Дерево потомков (теория групп)

В математике, особенно в теории групп , дерево потомков — это иерархическая структура , которая визуализирует отношения родитель-потомок между классами изоморфизма конечных групп простого степенного порядка. $p^{n}$, для фиксированного простого числа $p$ и различные целые показатели $n\geq 0$. Такие группы кратко называются конечными p-группами . Вершины - дерева потомка являются классами изоморфизма конечных p -групп.

Дополнительно к их заказу $p^{n}$, конечные p -группы имеют еще два связанных инварианта, класс нильпотентности $c$ и сокласс $r=n-c$. Оказалось, что деревья-потомки определенного вида, так называемые деревья отсеченных коклассов , бесконечное число вершин которых имеют общий кокласс, $r$, обнаруживают повторяющийся конечный шаблон. Эти два важнейших свойства конечности и периодичности допускают характеристику всех членов дерева конечным числом параметризованных представлений . Следовательно, деревья-потомки играют фундаментальную роль в классификации конечных p -групп. С помощью ядер и мишеней гомоморфизмов переноса Артина деревья-потомки могут быть наделены дополнительной структурой.

Важный вопрос: как дерево-потомок ${\mathcal {T}}(R)$ фактически может быть создан для назначенной стартовой группы, которая принимается за корневую. $R$ дерева. Алгоритм p генерации -группы представляет собой рекурсивный процесс построения дерева-потомка заданной конечной p -группы, играющего роль корня дерева. Этот алгоритм реализован в системах вычислительной алгебры GAP и Magma .

Определения и терминология

По словам М. Ф. Ньюмана, существует несколько различных определений родителя $\pi (G)$ конечной p -группы $G$. Общий принцип состоит в том, чтобы сформировать частное $\pi (G)=G/N$ из $G$ подходящей нормальной подгруппой $N\triangleleft G$ что может быть либо

П

1. центр ​ $N=\zeta _{1}(G)$ из $G$, откуда $\pi (G)=G/\zeta _{1}(G)$ называется центральным фактором $G$, или
2. последний нетривиальный член $N=\gamma _{c}(G)$ нижнего центрального ряда $G$, где $c$ обозначает класс нильпотентности $G$, или
3. последний нетривиальный член $N=P_{c-1}(G)$ нижнего показателя - p центрального ряда $G$, где $c$ обозначает экспоненты p класс $G$, или
4. последний нетривиальный член $N=G^{(d-1)}$ производного ряда ​ $G$, где $d$ обозначает производную длину $G$.

В каждом случае $G$ называется непосредственным потомком $\pi (G)$ а направленное ребро дерева определяется либо формулой $G\to \pi (G)$ в направлении канонической проекции $\pi :G\to \pi (G)$ на частное $\pi (G)=G/N$ или через $\pi (G)\to G$ в противоположном направлении, что более характерно для деревьев-потомков. Первая конвенция принята Ч.Р. Лидхэм-Грин и М.Ф. Ньюманом, М. дю Сотуа и Д. Сигал, Ч.Р. Лидэм-Грин и С. Маккей, и Б. Эйк, Ч.Р. Лидэм-Грин, М.Ф. Ньюман и Э.А. О'Брайен. Последнее определение использует М. Ф. Ньюман, М. Ф. Ньюман и Э. А. О'Брайен, М. дю Сотуа, и Б. Эйк и Ч.Р. Лидэм-Грин.

В дальнейшем направление канонических проекций выбирается для всех ребер. Тогда, в более общем смысле, вершина $R$ является потомком вершины $P$,и $P$ является предком ​ $R$, если либо $R$ равно $P$ или есть путь

$(1)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P$, с $m\geq 1$,

направленных ребер из $R$ к $P$. Вершины, образующие путь, обязательно совпадают с итерированными родителями. $Q_{j}=\pi ^{j}(R)$ из $R$, с $0\leq j\leq m$:

$(2)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P$, с $m\geq 1$,

В наиболее важном частном случае (P2) родителей, определяемых как последние нетривиальные нижние центральные частные, их также можно рассматривать как последовательные частные. $R/\gamma _{c+1-j}(R)$ класса $c-j$ из $R$ когда класс нильпотентности $R$ дается $c\geq m$:

$(3)\qquad R\simeq R/\gamma _{c+1}(R)\to R/\gamma _{c}(R)\to \cdots \to R/\gamma _{c+2-m}(R)\to R/\gamma _{c+1-m}(R)\simeq P$, с $c\geq m\geq 1$.

Обычно дерево-потомок ${\mathcal {T}}(G)$ вершины $G$ является поддеревом всех потомков $G$, начиная с корня $G$. Максимально возможное дерево потомков ${\mathcal {T}}(1)$ тривиальной группы $1$ содержит все конечные p -группы и является в некотором смысле исключительным, поскольку для любого родительского определения (P1–P4) тривиальная группа $1$ имеет бесконечно много абелевых p -групп в качестве своих непосредственных потомков. Родительские определения (P2–P3) имеют то преимущество, что любая нетривиальная конечная p -группа (порядка, делящегося на $p$) имеет лишь конечное число непосредственных потомков.

Pro- p- группы и деревья коклассов

Для правильного понимания деревьев коклассов как частного экземпляра деревьев-потомковНеобходимо суммировать некоторые факты, касающиеся бесконечных топологических про - групп .Члены $\gamma _{j}(S)$, с $j\geq 1$, нижнего центрального ряда про- p -группы $S$являются замкнутыми (и открытыми) подгруппами конечного индекса, поэтому соответствующие факторы $S/\gamma _{j}(S)$ являются конечными p -группами. про- п Группа $S$ говорят, что он принадлежит коклассу $\mathrm {cc} (S)=r$когда предел $r=\lim _{j\to \infty }\,\mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))$ кокласса последовательных частных существует и конечен.Бесконечная про- p- группа $S$ одноклассника $r$ является p -адической предпространственной группой , поскольку у него есть нормальная подгруппа $T$, группа переводов ,который является свободным модулем над кольцом $\mathbb {Z} _{p}$ -адических p целых чисел однозначно определенного ранга $d$, размерность ,такой, что частное $P=S/T$ — конечная p -группа, точечная группа , действующая на $T$ односерийно .Размерность определяется выражением

$(4)\qquad d=(p-1)p^{s}$, с некоторыми $0\leq s<r$.

Центральный результат о конечности для бесконечных про- p- групп кокласса $r$ обеспечивается так называемой теоремой D ,которая является одной из пяти теорем о коклассах, доказанных в 1994 году независимо А. Шалевым. и Ч.Р. Лидхэм-Грин, и предположили еще в 1980 г. Ч.Р. Лидэм-Грин и М.Ф. Ньюман. Теорема D утверждает, что существует только конечное число классов изоморфизма бесконечных про- p- групп кокласса $r$,для любого фиксированного простого числа $p$ и любое фиксированное неотрицательное целое число $r$.Как следствие, если $S$ — бесконечная про- p -группа кокласса $r$, затемсуществует минимальное целое число $i\geq 1$ такие, что следующие три условия выполняются для любого целого числа $j\geq i$.

С

1. $\mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))=r$,
2. $S/\gamma _{j}(S)$ не является нижним центральным фактором какой-либо бесконечной про- p- группы кокласса $r$ который не изоморфен $S$,
3. $\gamma _{j}/\gamma _{j+1}(S)$ является циклическим порядка $p$.

Дерево-потомок ${\mathcal {T}}(R)$, относительно родительского определения (P2),корня $R=S/\gamma _{i}(S)$ с минимальным $i$ называется деревом коклассов ${\mathcal {T}}(S)$ из $S$и его единственный максимальный бесконечный (обратно направленный) путь

$(5)\qquad R=S/\gamma _{i}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+1}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+2}(S)\leftarrow \cdots$

называется основной линией (или стволом ) дерева.

Рисунок 1: Дерево-потомок. Ветви B(2),B(4) имеют глубину 0, а B(5),B(7), соответственно. B(6),B(8) изоморфны как деревья.

Древовидная диаграмма

Дальнейшая терминология, используемая в диаграммах, визуализирующих конечные части деревьев-потомков, поясняется на рисунке 1 с помощью искусственного абстрактного дерева.С левой стороны уровень указывает на базовую структуру дерева-потомка сверху вниз.Для бетонных деревьев, таких как на рисунке 2, соотв. На рисунке 3 и т.д. уровень обычно заменяется шкалой ордеров, возрастающей сверху вниз.Вершина является дееспособной (или расширяемой ), если у нее есть хотя бы один непосредственный потомок, в противном случае она является терминальной (или листовой ).Вершины, имеющие общего родителя, называются братьями и сестрами .

Если дерево-потомок является деревом кокласса ${\mathcal {T}}(R)$ с корнем $R=R_{0}$и с вершинами основной линии $(R_{n})_{n\geq 0}$ маркировка соответствует уровню $n$,то конечное поддерево определяется как разностное множество

$(6)\qquad {\mathcal {B}}(n)={\mathcal {T}}(R_{n})\setminus {\mathcal {T}}(R_{n+1})$

называется n -й ветвью (или веточкой ) дерева или также ветвью ${\mathcal {B}}(R_{n})$ с корнем $R_{n}$, для любого $n\geq 0$.Глубина ветки — это максимальная длина путей, соединяющих ее вершины с корнем.На рисунке 1 показано искусственное абстрактное дерево классов, ветви которого ${\mathcal {B}}(2)$ и ${\mathcal {B}}(4)$ у обоих есть глубина $0$,и филиалы ${\mathcal {B}}(5)\simeq {\mathcal {B}}(7)$ и ${\mathcal {B}}(6)\simeq {\mathcal {B}}(8)$ попарно изоморфны как графы.Если все вершины глубины больше заданного целого числа $k\geq 0$ удаляются из ветки ${\mathcal {B}}(n)$,тогда мы получим глубину- $k$ обрезанная ветка ${\mathcal {B}}_{k}(n)$.Соответственно, глубина $k$ обрезанное дерево кокласса ${\mathcal {T}}_{k}(R)$, соотв. все дерево классов ${\mathcal {T}}(R)$,состоит из бесконечной последовательности обрезанных ветвей $({\mathcal {B}}_{k}(n))_{n\geq 0}$, соотв. филиалы $({\mathcal {B}}(n))_{n\geq 0}$,соединены основной линией, вершины которой $R_{n}$ называются бесконечно дееспособными .

Виртуальная периодичность

Периодичность ветвей деревьев коклассов с обрезкой по глубинебыло доказано аналитическими методами с использованием дзета-функций групп М. Дю Сотуа, и с алгебраическими методами с использованием групп когомологий Б. Эйка и К. Р. Лидхэма-Грина.. Первые методы допускают качественное понимание предельной виртуальной периодичности .последние методы определяют количественную структуру.

Теорема. Для любой бесконечной про -p -группы $S$ одноклассника $r\geq 1$ и размер $d$,и для любой заданной глубины $k\geq 1$,существует эффективная минимальная нижняя граница $f(k)\geq 1$,где периодичность длины $d$ обрезанных ветвей дерева кокласса ${\mathcal {T}}(S)$ наступает,то есть существуют изоморфизмы графов

$(7)\qquad {\mathcal {B}}_{k}(n+d)\simeq {\mathcal {B}}_{k}(n)$ для всех $n\geq f(k)$.

Для доказательства нажмите «Показать» справа.

показывать

Доказательство

The graph isomorphisms of depth-$k$ pruned branches with roots of sufficiently large order $n\geq f(k)$are derived with cohomological methods in Theorem 6, p. 277 and Theorem 9, p. 278 by Eick and Leedham-Greenand the effective lower bound $f(k)$ for the branch root orders is established in Theorem 29, p. 287, of this article.

Эти основные результаты можно выразить наглядно:Когда мы смотрим на дерево коклассов через шорыи игнорировать конечное число предпериодических ветвей вверху,тогда мы увидим повторяющуюся конечную закономерность ( предельную периодичность).Однако если мы возьмем более широкие шорыдопериодический начальный участок может удлиняться ( виртуальная периодичность).

Вершина $P=R_{f(k)}$ называется периодическим корнем сокращенного дерева коклассов для фиксированного значения глубины $k$.См. рисунок 1.

Мультифуркации и графы коклассов

Предположим, что родители конечных p -групп определяются как последние нетривиальные нижние центральные факторы (P2).Для p -группы $G$ одноклассника $\mathrm {cc} (G)=r$,мы можем различить его (все) дерево потомков ${\mathcal {T}}(G)$и его сокласс - $r$ потомок дерева ${\mathcal {T}}^{r}(G)$,это поддерево, состоящее из потомков кокласса $r$ только.Группа $G$ называется установленным в коклассе, если ${\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{r}(G)$,т. е. если нет потомков $G$ с большим соклассом, чем $r$.

Ядерный ранг $\nu (G)$ из $G$в теории p алгоритма генерации -групп М. Ф. Ньюмана и Э.А. О'Брайен предлагает следующие критерии.

Н

1. $G$ является терминальным и, следовательно, тривиально устанавливается в коклассе тогда и только тогда, когда $\nu (G)=0$.
2. Если $\nu (G)=1$, затем $G$ способен, но остается неизвестным, является ли $G$ устанавливается в одном классе.
3. Если $\nu (G)=m\geq 2$, затем $G$ способен и определенно не устроен в одном классе.

В последнем случае возможно более точное утверждение:Если $G$ имеет сокласс $r$ и ядерный ранг $\nu (G)=m\geq 2$, то это приводит к - кратная m мультифуркация в обычное coclass- r потомков дерево ${\mathcal {T}}^{r}(G)$и $m-1$ нерегулярные потомков графы ${\mathcal {T}}^{r+j}(G)$ одноклассника $r+j$,для $1\leq j\leq m-1$.Следовательно, дерево-потомок $G$ это непересекающийся союз

$(8)\qquad {\mathcal {T}}(G)={\dot {\cup }}_{j=0}^{m-1}\,{\mathcal {T}}^{r+j}(G)$.

Мультифуркация коррелирует с разными порядками последней нетривиальной нижней центральной части непосредственных потомков.Поскольку класс нильпотентности увеличивается ровно на единицу, $c=\mathrm {cl} (Q)=\mathrm {cl} (P)+1$,от родителя $P=Q/\gamma _{c}(Q)=\pi (Q)$ любому непосредственному потомку $Q$,кокласс остается стабильным, $r=\mathrm {cc} (Q)=\mathrm {cc} (P)$,если последний нетривиальный нижний центральный циклический порядка $\vert \gamma _{c}(Q)\vert =p$,поскольку тогда показатель порядка также увеличивается ровно на единицу, $\vert Q\vert =p\cdot \vert P\vert$ .В этом случае, $Q$ является прямым непосредственным потомком с направленным ребром $P\leftarrow Q$ шага размера $1$, по-прежнему.Однако кокласс увеличивается на $m-1$, если $\vert \gamma _{c}(Q)\vert =p^{m}$ с $m\geq 2$.Затем $Q$ называется нерегулярным непосредственным потомком с направленным ребром $P\leftarrow Q$ шага размера $m$.

Если условие размера шага $1$ накладывается на все направленные ребра, то максимальное дерево-потомок ${\mathcal {T}}(1)$ тривиальной группы $1$распадается на счетное бесконечное непересекающееся объединение

$(9)\qquad {\mathcal {T}}(1)={\dot {\cup }}_{r=0}^{\infty }\,{\mathcal {G}}(p,r)$

направленных графов коклассов ${\mathcal {G}}(p,r)$,это скорее леса, чем деревья.Точнее, из упомянутых выше теорем о коклассах следует, что

$(10)\qquad {\mathcal {G}}(p,r)=\left({\dot {\cup }}_{i}\,{\mathcal {T}}(S_{i})\right){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,r)$

представляет собой непересекающийся союз конечное число деревьев коклассов ${\mathcal {T}}(S_{i})$ попарно неизоморфных бесконечных про- p групп $S_{i}$ одноклассника $r$ (Теорема Д)и конечный подграф ${\mathcal {G}}_{0}(p,r)$ спорадических групп, лежащих вне любого дерева коклассов.

Идентификаторы

SmallGroups p библиотеки Идентификаторы конечных групп, в частности конечных -групп , заданные в виде

$\langle \ {\text{order}},\ {\text{counting number}}\ \rangle$

в следующих конкретных примерах деревьев-потомков:принадлежат Х.У. Беше, Б. Эйку и Э.А. О'Брайену.. Когда групповые заказы указаны в масштабе слева, как на рисунках 2 и 3,идентификаторы кратко обозначаются

$\langle \ {\text{counting number}}\ \rangle$.

В зависимости от премьеры $p$, существует верхняя граница порядка групп, для которых существует идентификатор SmallGroup,например $512=2^{9}$ для $p=2$, и $6561=3^{8}$ для $p=3$. обозначение с обобщенными идентификаторами, Для групп более крупных порядков используется напоминающее структуру-потомок.Обычный непосредственный потомок, соединенный ребром размера шага. $1$ со своим родителем $P$, обозначается

$P-\#1;{\text{counting number}}$,

и нерегулярный непосредственный потомок, соединенный ребром с размером шага $s\geq 2$ со своим родителем $P$, обозначается

$P-\#s;{\text{counting number}}$.

Реализации p алгоритма генерации -группыв системах вычислительной алгебры GAP и Magma используйте эти обобщенные идентификаторы, восходящие к JA Ascione в 1979 году..

Конкретные примеры деревьев

Во всех примерах базовое родительское определение (P2) соответствует обычному нижнему центральному ряду. случайные различия с родительским определением (P3) в отношении центрального ряда с нижним показателем степени p Отмечены .

Кокласс 0

Граф кокласса

$(11)\qquad {\mathcal {G}}(p,0)={\mathcal {G}}_{0}(p,0)$

конечных p -групп кокласса $0$ не содержит дерева коклассови, таким образом, состоит исключительно из спорадических групп, а именно тривиальная группа $1$ и циклическая группа $C_{p}$ порядка $p$, который является листом(однако это возможно по отношению к центральному ряду с нижним показателем степени p ).Для $p=2$ SmallGroup идентификатор ​ $C_{p}$ является $\langle 2,1\rangle$,для $p=3$ это $\langle 3,1\rangle$.

Рисунок 2: Граф коклассов конечных 2-групп с коклассом 1

Кокласс 1

Граф кокласса

$(12)\qquad {\mathcal {G}}(p,1)={\mathcal {T}}^{1}(R){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,1)$

конечных p -групп кокласса $1$, также называемый максимальным классом ,состоит из уникального дерева коклассов ${\mathcal {T}}^{1}(R)$ с корнем $R=C_{p}\times C_{p}$,элементарная абелева p -группа ранга $2$,и одна изолированная вершина (терминальный сирота без надлежащего родителя в том же графе коклассов,поскольку направленное ребро тривиальной группы $1$ имеет размер шага $2$),циклическая группа $C_{p^{2}}$ порядка $p^{2}$ в спорадической части ${\mathcal {G}}_{0}(p,1)$(однако эта группа дееспособна по отношению к центральному ряду с нижним показателем - p ).Дерево ${\mathcal {T}}^{1}(R)={\mathcal {T}}^{1}(S_{1})$ это дерево коклассовединственной бесконечной про- p- группы $S_{1}$ одноклассника $1$.

Для $p=2$, соотв. $p=3$,идентификатор SmallGroup корня $R$ является $\langle 4,2\rangle$, соотв. $\langle 9,2\rangle$,и древовидная диаграмма графа кокласса из ветки ${\mathcal {B}}(2)$ до ветки ${\mathcal {B}}(7)$(считается относительно p -логарифма порядка корня ветви)изображено на рис. 2, соотв. Рисунок 3,где все группы порядка не менее $p^{3}$ являются метабелевыми , то есть неабелевыми с производной длиной $2$(вершины представлены черными дисками в отличие от контурных квадратов, обозначающих абелевы группы).На рисунке 3 черные диски меньшего размера обозначают метабелевы 3-группы, в которых даже максимальные подгруппы неабелевы.особенность, которой нет у метабелевых 2-групп на рисунке 2,поскольку все они обладают абелевой подгруппой индекса $p$ (обычно ровно один).Дерево коклассов ${\mathcal {G}}(2,1)$, соотв. ${\mathcal {G}}(3,1)$,имеет периодический корень $\langle 8,3\rangle$ и периодичность длины $1$ начиная с филиала ${\mathcal {B}}(3)$,соотв. периодический корень $\langle 81,9\rangle$ и периодичность длины $2$ установка в филиале ${\mathcal {B}}(4)$.Оба дерева имеют ветви ограниченной глубины. $1$, поэтому их виртуальная периодичность на самом деле является строгой периодичностью .

Однако дерево коклассов ${\mathcal {G}}(p,1)$ с $p\geq 5$ имеет неограниченную глубину и содержит неметабелевы группы,и дерево коклассов ${\mathcal {G}}(p,1)$ с $p\geq 7$ имеет даже неограниченную ширину ,то есть число потомков фиксированного порядка неограниченно увеличивается с ростом порядка..

С помощью ядер и мишеней переносов Артина диаграммы на рисунках 2 и 3 могут быть наделены дополнительной информацией.и перерисованы как структурированные деревья-потомки .

Конкретные примеры ${\mathcal {G}}(2,1)$ и ${\mathcal {G}}(3,1)$ графов коклассовпредоставить возможность дать параметризованное полициклического коммутатора мощности представление для полного дерева коклассов ${\mathcal {T}}^{1}(R)\subset {\mathcal {G}}(p,1)$, $p\in \lbrace 2,3\rbrace$,упоминается в ведущем разделе как преимущество концепции дерева потомков и как следствие периодичности всего дерева коклассов.В обоих случаях группа $G\in {\mathcal {T}}^{1}(R)$ генерируется двумя элементами $x,y$но в презентации присутствует ряд высших коммутаторов $s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack$, $3\leq j\leq n-1=\mathrm {cl} (G)$,начиная с главного коммутатора $s_{2}=\lbrack y,x\rbrack$.Нильпотентность формально выражается соотношением $s_{n}=1$, когда группа упорядочена $\vert G\vert =p^{n}$.

Рисунок 3: Граф коклассов конечных 3-групп с коклассом 1

Для $p=2$, есть два параметра $0\leq w,z\leq 1$ и компьютерная презентация имеет вид

(13) ${\begin{aligned}G^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{2}=s_{n-1}^{w},\ y^{2}=s_{2}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack s_{2},y\rbrack =1,\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}$

2-группы максимального класса, т. е. кокласса $1$, образуют три периодические бесконечные последовательности ,

• группы диэдра , $D(2^{n})=G^{n}(0,0)$, $n\geq 3$, образующая основную линию (с бесконечно возможными вершинами),
• обобщенные группы кватернионов , $Q(2^{n})=G^{n}(0,1)$, $n\geq 3$, которые являются конечными вершинами,
• полудиэдральные группы , $S(2^{n})=G^{n}(1,0)$, $n\geq 4$, которые также являются листьями.

Для $p=3$, есть три параметра $0\leq a\leq 1$ и $-1\leq w,z\leq 1$ и компьютерная презентация имеет вид

(14) ${\begin{aligned}G_{a}^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{3}=s_{n-1}^{w},\ y^{3}=s_{2}^{-3}s_{3}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack y,s_{2}\rbrack =s_{n-1}^{a},\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}$

3-группы с параметром $a=0$ обладают абелевой максимальной подгруппой с параметром $a=1$ не.Точнее, существующая абелева максимальная подгруппа единственна,за исключением двух дополнительных специальных групп $G_{0}^{3}(0,0)$ и $G_{0}^{3}(0,1)$, где все четыре максимальные подгруппы абелевы.

В отличие от любого более крупного кокласса $r\geq 2$,граф кокласса ${\mathcal {G}}(p,1)$ содержит исключительно p -группы $G$ с абелианизацией $G/G^{\prime }$ типа $(p,p)$, за исключением его единственной изолированной вершины $C_{p^{2}}$.Дело $p=2$ отличается истинностью обратного утверждения:Любая 2-группа с абелианизацией типа $(2,2)$ принадлежит к одному классу $1$ (Теорема О. Таусского ).

Рисунок 4: Интерфейс между конечными 3-группами кокласса 1 и 2 типа (3,3)

Кокласс 2

Происхождение графа коклассов ${\mathcal {G}}(p,r)$ с $r\geq 2$ не является однородным. p -группы с несколькими отчетливыми абелианизациями вносят вклад в его формирование.Для одноклассников $r=2$, есть существенные вклады от групп $G$ с абелианизациями $G/G^{\prime }$ типов $(p,p)$, $(p^{2},p)$, $(p,p,p)$и изолированный вклад циклической группы $C_{p^{3}}$ порядка $p^{3}$:

$(15)\qquad {\mathcal {G}}(p,2)={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{2},p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{3})}(p,2)$.

Абелианизация типа ( p , p )

В отличие от p -групп кокласса $2$ с абелианизацией типа $(p^{2},p)$ или $(p,p,p)$,которые возникают как регулярные потомки абелевых p -групп тех же типов, p -группы кокласса $2$ с абелианизацией типа $(p,p)$возникают из нерегулярных потомков неабелевой p -группы кокласса $1$ который не урегулирован в одном классе.

Для премьер-министра $p=2$, таких групп вообще не существует,поскольку 2-группа $\langle 8,3\rangle$ установлен ли кокласс,что является более глубокой причиной теоремы Таусского.Этот замечательный факт заметил Джузеппе Баньера. уже в 1898 году.

Для нечетных простых чисел $p\geq 3$,существование p -групп кокласса $2$ с абелианизацией типа $(p,p)$связано с тем, что группа $G_{0}^{3}(0,0)$ не определяется внутри класса.Его ядерный ранг равен $2$, что приводит к разветвлению дерева-потомка ${\mathcal {T}}(G_{0}^{3}(0,0))$ на два графа коклассов.Обычный компонент ${\mathcal {T}}^{1}(G_{0}^{3}(0,0))$является поддеревом уникального дерева ${\mathcal {T}}^{1}(C_{p}\times C_{p})$ в графе коклассов ${\mathcal {G}}(p,1)$.Нерегулярный компонент ${\mathcal {T}}^{2}(G_{0}^{3}(0,0))$становится подграфом ${\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2)$ графа кокласса ${\mathcal {G}}(p,2)$когда соединительные края размера шага $2$ нерегулярных непосредственных потомков $G_{0}^{3}(0,0)$ удаляются.

Для $p=3$, этот подграф ${\mathcal {G}}$ изображено на рисунке 4,который показывает интерфейс между конечными 3-группами с коклассом $1$ и $2$ типа $(3,3)$. ${\mathcal {G}}$ имеет семь вершин верхнего уровня трех важных видов, все из которых имеют порядок $243=3^{5}$,которые были открыты Г. Баньерой.

• Во-первых, существуют две терминальные σ-группы Шура. $\langle 243,5\rangle$ и $\langle 243,7\rangle$ в спорадической части ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ графа кокласса ${\mathcal {G}}(3,2)$.
• Во-вторых, две группы $G=\langle 243,4\rangle$ и $G=\langle 243,9\rangle$ являются корнями конечных деревьев ${\mathcal {T}}^{2}(G)$ в спорадической части ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$. Однако, поскольку они не распределены по одному классу, полные деревья ${\mathcal {T}}(G)$ бесконечны.
• Наконец, три группы $\langle 243,3\rangle$, $\langle 243,6\rangle$ и $\langle 243,8\rangle$ порождают (бесконечные) деревья коклассов, например, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )$, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$, каждая из которых имеет метабелеву магистраль, в графе кокласса ${\mathcal {G}}(3,2)$. Ни одна из этих трех групп не является одноклассовой.

Отображение дополнительной информации о ядрах и целях переносов Artin,мы можем нарисовать эти деревья как структурированные деревья-потомки .

Определение. Как правило, группа Шура (названная закрытой И. Шуром, автором этой концепции, группой)это про -п группа $G$ чейранг отношения $d_{2}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))$ совпадает с егоранг генератора $d_{1}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))$.σ -группа — это про- p -группа. $G$ которыйобладает автоморфизмом $\sigma \in \mathrm {Aut} (G)$вызывая инверсию $x\mapsto x^{-1}$ о его абелианизации $G/G^{\prime }$. — σ-группа Шура это группа Шура. $G$ которая также является σ-группой и имеет конечную абелианизацию $G/G^{\prime }$.

$\langle 243,3\rangle$ не является корнем дерева коклассов,

поскольку его непосредственный потомок $\langle 729,40\rangle$,который является корнем дерева коклассов с метабелевыми вершинами основной линии,имеет двух братьев и сестер $\langle 729,35\rangle$, соотв. $\langle 729,34\rangle$,которые дают начало одному, соотв. три, дерево(а) коклассов с неметабелевыми вершинами основной линии, имеющими циклические центры порядка $3$и ветви значительной сложности, но, тем не менее, ограниченной глубины. $5$.

Таблица 1: Факторы групп G=G(f,g,h) скрывать

Параметры $(f,g,h)$	Абелианизация $G/G^{\prime }$	Коэффициент класса 2 $G/\gamma _{3}(G)$	Коэффициент класса 3 $G/\gamma _{4}(G)$	Коэффициент класса 4 $G/\gamma _{5}(G)$
$(0,1,0)$	$(3,3)$	$\langle 27,3\rangle$	$\langle 243,3\rangle$	$\langle 729,40\rangle$
$(0,1,2)$	$(3,3)$	$\langle 27,3\rangle$	$\langle 243,6\rangle$	$\langle 729,49\rangle$
$(1,1,2)$	$(3,3)$	$\langle 27,3\rangle$	$\langle 243,8\rangle$	$\langle 729,54\rangle$
$(1,0,0)$	$(9,3)$	$\langle 81,3\rangle$	$\langle 243,15\rangle$	$\langle 729,79\rangle$
$(0,0,1)$	$(9,3)$	$\langle 81,3\rangle$	$\langle 243,17\rangle$	$\langle 729,84\rangle$
$(0,0,0)$	$(3,3,3)$	$\langle 81,12\rangle$	$\langle 243,53\rangle$	$\langle 729,395\rangle$

Про-3 группы кокласса 2 с нетривиальным центром

Б. Эйк, Ч.Р. Лидхэм-Грин, М.Ф. Ньюман и Э.А. О'Брайен построили семейство бесконечных про-3-групп с коклассом $2$ имеющий нетривиальный центр порядка $3$.Члены семьи характеризуются тремя параметрами $(f,g,h)$.Их конечные факторы порождают все вершины магистральной линии с бициклическими центрами типа $(3,3)$ из шести деревьев коклассов в графе коклассов ${\mathcal {G}}(3,2)$.Связь параметров с корнями этих шести деревьев представлена ​​в таблице 1.древовидные диаграммы, за исключением абелианизации $(3,3,3)$, указаны на рисунках 4 и 5, апараметризованное представление pro-3 имеет вид

(16) ${\begin{aligned}G(f,g,h)=&\langle a,t,z\mid \\&a^{3}=z^{f},\ \lbrack t,t^{a}\rbrack =z^{g},\ t^{1+a+a^{2}}=z^{h},\\&z^{3}=1,\ \lbrack z,a\rbrack =1,\ \lbrack z,t\rbrack =1\rangle \end{aligned}}$

Рисунок 5: Конечные 3-группы кокласса 2 типа (9,3).

Абелианизация типа ( p² , p )

Для $p=3$,верхние уровни поддерева ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,2\rangle )$ графа кокласса ${\mathcal {G}}(3,2)$ изображены на рисунке 5.Наиболее важными вершинами этого дерева являются восемь братьев и сестер, имеющих общего родителя. $\langle 81,3\rangle$, которые делятся на три важных вида.

• Во-первых, есть три листа. $\langle 243,20\rangle$, $\langle 243,19\rangle$, $\langle 243,16\rangle$ имеющий циклический центр порядка $9$и один лист $\langle 243,18\rangle$ с бициклическим центром типа $(3,3)$.
• Во-вторых, группа $G=\langle 243,14\rangle$ является корнем конечного дерева ${\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{2}(G)$.
• Наконец, три группы $\langle 243,13\rangle$, $\langle 243,15\rangle$ и $\langle 243,17\rangle$ порождают бесконечные деревья коклассов, например, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 2187,319\rangle )$, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )$, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )$, каждая из которых имеет метабелеву магистраль, первая с циклическими центрами порядка. $3$, второй и третий с бициклическими центрами типа $(3,3)$.

Здесь, $\langle 243,13\rangle$ не является корнем дерева коклассов,поскольку, кроме его потомка $\langle 2187,319\rangle$,который является корнем дерева коклассов с метабелевыми вершинами основной линии,у него есть еще пять потомковкоторые порождают деревья коклассов с неметабелевыми вершинами основной линии, имеющими циклические центры порядка $3$и ветки предельной сложности, причем частично даже с неограниченной глубиной .

Рисунок 6: Конечные 2-группы кокласса 2,3,4 и типа (2,2,2).

Абелианизация типа ( p , p , p )

Для $p=2$, соотв. $p=3$,существует единственное дерево коклассов с p -группами типа $(p,p,p)$ в графе коклассов ${\mathcal {G}}(p,2)$.Ее корнем является элементарная абелева p -группа типа $(p,p,p)$, то есть, $\langle 8,5\rangle$, соотв. $\langle 27,5\rangle$.Это уникальное дерево соответствует группе про-2 семейства. $\#59$ М. Ф. Ньюман и Э. А. О'Брайен, соотв. в группу про-3, заданную параметрами $(f,g,h)=(0,0,0)$ в таблице 1.Для $p=2$, дерево указано на рисунке 6,который показывает некоторые конечные 2-группы с коклассом $2,3,4$ типа $(2,2,2)$.

Кокласс 3

И здесь p -группы с несколькими различными абелианизациями вносят вклад в формирование графа коклассов. ${\mathcal {G}}(p,3)$.Есть регулярные, соотв. нерегулярные, существенные вклады от групп $G$ с абелианизациями $G/G^{\prime }$ типов $(p^{3},p)$, $(p^{2},p^{2})$, $(p^{2},p,p)$, $(p,p,p,p)$, соотв. $(p,p)$, $(p^{2},p)$, $(p,p,p)$и изолированный вклад циклической группы $C_{p^{4}}$ порядка $p^{4}$.

Абелианизация типа ( p , p , p )

Поскольку элементарная абелева p -группа $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ ранга $3$, то есть, $\langle 8,5\rangle$, соотв. $\langle 27,5\rangle$, для $p=2$, соотв. $p=3$,не является колклассовым, оно приводит к мультифуркации.Обычный компонент ${\mathcal {T}}^{2}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})$ было описано в разделе о коклассе $2$.Нерегулярный компонент ${\mathcal {T}}^{3}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})$становится подграфом ${\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,3)$ графа кокласса ${\mathcal {G}}(p,3)$когда соединительные края размера шага $2$ нерегулярных непосредственных потомков $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ удаляются.

Для $p=2$, этот подграф ${\mathcal {G}}$ содержится на рисунке 6.Он имеет девять вершин порядка верхнего уровня. $32=2^{5}$ которые можно разделить на конечные и способные вершины.

• Две группы $\langle 32,32\rangle$ и $\langle 32,33\rangle$ являются листьями.
• Пять групп $\langle 32,27..31\rangle$ и две группы $\langle 32,34..35\rangle$ бесконечно способны.

Деревья, возникающие из способных вершин, связаны с бесконечными группами про-2 М. Ф. Ньюманом и Э. А. О'Брайеном. следующим образом.

$\langle 32,28\rangle$ рождает два дерева,

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,140\rangle )$ связанный с семьей $\#73$,и

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,147\rangle )$ связанный с семьей $\#74$.

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,29\rangle )$ связан с семьей $\#75$.

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,30\rangle )$ связан с семьей $\#76$.

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,31\rangle )$ связан с семьей $\#77$.

$\langle 32,34\rangle$ дает начало

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,174\rangle )$ связанный с семьей $\#78$. Окончательно,

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )$ связан с семьей $\#79$.

Таблица 2: Факторы класса 2 Q некоторых метабелевых 2-групп G типа (2,2,2) скрывать

Маленькие группы идентификатор Q	Холл Старший классификация Q	Множитель Шура ${\mathcal {M}}(Q)$	2-й ранг G' $r_{2}(G^{\prime })$	4-й ранг G' $r_{4}(G^{\prime })$	Максимум $r_{2}(H_{i}/H_{i}^{\prime })$
$\langle 32,32\rangle$	32.040	$(2)$	$2$	$0$	$2$
$\langle 32,33\rangle$	32.041	$(2)$	$2$	$0$	$2$
$\langle 32,29\rangle$	32.037	$(2,2)$	$2$	$1$	$3$
$\langle 32,30\rangle$	32.038	$(2,2)$	$2$	$1$	$3$
$\langle 32,35\rangle$	32.035	$(2,2)$	$2$	$1$	$3$
$\langle 32,28\rangle$	32.036	$(2,2,2)$	$2$	$2$	$3$
$\langle 32,27\rangle$	32.033	$(2,2,2,2)$	$3$	$2$ или $3$	$4$

Классификация Холла-Сеньора на 2 группы

Семь из этих девяти вершин верхнего уровня исследовали Э. Бенджамин, Ф. Леммермейер и К. Снайдер. относительно их появления как частных класса 2 $Q=G/\gamma _{3}(G)$более крупных метабелианских 2-групп $G$ типа $(2,2,2)$ и с соклассом $3$,которые в точности являются членами деревьев-потомков семи вершин.Эти авторы используют классификацию 2-групп М. Холла и Дж. К. Сениора. который выставлен в переписку с библиотекой SmallGroups в таблице 2.Сложность деревьев-потомков этих семи вершин возрастает с увеличением 2-рангов и 4-рангов, указанных в таблице 2.где максимальные подгруппы индекса $2$ в $G$ обозначаются $H_{i}$, для $1\leq i\leq 7$.

История

Деревья-потомки с центральными факторами в качестве родителей (P1) подразумеваются в статье П. Холла 1940 года. об изоклинизме групп.Деревья с последними нетривиальными нижними центральными частными в качестве родителей (P2) были впервые представлены Ч.Р. Лидхэм-Грин.на Международном конгрессе математиков в Ванкувере, 1974 г.. Первые обширные древовидные диаграммы были нарисованы вручную.Дж. А. Асьоне, Г. Хавас и Ч. Р. Лидхэм-Грин (1977), Дж. А. Асьоне (1979), и Б. Небелунга (1989).. В первых двух случаях определение родительского элемента посредством нижнего показателя степени - центрального ряда (P3) было принято ввиду вычислительных преимуществ, во втором случае, когда основное внимание уделялось теоретическим аспектам, родительские элементы были взяты относительно обычного нижний центральный ряд (П2).

См. также

• Ядра и цели переносов Артина недавно оказались совместимыми с отношениями родитель-потомок между конечными p -группами и могут успешно использоваться для придания деревьям-потомкам дополнительной структуры.