для максимального класса. Метабелева p -группа $G$ одноклассника $\mathrm {cc} (G)=1$ и класса нильпотентности $c=\mathrm {cl} (G)\geq 3$ делится последним $p$ компоненты ТТТ $\tau (G)$ и ТКТ $\varkappa (G)$ со своим родителем $\pi (G)$. Более явно, для нечетных простых чисел $p\geq 3$, у нас есть $\tau (G)_{i}=(p,p)$ и $\varkappa (G)_{i}=0$ для $2\leq i\leq p+1$.

Этот критерий обусловлен тем, что $c\geq 3$ подразумевает $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{3}(G)=H_{i}'$, в последний раз $p$ максимальные подгруппы $H_{2},\ldots ,H_{p+1}$ из $G$.

Состояние $c\geq 3$ действительно необходимо для критерия частичной стабилизации. Для нечетных простых чисел $p\geq 3$, особенный $p$-группа $G=G_{0}^{3}(0,1)$ порядка $p^{3}$ и показатель степени $p^{2}$ имеет класс нильпотентности $c=2$ единственный и последний $p$ компоненты своего ТКТ $\varkappa =(1^{p+1})$ строго меньше соответствующих составляющих ТКТ $\varkappa =(0^{p+1})$ своего родителя $\pi (G)$ что является элементарным абелевым $p$-группа типа $(p,p)$. Для $p=2$, оба особенные $2$-группы кокласса $1$ и класс $c=2$, обычная группа кватернионов $G=G_{0}^{3}(0,1)$ с ТКТ $\varkappa =(123)$ и группа диэдра $G=G_{0}^{3}(0,0)$ с ТКТ $\varkappa =(023)$, имеют строго меньшие два последних компонента своих TKT, чем их общий родительский элемент. $\pi (G)=C_{2}\times C_{2}$ с ТКТ $\varkappa =(000)$.

Тотальная стабилизация для максимального класса и положительного дефекта.

Метабелева p -группа $G$ одноклассника $\mathrm {cc} (G)=1$ и класса нильпотентности $c=m-1=\mathrm {cl} (G)\geq 4$, то есть с индексом нильпотентности $m\geq 5$, делится всем $p+1$ компоненты ТТТ $\tau (G)$ и ТКТ $\varkappa (G)$ со своим родителем $\pi (G)$, если он имеет положительный дефект коммутативности $k=k(G)\geq 1$. Обратите внимание, что $k\geq 1$ подразумевает $p\geq 3$, и у нас есть $\varkappa (G)_{i}=0$ для всех $1\leq i\leq p+1$.

В этом утверждении можно убедиться, заметив, что условия $m\geq 5$ и $k\geq 1$ подразумевать $\ker(\pi )=\gamma _{m-1}(G)\leq \gamma _{m-k}(G)\leq H_{i}'$, для всех $p+1$ максимальные подгруппы $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ из $G$.

Состояние $k\geq 1$ действительно необходимо для полной стабилизации. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть только первую составляющую ТКТ. Для каждого класса нильпотентности $c\geq 4$, существуют (по крайней мере) две группы $G=G_{0}^{c+1}(0,1)$ с ТКТ $\varkappa =(10^{p})$ и $G=G_{0}^{c+1}(1,0)$ с ТКТ $\varkappa =(20^{p})$, оба с дефектом $k=0$, где первая компонента их ТКТ строго меньше первой компоненты ТКТ $\varkappa =(0^{p+1})$ их общего родителя $\pi (G)=G_{0}^{c}(0,0)$.

Частичная стабилизация для немаксимального класса.

Позволять $p=3$ быть исправлено. Метабелианская 3-группа $G$ с абелианизацией $G/G'\simeq (3,3)$, сокласс $\mathrm {cc} (G)\geq 2$ и класс нильпотентности $c=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ разделяет последние два (из четырех) компонентов ТТТ $\tau (G)$ и ТКТ $\varkappa (G)$ со своим родителем $\pi (G)$.

Этот критерий обоснован следующим соображением. Если $c\geq 4$, затем $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{4}(G)\leq H_{i}'$для двух последних максимальных подгрупп $H_{3},H_{4}$ из $G$.

Состояние $c\geq 4$ действительно неизбежна частичная стабилизация, поскольку существует несколько $3$-группы класса $c=3$, например, с идентификаторами SmallGroups $G\in \{\langle 243,3\rangle ,\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}$, такие, что две последние компоненты их ТКТ $\varkappa \in \{(0043),(0122),(2034)\}$ строго меньше двух последних компонентов ТКТ $\varkappa =(0000)$ их общего родителя $\pi (G)=G_{0}^{3}(0,0)$.

Полная стабилизация для немаксимального класса и циклического центра.

Опять же, пусть $p=3$ быть исправлено.Метабелианская 3-группа $G$ с абелианизацией $G/G'\simeq (3,3)$, сокласс $\mathrm {cc} (G)\geq 2$, класс нильпотентности $c=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ и циклический центр $\zeta _{1}(G)$ разделяет все четыре компонента ТТТ $\tau (G)$ и ТКТ $\varkappa (G)$ со своим родителем $\pi (G)$.

Причина в том, что благодаря циклическому центру мы имеем $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)\leq H_{i}'$для всех четырех максимальных подгрупп $H_{1},\ldots ,H_{4}$ из $G$.

Условие циклического центра действительно необходимо для полной стабилизации, поскольку для группы с бициклическим центром возникают две возможности.Или $\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)$ также является бициклическим, откуда $\gamma _{c}(G)$ никогда не содержится в $H_{2}'$,или $\gamma _{c}(G)<\zeta _{1}(G)$ цикличен, но никогда не содержится в $H_{1}'$.

Подводя итог, можно сказать, что последние четыре критерия подтверждают тот факт, что трансферы Артина представляют собой замечательный инструмент для классификации конечных p -групп.

В следующих разделах будет показано, как эти идеи можно применить для наделения деревьев-потомков дополнительной структурой , а также для поиска определенных групп в деревьях-потомках путем поиска шаблонов, определяемых ядрами и целями переносов Артина. Эти стратегии распознавания образов полезны в чистой теории групп и в теории алгебраических чисел .

Рисунок 4: Наделение дерева потомков информацией о передачах Артина.

Структурированные деревья потомков (SDT)

В этом разделе используется терминология деревьев-потомков в теории конечных p -групп.На рисунке 4 дерево-потомок умеренной сложности выбрано в качестве примера, чтобы продемонстрировать, как переносы Артина обеспечивают дополнительную структуру для каждой вершины дерева.Точнее, базовое простое число $p=3$, а выбранное дерево-потомок на самом деле является деревом кокласса, имеющим уникальную бесконечную магистраль, ветви глубины $3$и строгая периодичность длины $2$ установка в филиале ${\mathcal {B}}(7)$.Начальный предпериод состоит из ветвей ${\mathcal {B}}(5)$ и ${\mathcal {B}}(6)$ с исключительной структурой.Филиалы ${\mathcal {B}}(7)$ и ${\mathcal {B}}(8)$ образуют первобытный период такой, что ${\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(7)$, для странного $j\geq 9$, и ${\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(8)$, даже $j\geq 10$.Корень . дерева – метабелиан $3$-группа с идентификатором $R=\langle 243,6\rangle$, то есть группа порядка $|R|=3^{5}=243$ и со счетным номером $6$. Этот корень не является коклассом , поэтому все его потомковое дерево ${\mathcal {T}}(R)$ имеет значительно более высокую сложность, чем кокласс- $2$ поддерево ${\mathcal {T}}^{2}(R)$, первые шесть ветвей которого изображены на схеме рисунка 4. можно Дополнительную структуру рассматривать как своего рода систему координат, в которую встроено дерево. По горизонтальной оси абсцисс указан тип ядра передачи (ТКТ). $\varkappa$, а вертикальная ордината отмечена одним компонентом $\tau (1)$ типа цели передачи (TTT). Вершины дерева рисуются таким образом, что члены периодических бесконечных последовательностей образуют вертикальный столбец, имеющий общий TKT . С другой стороны, метабелевы группы фиксированного порядка, представленные вершинами глубины не более $1$, образуют горизонтальную строку, имеющую общий первый компонент TTT . (Чтобы предотвратить любые неверные интерпретации, мы явно указываем, что первая компонента ТТТ неметабелевых групп или метабелевых групп, представленная вершинами глубины $2$, обычно меньше, чем ожидалось, из-за явлений стабилизации !) ТТТ всех групп в этом дереве представлено большим полным диском, что указывает на бициклический центр типа $(3,3)$, определяется $\tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]$ с изменяющимся первым компонентом $\tau (1)=A(3,c)$, почти гомоциклический абелиан $3$-группа заказа $3^{c}$и исправили дальнейшие компоненты $\tau (2)=(3,3,3){\hat {=}}(1^{3})$ и $\tau (3)=\tau (4)=(9,3){\hat {=}}(21)$, где инварианты абелева типа записываются либо как порядки циклических компонент, либо как их $3$-логарифмы с показателями, обозначающими итерацию. (Последнее обозначение используется на рис. 4.) Поскольку коклассом всех групп в этом дереве является $2$, связь между порядком $3^{n}$ а класс нильпотентности определяется выражением $c=n-2$.

Распознавание образов

Для поиска конкретной группы в дереве-потомке путем поиска шаблонов, определяемых ядрами и целями переносов Артина, часто бывает достаточно уменьшить количество вершин в ветвях плотного дерева с высокой сложностью путем просеивания групп с желаемыми специальными свойствами. , например

• фильтрация $\sigma$-группы,
• исключение набора определенных типов ядра передачи,
• сокращение всех неметабелевых групп (обозначено маленькими контурными квадратиками на рис. 4),
• удаление метабелианских групп с циклическим центром (обозначено маленькими полными дисками на рис. 4),
• отсечение вершин, расстояние которых от основной линии ( глубина ) превышает некоторую нижнюю границу,
• сочетание нескольких различных критериев просеивания.

Результат такой процедуры просеивания называется обрезанным деревом-потомком по отношению к желаемому набору свойств.Однако в любом случае следует избегать исключения основной линии дерева коклассов, поскольку в результате вместо дерева получится несвязное бесконечное множество конечных графов.Например, не рекомендуется удалять все $\sigma$-группы на рисунке 4, а также не исключать все группы с ТКТ. $\varkappa =(0122)$.На рисунке 4 большой прямоугольник с двойным контуром окружает обрезанное дерево классов. ${\mathcal {T}}_{\ast }^{2}(R)$, где многочисленные вершины с TKT $\varkappa =(2122)$ полностью устранены. Это может быть полезно, например, для поиска $\sigma$-группа с ТКТ $\varkappa =(1122)$ и первый компонент $\tau (1)=(43)$ из ТТТ. В этом случае результатом поиска будет даже уникальная группа. Мы расширим эту идею далее в следующем подробном обсуждении важного примера.

Исторический пример

Самый старый пример поиска конечной p -группы по стратегии распознавания образов посредством переносов Артина относится к 1934 году, когда А. Шольц и О. Таусский пытался определить группу Галуа $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)|K)$ Гильберта $3$-класса полевая башня, то есть максимальная неразветвленная про- $3$ расширение $\mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)$, поля комплексных квадратичных чисел $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}}).$ Им действительно удалось найти максимальный метабелианский коэффициент. $Q=G/G''=\mathrm {G} _{3}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{2}(K)|K)$ из $G$, то есть группа Галуа второго Гильберта $3$-поле класса $\mathrm {F} _{3}^{2}(K)$ из $K$.Однако для этого требовалось $78$ лет до тех пор, пока г-н Буш и округ Колумбия Майер в 2012 году не предоставили первое строгое доказательство что (потенциально бесконечное) $3$-башенная группа $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)$ совпадает с конечным $3$-группа $\mathrm {G} _{3}^{3}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{3}(K)|K)$ производной длины $\mathrm {dl} (G)=3$, и, таким образом, $3$-башня $K$ имеет ровно три стадии, останавливаясь на третьей стадии Гильберта. $3$-поле класса $\mathrm {F} _{3}^{3}(K)$ из $K$.

Таблица 1: Возможные факторы P _c 3-башенной группы G группы K скрывать

с	заказ P c	Маленькие группы идентификатор P c	ТКТ $\varkappa$ P c	ТТТ $\tau$ P c	н	м	потомок числа P c
$1$	$9$	$\langle 9,2\rangle$	$(0000)$	$[(1)(1)(1)(1)]$	$3$	$3$	$3/2;3/3;1/1$
$2$	$27$	$\langle 27,3\rangle$	$(0000)$	$[(1^{2})(1^{2})(1^{2})(1^{2})]$	$2$	$4$	$4/1;7/5$
$3$	$243$	$\langle 243,8\rangle$	$(2034)$	$[(21)(21)(21)(21)]$	$1$	$3$	$4/4$
$4$	$729$	$\langle 729,54\rangle$	$(2034)$	$[(21)(2^{2})(21)(21)]$	$2$	$4$	$8/3;6/3$
$5$	$2187$	$\langle 2187,302\rangle$	$(2334)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$3$	$0/0$
$5$	$2187$	$\langle 2187,306\rangle$	$(2434)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$3$	$0/0$
$5$	$2187$	$\langle 2187,303\rangle$	$(2034)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$1$	$4$	$5/2$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;2$	$(2334)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$2$	$0/0$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;6$	$(2434)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$2$	$0/0$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;3$	$(2034)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$1$	$3$	$4/4$
$6$	$6561$	$\langle 2187,303\rangle -\#1;1$	$(2034)$	$[(21)(3^{2})(21)(21)]$	$1$	$4$	$7/3$
$6$	$19683$	$\langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1$	$(2034)$	$[(21)(3^{2})(21)(21)]$	$2$	$4$	$8/3;6/3$

Поиск осуществляется с помощью p алгоритма генерации -групп М. Ф. Ньюмана. и Э.А. О'Брайен. Для инициализации алгоритма необходимо определить два основных инварианта. Во-первых, ранг генератора $d$ p -групп , которые нужно построить. Здесь у нас есть $p=3$ и $d=r_{3}(K)=d(\mathrm {Cl} _{3}(K))$ дается $3$-классовый ранг квадратичного поля $K$. Во-вторых, инварианты абелева типа $3$-классовая группа $\mathrm {Cl} _{3}(K)\simeq (1^{2})$ из $K$. Эти два инварианта указывают корень дерева-потомка, которое будет строиться последовательно. Хотя алгоритм генерации p -группы предназначен для использования определения родитель-потомок посредством центрального ряда нижнего показателя степени - p , его можно подогнать под определение с помощью обычного нижнего центрального ряда. В случае элементарной абелевой p- группы в качестве корня разница не очень велика. Итак, нам придется начать с элементарного абелева $3$-группа второго ранга, имеющая идентификатор SmallGroups $\langle 9,2\rangle$и построить дерево потомков ${\mathcal {T}}(\langle 9,2\rangle )$. Мы делаем это, повторяя алгоритм генерации p -группы, принимая подходящих способных потомков предыдущего корня в качестве следующего корня, всегда выполняя приращение класса нильпотентности на единицу.

Как объяснялось в начале раздела « Распознавание образов» , мы должны сократить дерево потомков по инвариантам TKT и TTT $3$-башенная группа $G$, которые определяются арифметикой поля $K$ как $\varkappa \in \{(2334),(2434)\}$ (ровно две фиксированные точки и без транспозиции) и $\tau =[(21)(32)(21)(21)]$. Далее, любое частное $G$ должно быть $\sigma$-группа, обусловленная теоретико-числовыми требованиями для квадратичного поля $K$.

Корень $\langle 9,2\rangle$ имеет только одного дееспособного потомка $\langle 27,3\rangle$ типа $(1^{2})$. Что касается класса нильпотентности, $\langle 9,2\rangle$ это класс- $1$ частное $G/\gamma _{2}(G)$ из $G$ и $\langle 27,3\rangle$ это класс- $2$ частное $G/\gamma _{3}(G)$ из $G$. Поскольку последний имеет ядерный ранг два, происходит бифуркация ${\mathcal {T}}(\langle 27,3\rangle )={\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,3\rangle )$, где первая компонента ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )$ можно исключить по критерию стабилизации $\varkappa =(\ast 000)$ для ТКТ всего $3$-группы максимального класса.

Из-за свойства наследования ТКТ только один дееспособный потомок $\langle 243,8\rangle$ соответствует классу- $3$ частное $G/\gamma _{4}(G)$ из $G$. Есть только один способный $\sigma$-группа $\langle 729,54\rangle$ среди потомков $\langle 243,8\rangle$. Это класс- $4$ частное $G/\gamma _{5}(G)$ из $G$ и имеет ядерный ранг два.

Это вызывает существенную бифуркацию ${\mathcal {T}}(\langle 729,54\rangle )={\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,54\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,54\rangle )$ в двух поддеревьях, принадлежащих разным графам коклассов ${\mathcal {G}}(3,2)$ и ${\mathcal {G}}(3,3)$. Первый содержит метабелианский коэффициент $Q=G/G''$ из $G$ с двумя возможностями $Q\in \{\langle 2187,302\rangle ,\langle 2187,306\rangle \}$, которые не сбалансированы с рангом отношения $r=3>2=d$ больше, чем ранг генератора. Последняя полностью состоит из неметабелевых групп и дает желаемый результат. $3$-башенная группа $G$ как один из двух Шур $\sigma$- группы $\langle 729,54\rangle -\#2;2$ и $\langle 729,54\rangle -\#2;6$ с $r=2=d$.

Наконец, критерий завершения достигается в годных вершинах. $\langle 2187,303\rangle -\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,2)$ и $\langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,3)$, поскольку ТТТ $\tau =[(21)(3^{2})(21)(21)]>[(21)(32)(21)(21)]$ слишком велик и будет даже увеличиваться дальше, никогда не возвращаясь к $[(21)(32)(21)(21)]$. Полный процесс поиска представлен в таблице 1, где для каждого из возможных последовательных p -факторов $P_{c}=G/\gamma _{c+1}(G)$ принадлежащий $3$-башенная группа $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)$ из $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}})$, класс нильпотентности обозначается $c=\mathrm {cl} (P_{c})$, ядерный ранг по $\nu =\nu (P_{c})$, а p -мультипликатор ранжируется на $\mu =\mu (P_{c})$.

Коммутаторное исчисление

В этом разделе на примере показано, как можно использовать коммутаторное исчисление для явного определения ядер и целей передач Артина. В качестве конкретного примера возьмем метабелиан $3$-группы с бициклическим центром, которые представлены большими полными дисками в качестве вершин, диаграммы дерева коклассов на рисунке 4. Они образуют десять периодических бесконечных последовательностей , четыре, соотв. шесть, для четных, соотв. нечетный, класс нильпотентности $c$, и может быть охарактеризован с помощью параметризованного представления полициклического коммутатора мощности :

1 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где $c\geq 5$ это класс нильпотентности, $3^{n}$ с $n=c+2$ это порядок, и $0\leq w\leq 1,-1\leq z\leq 1$ являются параметрами.

Тип цели передачи (TTT) группы $G=G^{c,n}(z,w)$ зависит только от класса нильпотентности $c$, не зависит от параметров $w,z$, и равномерно определяется выражением $\tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]$. Это явление называется поляризацией , точнее униполяризацией . в первом компоненте.

Тип ядра передачи (ТКТ) группы $G=G^{c,n}(z,w)$ не зависит от класса нильпотентности $c$, но зависит от параметров $w,z$, и определяется c.18, $\varkappa =(0122)$, для $w=z=0$ (основная группа), H.4, $\varkappa =(2122)$, для $w=0,z=\pm 1$ (две дееспособные группы), Е.6, $\varkappa =(1122)$, для $w=1,z=0$ (группа терминалов) и E.14, $\varkappa \in \{(4122),(3122)\}$, для $w=1,z=\pm 1$ (две терминальные группы). Для четного класса нильпотентности выделены две группы типов Н.4 и Е.14, отличающиеся знаком параметра $z$ только изоморфны.

Эти утверждения можно вывести из следующих соображений.

В качестве подготовки полезно составить список некоторых коммутаторных соотношений, начиная с приведенных в изложении: $[a,x]=1$ для $a\in \{s_{c},t_{3}\}$ и $[a,y]=1$ для $a\in \{s_{3},\ldots ,s_{c},t_{3}\}$,который показывает, что бициклический центр имеет вид $\zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle$. С помощью правила правильного произведения $[a,xy]=[a,y]\cdot [a,x]\cdot [[a,x],y]$ и правильное правило власти $[a,y^{2}]=[a,y]^{1+y}$,мы получаем $[s_{2},xy]=s_{3}t_{3}$, $[s_{2},xy^{2}]=s_{3}t_{3}^{2}$, и $[s_{j},xy]=[s_{j},xy^{2}]=[s_{j},x]=s_{j+1}$, для $j\geq 3$.

Максимальные подгруппы $G$ принимаются аналогично тому, как в разделе о вычислительной реализации , а именно

${\begin{aligned}H_{1}&=\langle y,G'\rangle \\H_{2}&=\langle x,G'\rangle \\H_{3}&=\langle xy,G'\rangle \\H_{4}&=\langle xy^{2},G'\rangle \\\end{aligned}}$

Их производные подгруппы имеют решающее значение для поведения переносов Артина. Воспользовавшись общей формулой $H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}$, где $H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle$, и откуда мы это знаем $G'=\langle s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\rangle$ в нынешней ситуации следует, что

${\begin{aligned}H_{1}'&=\left\langle s_{2}^{y-1}\right\rangle =\left\langle t_{3}\right\rangle \\H_{2}'&=\left\langle s_{2}^{x-1},\ldots ,s_{c-1}^{x-1}\right\rangle =\left\langle s_{3},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{3}'&=\left\langle s_{2}^{xy-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{4}'&=\left\langle s_{2}^{xy^{2}-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy^{2}-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3}^{2},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \end{aligned}}$

Обратите внимание, что $H_{1}$ недалеко от абелева, поскольку $H_{1}'=\langle t_{3}\rangle$ содержится в центре $\zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle$.

В качестве первого основного результата мы теперь можем определить инварианты абелева типа полученных частных:

$H_{1}/H_{1}'=\langle y,s_{2},\ldots ,s_{c}\rangle H_{1}'/H_{1}'\simeq A(3,c),$

уникальное частное, которое растет с увеличением класса нильпотентности $c$, с $\mathrm {ord} (y)=\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}$ даже для $c=2m$ и $\mathrm {ord} (y)=3^{m+1},\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}$ для странных $c=2m+1$,

${\begin{aligned}H_{2}/H_{2}'&=\langle x,s_{2},t_{3}\rangle H_{2}'/H_{2}'\simeq (3,3,3)\\H_{3}/H_{3}'&=\langle xy,s_{2},t_{3}\rangle H_{3}'/H_{3}'\simeq (9,3)\\H_{4}/H_{4}'&=\langle xy^{2},s_{2},t_{3}\rangle H_{4}'/H_{4}'\simeq (9,3)\end{aligned}}$

поскольку обычно $\mathrm {ord} (s_{2})=\mathrm {ord} (t_{3})=3$, но $\mathrm {ord} (x)=3$ для $H_{2}$, тогда как $\mathrm {ord} (xy)=\mathrm {ord} (xy^{2})=9$ для $H_{3}$ и $H_{4}$.

Теперь мы подошли к ядрам трансфер-гомоморфизмов Артина. $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$. Достаточно исследовать индуцированные переносы ${\tilde {T}}_{i}:G/G'\to H_{i}/H_{i}'$ и начать с поиска выражений для образов ${\tilde {T}}_{i}(gG')$ элементов $gG'\in G/G'$, что можно выразить в виде

$g\equiv x^{j}y^{\ell }{\pmod {G'}},\qquad j,\ell \in \{-1,0,1\}.$

Во-первых, мы используем внешние передачи максимально :

${\begin{aligned}x\notin H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(xG')=x^{3}H_{1}'=s_{c}^{w}H_{1}'\\y\notin H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(yG')=y^{3}H_{2}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{2}'=1\cdot H_{2}'\\x,y\notin H_{3},H_{4}&\Rightarrow {\begin{cases}{\tilde {T}}_{i}(xG')=x^{3}H_{i}'=s_{c}^{w}H_{i}'=1\cdot H_{i}'\\{\tilde {T}}_{i}(yG')=y^{3}H_{i}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{i}'=s_{3}^{2}H_{i}'\end{cases}}&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}$

Далее мы рассмотрим неизбежные внутренние перемещения , которые более сложны. Для этого воспользуемся полиномиальным тождеством

$X^{2}+X+1=(X-1)^{2}+3(X-1)+3$

чтобы получить:

${\begin{aligned}y\in H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(yG')=y^{1+x+x^{2}}H_{1}'=y^{3+3(x-1)+(x-1)^{2}}H_{1}'=y^{3}\cdot [y,x]^{3}\cdot [[y,x],x]H_{1}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}s_{2}^{3}s_{3}H_{1}'=s_{2}^{3}s_{3}^{3}s_{4}s_{c}^{z}H_{1}'=s_{c}^{z}H_{1}'\\x\in H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(xG')=x^{1+y+y^{2}}H_{2}'=x^{3+3(y-1)+(y-1)^{2}}H_{2}'=x^{3}\cdot [x,y]^{3}\cdot [[x,y],y]H_{2}'=s_{c}^{w}s_{2}^{-3}t_{3}^{-1}H_{2}'=t_{3}^{-1}H_{2}'\end{aligned}}$

Наконец, суммируем результаты: в целом

${\tilde {T}}_{i}(gG')={\tilde {T}}_{i}(xG')^{j}{\tilde {T}}_{i}(yG')^{\ell },$

и в частности,

${\begin{aligned}{\tilde {T}}_{1}(gG')&=s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'\\{\tilde {T}}_{2}(gG')&=t_{3}^{-j}H_{2}'\\{\tilde {T}}_{i}(gG')&=s_{3}^{2\ell }H_{i}'&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}$

Для определения ядер осталось решить уравнения:

${\begin{aligned}s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'=H_{1}'&\Rightarrow {\begin{cases}{\text{arbitrary }}j,\ell {\text{ and }}w=z=0\\\ell =0,{\text{arbitrary }}j{\text{ and }}w=0,z=\pm 1\\j=0,{\text{arbitrary }}\ell {\text{ and }}w=1,z=0\\j=\mp \ell ,w=1,z=\pm 1\end{cases}}\\t_{3}^{-j}H_{2}'=H_{2}'&\Rightarrow j=0{\text{ with arbitrary }}\ell \\s_{3}^{2\ell }H_{i}'=H_{i}'&\Rightarrow \ell =0{\text{ with arbitrary }}j&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}$

Следующие эквивалентности для любого $1\leq i\leq 4$, закончите обоснование утверждений:

• $j,\ell$ оба произвольные $\Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,y,G'\rangle =G\Leftrightarrow \varkappa (i)=0$.
• $j=0$ с произвольным $\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle y,G'\rangle =H_{1}\Leftrightarrow \varkappa (i)=1$,
• $\ell =0$ с произвольным $j\Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,G'\rangle =H_{2}\Leftrightarrow \varkappa (i)=2$,
• $j=\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy,G'\rangle =H_{3}\Leftrightarrow \varkappa (i)=3$,
• $j=-\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy^{-1},G'\rangle =H_{4}\Leftrightarrow \varkappa (i)=4$

Следовательно, последние три компонента ТКТ не зависят от параметров $w,z,$ это означает, что и ТТТ, и ТКТ обнаруживают униполяризацию в первом компоненте.

Систематическая библиотека SDT

Цель этого раздела — представить коллекцию структурированных деревьев коклассов (SCT) конечных p -групп с параметризованными представлениями и кратким изложением инвариантов.Базовое простое число $p$ ограничено небольшими значениями $p\in \{2,3,5\}$.Деревья расположены по возрастанию кокласса. $r\geq 1$ и различные абелианизации внутри каждого кокласса.Чтобы обеспечить управляемость числа потомков, деревья обрезаются путем исключения вершин глубиной больше единицы.Кроме того, мы опускаем деревья, в которых критерии стабилизации обеспечивают общее TKT всех вершин, поскольку мы больше не считаем такие деревья структурированными. инварианты Перечисленные включают

• предпериодный период и продолжительность периода,
• глубина и ширина ветвей,
• униполяризация, ТТТ и ТКТ,
• $\sigma$-группы.

Мы воздерживаемся от обоснования инвариантов, поскольку способ получения инвариантов из представлений был образцово продемонстрирован в разделе, посвященном коммутаторному исчислению.

Рисунок 5: Структурированное дерево потомков 2-групп с коклассом 1.

Кокласс 1

Для каждого простого числа $p\in \{2,3,5\}$, единственное дерево p -групп максимального класса наделено информацией о ТТТ и ТКТ, т.е. ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 4,2\rangle )$ для $p=2,{\mathcal {T}}^{1}(\langle 9,2\rangle )$ для $p=3$, и ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 25,2\rangle )$ для $p=5$. В последнем случае дерево ограничивается метабелианами. $5$-группы.

The $2$-группы кокласса $1$ на рисунке 5 может быть определен следующим параметризованным полициклическим pc-представлением, сильно отличающимся от представления Блэкберна.

2 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{2}=s_{c}^{w},\ y^{2}=s_{c}^{z},\ s_{j}^{2}=s_{j+1}s_{j+2}{\text{ for }}2\leq j\leq c-2,\ s_{c-1}^{2}=s_{c},\\&s_{2}=[y,x],\ s_{j}=[s_{j-1},x]=[s_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где находится класс нильпотентности $c\geq 3$, порядок $2^{n}$ с $n=c+1$, и $w,z$ являются параметрами. Ветви строго периодические с предпериодными $1$ и продолжительность периода $1$и иметь глубину $1$ и ширина $3$.Поляризация происходит для третьего компонента, и ТТТ $\tau =[(1^{2}),(1^{2}),A(2,c)]$, зависит только от $c$ и с циклическим $A(2,c)$. ТКТ зависит от параметров и составляет $\varkappa =(210)$ для вершин двугранной основной линии с $w=z=0$, $\varkappa =(213)$ для терминальных обобщенных групп кватернионов с $w=z=1$, и $\varkappa =(211)$ для терминальных полудиэдральных групп с $w=1,z=0$. Есть два исключения: абелев корень с $\tau =[(1),(1),(1)]$ и $\varkappa =(000)$и обычная группа кватернионов с $\tau =[(2),(2),(2)]$ и $\varkappa =(123)$.

Рисунок 6: Структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 1.

The $3$-группы кокласса $1$ на рисунке 6 можно определить с помощью следующего параметризованного полициклического pc-представления, немного отличающегося от представления Блэкберна.

3 ${\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где находится класс нильпотентности $c\geq 5$, порядок $3^{n}$ с $n=c+1$, и $a,w,z$ являются параметрами. Ветви строго периодические с предпериодными $2$ и продолжительность периода $2$и иметь глубину $1$ и ширина $7$. Поляризация происходит для первого компонента, и ТТТ $\tau =[A(3,c-a),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]$, зависит только от $c$ и $a$. ТКТ зависит от параметров и составляет $\varkappa =(0000)$ для вершин основной линии с $a=w=z=0,\varkappa =(1000)$ для конечных вершин с $a=0,w=1,z=0,\varkappa =(2000)$ для конечных вершин с $a=w=0,z=\pm 1$, и $\varkappa =(0000)$ для конечных вершин с $a=1,w\in \{-1,0,1\},z=0$. Существуют три исключения: абелев корень с $\tau =[(1),(1),(1),(1)]$, дополнительная специальная группа показателя $9$ с $\tau =[(1^{2}),(2),(2),(2)]$ и $\varkappa =(1111)$и Силов $3$-подгруппа альтернирующей группы $A_{9}$ с $\tau =[(1^{3}),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]$. Вершины основной линии и вершины на нечетных ветвях $\sigma$-группы.

Рисунок 7: Структурированное дерево потомков метабелевых 5-групп с коклассом 1.

Метабелиан ​ $5$-группы кокласса $1$ на рисунке 7 можно определить с помощью следующего параметризованного полициклического pc-представления, немного отличающегося от представления Миха.

4 ${\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{5}=s_{c}^{w},\ y^{5}=s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где находится класс нильпотентности $c\geq 3$, порядок $5^{n}$ с $n=c+1$, и $a,w,z$ являются параметрами. (Метабелевы!) ветви строго периодические с предпериодными $3$ и продолжительность периода $4$и иметь глубину $3$ и ширина $67$. (Ветви полного дерева, включая неметабелевы группы, являются лишь виртуально периодическими и имеют ограниченную ширину, но неограниченную глубину!) Поляризация происходит для первого компонента, и TTT имеет вид $\tau =[A(5,c-k),(1^{2})^{5}]$, зависит только от $c$ и дефект коммутативности $k$. ТКТ зависит от параметров и составляет $\varkappa =(0^{6})$ для вершин основной линии с $a=w=z=0,\varkappa =(10^{5})$ для конечных вершин с $a=0,w=1,z=0,\varkappa =(20^{5})$ для конечных вершин с $a=w=0,z\neq 0$, и $\varkappa =(0^{6})$ для вершин с $a\neq 0$. Существуют три исключения: абелев корень с $\tau =[(1)^{6}]$, дополнительная специальная группа показателя $25$ с $\tau =[(1^{2}),(2)^{5}]$ и $\varkappa =(1^{6})$и группа $\langle 15625,631\rangle$ с $\tau =[(1^{5}),(1^{2})^{5}]$. Вершины основной линии и вершины на нечетных ветвях $\sigma$-группы.

Кокласс 2

Абелианизация типа ( p , p )

Три дерева коклассов, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ и ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )$ для $p=3$, наделены информацией, касающейся ТТТ и ТКТ.

Рисунок 8: Первое структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

На дереве ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$, $3$-группы кокласса $2$ с бициклическим центром на рисунке 8 можно определить с помощью следующего параметризованного полициклического pc-представления.

5 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где находится класс нильпотентности $c\geq 5$, порядок $3^{n}$ с $n=c+2$, и $w,z$ являются параметрами.Ветви строго периодические с предпериодными $2$ и продолжительность периода $2$и иметь глубину $3$ и ширина $18$.Поляризация происходит для первого компонента, и ТТТ $\tau =[A(3,c),(1^{3}),(21),(21)]$, зависит только от $c$.ТКТ зависит от параметров и составляет $\varkappa =(0122)$ для вершин основной линии с $w=z=0$, $\varkappa =(2122)$ для способных вершин с $w=0,z=\pm 1$, $\varkappa =(1122)$ для конечных вершин с $w=1,z=0$,и $\varkappa =(3122)$ для конечных вершин с $w=1,z=\pm 1$.Вершины основной линии и вершины на четных ветвях $\sigma$-группы.

Рисунок 9: Второе структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

На дереве ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$, $3$-группы кокласса $2$ с бициклическим центром на рисунке 9 может быть определен следующим параметризованным полициклическим pc-представлением.

6 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,t_{2},s_{3},t_{3},\ldots ,t_{c}\mid {}\\&y^{3}=s_{3}t_{c}^{w},\ x^{3}=t_{3}t_{4}^{2}t_{5}t_{c}^{z},\ t_{j}^{3}=t_{j+2}^{2}t_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ t_{c-2}^{3}=t_{c}^{2},\ s_{3}^{3}=1,\\&t_{2}=[y,x],\ s_{3}=[t_{2},x],\ t_{j}=[t_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где находится класс нильпотентности $c\geq 6$, порядок $3^{n}$ с $n=c+2$, и $w,z$ являются параметрами.Ветви строго периодические с предпериодными $2$ и продолжительность периода $2$и иметь глубину $3$ и ширина $16$.Поляризация происходит для второго компонента, и ТТТ $\tau =[(21),A(3,c),(21),(21)]$, зависит только от $c$.ТКТ зависит от параметров и составляет $\varkappa =(2034)$ для вершин основной линии с $w=z=0$, $\varkappa =(2134)$ для способных вершин с $w=0,z=\pm 1$, $\varkappa =(2234)$ для конечных вершин с $w=1,z=0$,и $\varkappa =(2334)$ для конечных вершин с $w=1,z=\pm 1$.Вершины основной линии и вершины на четных ветвях $\sigma$-группы.

Абелианизация типа ( p ² , п )

${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,3\rangle )$ и ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,4\rangle )$ для $p=2$, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )$ и ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )$ для $p=3$.

Абелианизация типа ( p , p , p )

${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,11\rangle )$ для $p=2$, и ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 81,12\rangle )$ для $p=3$.

Кокласс 3

Абелианизация типа ( p ² , п )

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,13\rangle )$, ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,18\rangle )$ и ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,21\rangle )$ для $p=3$.

Абелианизация типа ( p , p , p )

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )$ и ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,181\rangle )$ для $p=2$, ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,38\rangle )$ и ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,41\rangle )$ для $p=3$.

Рисунок 10: Минимальные дискриминанты для первого ASCT 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Арифметические приложения

В теории алгебраических чисел и теории полей классов структурированные деревья-потомки (SDT) конечных p -групп предоставляют отличный инструмент для

• визуализация расположения различных неабелевых p -групп $G(K)$ связанный с полями алгебраических чисел $K$,
• отображение дополнительной информации о группах $G(K)$ в метках, прикрепленных к соответствующим вершинам, и
• подчеркивая периодичность появления групп $G(K)$ на ветвях деревьев кокласса.

Например, пусть $p$ быть простым числом, и предположим, что $F_{p}^{2}(K)$ обозначает второе гильбертово p поле -класса поля алгебраических чисел $K$, то есть максимальное метабелевое неразветвленное расширение $K$ степени степень $p$. Тогда вторая группа p -класса $G_{p}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)|K)$ из $K$ обычно является неабелевой p -группой производной длины $2$ и зачастую позволяет сделать выводы обо всей - класса полевой башне р $K$, это группа Галуа $G_{p}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)|K)$ максимального неразветвленного про- p- расширения $F_{p}^{\infty }(K)$ из $K$.

Дана последовательность полей алгебраических чисел $K$ с фиксированной подписью $(r_{1},r_{2})$, упорядоченные по абсолютным значениям их дискриминантов $d=d(K)$, подходящее структурированное дерево классов (SCT) ${\mathcal {T}}$, или также конечная спорадическая часть ${\mathcal {G}}_{0}(p,r)$ графа кокласса ${\mathcal {G}}(p,r)$, вершины которого полностью или частично реализованы группами второго p -класса $G_{p}^{2}(K)$ полей $K$ наделен когда дополнительной арифметической структурой, каждая реализованная вершина $V\in {\mathcal {T}}$, соотв. $V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,r)$, сопоставляется с данными, касающимися полей $K$ такой, что $V=G_{p}^{2}(K)$.

Рисунок 11: Минимальные дискриминанты для второго ASCT 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Пример

Чтобы быть конкретнее, позвольте $p=3$ и рассмотрим комплексные квадратичные поля $K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ с фиксированной подписью $(0,1)$ имея $3$-группы классов с инвариантами типов $(3,3)$. См. OEIS A242863 [1] . Их второй $3$-классовые группы $G_{3}^{2}(K)$ были определены DC Mayer для диапазона $-10^{6}<d<0$и, совсем недавно, Н. Бостоном, М. Бушем и Ф. Хаджиром. для расширенного диапазона $-10^{8}<d<0$.

Давайте сначала выберем два структурированных дерева классов (SCT). ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ и ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$, которые уже известны из рисунков 8 и 9, и наделяют эти деревья дополнительной арифметической структурой , окружая реализованную вершину $V$ с кружком и присоединением соседнего подчеркнутого целого числа, выделенного жирным шрифтом. $\min\{|d|\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}$ который дает минимальный абсолютный дискриминант такой, что $V$ реализуется вторым $3$-классовая группа $G_{3}^{2}(K(d))$. Затем мы получаем арифметически структурированные деревья классов (ASCT) на рисунках 10 и 11, которые, в частности, дают представление о фактическом распределении вторых $3$-классовые группы. См. OEIS A242878 [2] .

Таблица 2: Минимальные абсолютные дискриминанты для состояний шести последовательностей скрывать

Состояние $\uparrow ^{n}$	ТКТ Е.14 $\varkappa =(3122)$	ТКТ Е.6 $\varkappa =(1122)$	ТКТ Х.4 $\varkappa =(2122)$	ТКТ Е.9 $\varkappa =(2334)$	ТКТ Е.8 $\varkappa =(2234)$	ТКТ Г.16 $\varkappa =(2134)$
GS $\uparrow ^{0}$	$16627$	$15544$	$21668$	$9748$	$34867$	$17131$
ES1 $\uparrow ^{1}$	$262744$	$268040$	$446788$	$297079$	$370740$	$819743$
ES2 $\uparrow ^{2}$	$4776071$	$1062708$	$3843907$	$1088808$	$4087295$	$2244399$
ES3 $\uparrow ^{3}$	$40059363$	$27629107$	$52505588$	$11091140$	$19027947$	$30224744$
ES4 $\uparrow ^{4}$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	$94880548$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

Что касается периодичности появления вторых $3$-классовые группы $G_{3}^{2}(K(d))$ комплексных квадратичных полей было доказано что только каждая вторая ветвь деревьев на рисунках 10 и 11 может быть заселена этими метабелианами. $3$-группы и что распределение начинается с основного состояния (GS) на ветви ${\mathcal {B}}(6)$ и продолжается с высшими возбужденными состояниями (ВС) на ветвях ${\mathcal {B}}(j)$ даже $j\geq 8$. В основе этого явления периодичности лежат три последовательности с фиксированными ТКТ.

• Е.14 $\varkappa =(3122)$, OEIS A247693 [3] ,
• Е.6 $\varkappa =(1122)$, OEIS A247692 [4] ,
• Н.4 $\varkappa =(2122)$, ОЭИС А247694 [5]

по АСКТ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$, и тремя последовательностями с фиксированными ТКТ

• Е.9 $\varkappa =(2334)$, OEIS A247696 [6] ,
• Е.8 $\varkappa =(2234)$, ОЭИС А247695 [7] ,
• Г.16 $\varkappa =(2134)$,ОЭИС А247697 [8]

по АСКТ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$. До сих пор, основное состояние и три возбужденных состояния известны для каждой из шести последовательностей, а также для ТКТ E.9. $\varkappa =(2334)$ даже четвертое возбужденное состояние уже имело место. Минимальные абсолютные дискриминанты различных состояний каждой из шести периодических последовательностей представлены в таблице 2. Данные для основных состояний (GS) и первых возбужденных состояний (ES1) взяты из DC Mayer, Самая последняя информация о втором, третьем и четвертом возбужденных состояниях (ES2, ES3, ES4) принадлежит Н. Бостону, М. Р. Бушу и Ф. Хаджиру.

Рисунок 12: Частота спорадических 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Таблица 3: Абсолютная и относительная частота четырех спорадических случаев $3$-группы скрывать

$|d|$ <	Общий $\#$	ТКТ Д.10 $\varkappa =(3144)$ $\tau =[(21)(1^{3})(21)(21)]$ $G=\langle 243,5\rangle$	ТКТ Д.5 $\varkappa =(1133)$ $\tau =[(21)(1^{3})(21)(1^{3})]$ $G=\langle 243,7\rangle$	ТКТ Х.4 $\varkappa =(4111)$ $\tau =[(1^{3})(1^{3})(1^{3})(21)]$ $G=\langle 729,45\rangle$	ТКТ Г.19 $\varkappa =(2143)$ $\tau =[(21)(21)(21)(21)]$ $G=\langle 729,57\rangle$
$b=10^{6}$	$2020$	$667\ (33.0\%)$	$269\ (13.3\%)$	$297\ (14.7\%)$	$94\ (4.7\%)$
$b=10^{7}$	$24476$	$7622\ (31.14\%)$	$3625\ (14.81\%)$	$3619\ (14.79\%)$	$1019\ (4.163\%)$
$b=10^{8}$	$276375$	$83353\ (30.159\%)$	$41398\ (14.979\%)$	$40968\ (14.823\%)$	$10426\ (3.7724\%)$

Напротив, давайте во-вторых, выделим спорадическую часть ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ графа кокласса ${\mathcal {G}}(3,2)$ за демонстрацию того, что другим способом присоединения дополнительной арифметической структуры к деревьям-потомкам является отображение счетчика $\#\{|d|<b\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}$ попаданий реализованной вершины $V$ ко второму $3$-классовая группа $G_{3}^{2}(K(d))$ полей с абсолютными дискриминантами ниже заданной верхней границы $b$, например $b=10^{8}$. По общему счетчику $276375$ всех комплексных квадратичных полей с $3$-классовая группа типа $(3,3)$ и дискриминант $-b<d<0$, это дает относительную частоту как аппроксимацию асимптотической плотности популяции на рисунке 12 и в таблице 3. Ровно четыре вершины конечной спорадической части ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ из ${\mathcal {G}}(3,2)$ населены вторыми $3$-классовые группы $G_{3}^{2}(K(d))$:

• $\langle 243,5\rangle$, OEIS A247689 [9] ,
• $\langle 243,7\rangle$, OEIS A247690 [10] ,
• $\langle 729,45\rangle$, OEIS A242873 [11] ,
• $\langle 729,57\rangle$, OEIS A247688 [12] .

Рисунок 13: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Рисунок 14: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 5-групп с коклассом 2 и абелианизацией (5,5).

Рисунок 15: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 7-групп с коклассом 2 и абелианизацией (7,7).

Сравнение различных простых чисел

Теперь позвольте $p\in \{3,5,7\}$ и рассмотрим комплексные квадратичные поля $K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ с фиксированной подписью $(0,1)$ и группы p -класса типа $(p,p)$. Доминирующая часть вторых p -классовых групп этих полей заполняет верхние вершины порядка $p^{5}$ спорадической части ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ графа кокласса ${\mathcal {G}}(p,2)$, принадлежащие к стволу П. Холла семейства изоклинизмов $\Phi _{6}$, или их непосредственные потомки порядка $p^{6}$. Для простых чисел $p>3$, стебель $\Phi _{6}$ состоит из $p+7$ регулярные p -группы и демонстрирует довольно однородное поведение по отношению к ТКТ и ТТТ, но семь $3$-группы в основе $\Phi _{6}$ являются нерегулярными . Подчеркнем, что существуют также несколько ( $3$ для $p=3$ и $4$ для $p>3$) бесконечно способные вершины в основе $\Phi _{6}$ которые частично являются корнями деревьев коклассов. Однако здесь мы сосредоточимся на спорадических вершинах, которые либо изолированы по Шуру, $\sigma$-группы ( $2$ для $p=3$ и $p+1$ для $p>3$) или корни конечных деревьев внутри ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ ( $2$ для каждого $p\geq 3$). Для $p>3$, ТКТ Шура $\sigma$-группы — это перестановка , циклическое разложение которой не содержит транспозиций, тогда как ТКТ корней конечных деревьев представляет собой композицию непересекающихся транспозиций , имеющих четное число ( $0$ или $2$) фиксированных точек.

Мы одариваем лес ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ (конечное объединение деревьев-потомков) с дополнительной арифметической структурой путем присоединения минимального абсолютного дискриминанта $\min\{|d|\mid V=G_{p}^{2}(K(d))\}$ к каждой реализованной вершине $V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,2)$. Результирующий структурированный граф спорадических коклассов показан на рисунке 13 для $p=3$, на рисунке 14 для $p=5$, а на рисунке 15 для $p=7$.