Принципализация (алгебра)

В математической области теории алгебраических чисел концепция принципализации относится к ситуации, когда при расширении полей алгебраических чисел некоторый идеал (или, в более общем случае, дробный идеал ) кольца целых чисел меньшего поля не является главным, но его расширение на кольцо целых чисел большего поля. Его исследование берет свое начало в работе Эрнста Куммера об идеальных числах 1840-х годов, который, в частности, доказал, что для каждого поля алгебраических чисел существует такое поле расширенных чисел, что все идеалы кольца целых чисел основного поля (которое всегда может быть порождено не более чем двумя элементами) становятся главными при расширении на большее поле. В 1897 году Дэвид Гильберт выдвинул гипотезу, что таким расширением является максимальное абелевое неразветвленное расширение основного поля, которое позже было названо полем класса Гильберта данного основного поля. Эта гипотеза, ныне известная как теорема о главном идеале , была доказана Филиппом Фуртвенглером в 1930 году после того, как она была переведена с английского языка. от теории чисел к теории групп Эмиля Артина в 1929 году, который использовал свой общий закон взаимности для установления переформулировки. Поскольку это давно желанное доказательство было достигнуто с помощью переносов Артина неабелевых групп с производной длиной два, некоторые исследователи пытались использовать теорию таких групп дальше, чтобы получить дополнительную информацию о принципализации в промежуточных полях между основным полем и его гильбертовым полем. поле класса. Первые вклады в этом направлении были сделаны Арнольдом Шольцем и Ольгой Таусской в ​​1934 году, которые придумали синоним «капитуляция» для слова «княжество». Другой независимый доступ к проблеме принципализации через когомологии Галуа единичных групп также принадлежит Гильберту и восходит к главе о циклических расширениях числовых полей простой степени в его докладе о числах , кульминацией которого является знаменитая теорема 94 .

Продление занятий

Позволять $K$ поле алгебраических чисел, называемое базовым полем , и пусть $L/K$ — расширение поля конечной степени. Позволять ${\mathcal {O}}_{K},{\mathcal {I}}_{K},{\mathcal {P}}_{K}$ и ${\mathcal {O}}_{L},{\mathcal {I}}_{L},{\mathcal {P}}_{L}$ обозначаем кольцо целых чисел, группу ненулевых дробных идеалов и ее подгруппу главных дробных идеалов полей $K,L$ соответственно. Тогда отображение расширения дробных идеалов

$${\begin{cases}\iota _{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}\\{\mathfrak {a}}\mapsto {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\end{cases}}$$

является инъективным групповым гомоморфизмом . С $\iota _{L/K}({\mathcal {P}}_{K})\subseteq {\mathcal {P}}_{L}$это отображение индуцирует гомоморфизм расширений групп идеальных классов

$${\begin{cases}j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}/{\mathcal {P}}_{L}\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}\end{cases}}$$

Если существует неглавный идеал ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{K}$ (т.е. ${\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}\neq {\mathcal {P}}_{K}$), идеал расширения которого в $L$ является главным (т.е. ${\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}$ для некоторых $A\in {\mathcal {O}}_{L}$ и $({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}=(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}={\mathcal {P}}_{L}$), тогда мы говорим о княжестве или капитуляции в $L/K$. В этом случае идеал ${\mathfrak {a}}$ и его класс ${\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}$ говорят, что они руководят или капитулируют в $L$. Это явление удобнее всего описывать ядром принципализации или ядром капитуляции , то есть ядром $\ker(j_{L/K})$ гомоморфизма расширения классов.

В более общем смысле, пусть ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{0}{\mathfrak {m}}_{\infty }$ быть модулем в $K$, где ${\mathfrak {m}}_{0}$ является ненулевым идеалом в ${\mathcal {O}}_{K}$ и ${\mathfrak {m}}_{\infty }$ является формальным произведением попарно различных действительных бесконечных простых чисел $K$. Затем

$${\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}}=\langle \alpha {\mathcal {O}}_{K}|\alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}\rangle \leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}),$$

это луч по модулю ${\mathfrak {m}}$, где ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}})={\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{0})$ — группа ненулевых дробных идеалов в $K$ относительно простой для ${\mathfrak {m}}_{0}$ и состояние $\alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}$ означает $\alpha \equiv 1{\bmod {{\mathfrak {m}}_{0}}}$ и $v(\alpha )>0$ для каждого настоящего бесконечного простого числа $v$ разделяющий ${\mathfrak {m}}_{\infty }.$ Позволять ${\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}}\leq {\mathcal {H}}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}),$ тогда группа ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}})/{\mathcal {H}}$ называется обобщенной идеальной группой классов для ${\mathfrak {m}}.$ Если ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})/{\mathcal {H}}_{K}$ и ${\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})/{\mathcal {H}}_{L}$ являются обобщенными идеальными группами классов такими, что ${\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})$ для каждого ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})$ и ${\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {H}}_{L}$ для каждого ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {H}}_{K}$, затем $\iota _{L/K}$ индуцирует гомоморфизм расширений групп классов обобщенных идеалов:

$${\begin{cases}j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})/{\mathcal {H}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})/{\mathcal {H}}_{L}\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {H}}_{L}\end{cases}}$$

Расширения Галуа числовых полей

Позволять $F/K$ быть расширением Галуа полей алгебраических чисел с группой Галуа $G=\mathrm {Gal} (F/K)$ и пусть $\mathbb {P} _{K},\mathbb {P} _{F}$ обозначим множество простых идеалов полей $K,F$ соответственно. Предположим, что ${\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}$ является главным идеалом $K$ который не делит относительный дискриминант ${\mathfrak {d}}={\mathfrak {d}}(F/K)$, и поэтому неразветвлен в $F$, и пусть ${\mathfrak {P}}\in \mathbb {P} _{F}$ быть главным идеалом $F$ лежащий над ${\mathfrak {p}}$.

Автоморфизм Фробениуса

Существует единственный автоморфизм $\sigma \in G$ такой, что $A^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv \sigma (A){\bmod {\mathfrak {P}}}$ для всех алгебраических целых чисел $A\in {\mathcal {O}}_{F}$, где $\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})$ это норма ​ ${\mathfrak {p}}$. Карта ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]:=\sigma }$ называется Фробениуса автоморфизмом ${\mathfrak {P}}$. Он генерирует группу разложения $D_{\mathfrak {P}}=\{\sigma \in G|\sigma ({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}\}$ из ${\mathfrak {P}}$ и его порядок равен степени инерции $f:=f({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})=[{\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}]$ из ${\mathfrak {P}}$ над ${\mathfrak {p}}$. (Если ${\mathfrak {p}}$ тогда разветвлен ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ только определяется и генерирует $D_{\mathfrak {P}}$ по модулю подгруппы инерции

$$I_{\mathfrak {P}}=\{\sigma \in G|\sigma (A)\equiv A{\bmod {\mathfrak {P}}}{\text{ for all }}A\in {\mathcal {O}}_{F}\}=\ker(D_{\mathfrak {P}}\to \mathrm {Gal} ({\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}))$$

чей порядок является индексом ветвления $e({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})$ из ${\mathfrak {P}}$ над ${\mathfrak {p}}$). Любой другой простой идеал $F$ разделяющий ${\mathfrak {p}}$ имеет форму $\tau ({\mathfrak {P}})$ с некоторыми $\tau \in G$. Его автоморфизм Фробениуса задается формулой

$$\left[{\frac {F/K}{\tau ({\mathfrak {P}})}}\right]=\tau \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1},$$

с

$$\tau (A)^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv (\tau \sigma \tau ^{-1})(\tau (A)){\bmod {\tau ({\mathfrak {P}})}}$$

для всех $A\in {\mathcal {O}}_{F}$, и, следовательно, его группа разложения $D_{\tau ({\mathfrak {P}})}=\tau D_{\mathfrak {P}}\tau ^{-1}$ сопряжено с $D_{\mathfrak {P}}$. В этой общей ситуации символ Артина представляет собой отображение

$${\mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right):=\left.\left\{\tau \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1}\right|\tau \in G\right\}$$

который сопоставляет целый класс сопряженных автоморфизмов любому неразветвленному простому идеалу ${\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {d}}$, и у нас есть ${\textstyle \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)=1}$ тогда и только тогда, когда ${\mathfrak {p}}$ полностью распадается на $F$.

Факторизация простых идеалов

Когда $K\subseteq L\subseteq F$ является промежуточным полем с относительной группой Галуа $H=\mathrm {Gal} (F/L)\leq G$, более точные утверждения о гомоморфизмах $\iota _{L/K}$ и $j_{L/K}$ возможны, потому что мы можем построить факторизацию ${\mathfrak {p}}$ (где ${\mathfrak {p}}$ неразветвлен в $F$ как указано выше) в ${\mathcal {O}}_{L}$ от его факторизации в ${\mathcal {O}}_{F}$ следующее. Главные идеалы в ${\mathcal {O}}_{F}$ лежащий над ${\mathfrak {p}}$ находятся в $G$-эквивариантная биекция с $G$-набор левых смежных классов $G/D_{\mathfrak {P}}$, где $\tau ({\mathfrak {P}})$ соответствует смежному классу $\tau D_{\mathfrak {P}}$. Для каждого простого идеала ${\mathfrak {q}}$ в ${\mathcal {O}}_{L}$ лежащий над ${\mathfrak {p}}$ группа Галуа $H$ действует транзитивно на множестве простых идеалов в ${\mathcal {O}}_{F}$ лежащий над ${\mathfrak {q}}$, поэтому такие идеалы ${\mathfrak {q}}$ находятся в биекции с орбитами действия $H$ на $G/D_{\mathfrak {P}}$ путем левого умножения. Такие орбиты, в свою очередь, находятся в биекции с двойными смежными классами $H\backslash G/D_{\mathfrak {P}}$. Позволять $(\tau _{1},\ldots ,\tau _{g})$ быть полной системой представителей этих двойных классов, таким образом $G={\dot {\cup }}_{i=1}^{g}\,H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}$. Кроме того, пусть $H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}$ обозначим орбиту смежного класса $\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}$ в действии $H$ на множестве левых смежных классов $G/D_{\mathfrak {P}}$ умножением слева и пусть $H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}}$ обозначим орбиту смежного класса $H\tau _{i}$ в действии $D_{\mathfrak {P}}$ на множестве правых смежных классов $H\backslash G$ путем правильного умножения. Затем ${\mathfrak {p}}$ факторизует в ${\mathcal {O}}_{L}$ как ${\textstyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}}$, где ${\mathfrak {q}}_{i}\in \mathbb {P} _{L}$ для $1\leq i\leq g$ являются главные идеалы, лежащие над ${\mathfrak {p}}$ в $L$ удовлетворяющий ${\textstyle {\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {O}}_{F}=\prod _{\varrho }\varrho ({\mathfrak {P}})}$ с продуктом, работающим на любой системе представителей $H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}$.

У нас есть

$$\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\mathfrak {P}}=\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}})\cdot \#H.$$

Позволять $D_{i}$ быть группой разложения $\tau _{i}({\mathfrak {P}})$ над $L$. Затем $D_{i}=H\cap D_{\tau _{i}({\mathfrak {P}})}$ является стабилизатором $\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}$ в действии $H$ на $G/D_{\mathfrak {P}}$, поэтому по теореме о стабилизаторе орбиты мы имеем $\#D_{i}=\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})$. С другой стороны, это $\#D_{i}=f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {q}}_{i})$, что вместе дает

$$f({\mathfrak {q}}_{i}|{\mathfrak {p}})={\frac {f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {p}})}{f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {q}}_{i})}}={\frac {f({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})}{\#D_{i}}}={\frac {\#D_{\mathfrak {P}}}{\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})}}={\frac {\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\mathfrak {P}}}{\#H}}={\frac {\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}{\#H}}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}}).$$

Другими словами, степень инерции $f_{i}:=f({\mathfrak {q}}_{i}|{\mathfrak {p}})$ равен размеру орбиты смежного класса $H\tau _{i}$ в действии ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ на множестве правых смежных классов $H\backslash G$ путем правильного умножения. Если взять инверсию, это будет равно размеру орбиты. $D_{\mathfrak {P}}\cdot \tau _{i}^{-1}H$ из одноклассника $\tau _{i}^{-1}H$ в действии ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ на множестве левых смежных классов $G/H$ путем левого умножения. Также главные идеалы в ${\mathcal {O}}_{L}$ лежащий над ${\mathfrak {p}}$ соответствуют орбитам этого действия.

Следовательно, идеальное вложение имеет вид ${\textstyle \iota _{L/K}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}}$и расширение класса на

$$j_{L/K}({\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}_{K})=({\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {H}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {H}}_{L}.$$

Закон взаимности Артина

Теперь далее предположим $F/K$ является абелевым расширением , т. е. $G$ является абелевой группой. Тогда все сопряженные группы разложения простых идеалов $F$ лежащий над ${\mathfrak {p}}$ совпадают, таким образом $D_{\mathfrak {p}}:=D_{\tau ({\mathfrak {P}})}$ для каждого $\tau \in G$и символ Артина ${\textstyle \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)=\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ становится равным автоморфизму Фробениуса любого ${\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}$ и ${\textstyle A^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)(A){\bmod {\mathfrak {P}}}}$ для всех $A\in {\mathcal {O}}_{F}$ и каждый ${\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}$.

Согласно теории полей классов , абелевое расширение $F/K$ однозначно соответствует промежуточной группе ${\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {f}}}\leq {\mathcal {H}}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})$ между лучами по модулю ${\mathfrak {f}}$ из $K$ и ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})$, где ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}_{0}{\mathfrak {f}}_{\infty }={\mathfrak {f}}(F/K)$ обозначает относительный проводник ( ${\mathfrak {f}}_{0}$ делится на те же простые идеалы, что и ${\mathfrak {d}}$). Символ Артина

$${\begin{cases}\mathbb {P} _{K}({\mathfrak {f}})\to G\\{\mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)\end{cases}}$$

которому соответствует автоморфизм Фробениуса ${\mathfrak {p}}$ каждому простому идеалу ${\mathfrak {p}}$ из $K$ который неразветвлен в $F$, может быть расширен посредством мультипликативности до сюръективного гомоморфизма

$${\begin{cases}{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})\to G\\{\mathfrak {a}}=\prod {\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right):=\prod \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\end{cases}}$$

с ядром ${\mathcal {H}}={\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {f}}}\cdot \mathrm {N} _{F/K}({\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}}))$ (где ${\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}})$ означает ${\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}}_{0}{\mathcal {O}}_{F})$), называемое отображением Артина , которое индуцирует изоморфизм

$${\begin{cases}{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}\to G=\mathrm {Gal} (F/K)\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right)\end{cases}}$$

группы обобщенных идеальных классов ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}$ в группу Галуа $G$. Этот явный изоморфизм называется законом взаимности Артина или общим законом взаимности .

Рисунок 1: Коммутативная диаграмма, соединяющая расширение класса с передачей Артина.

Теоретико-групповая постановка задачи

Этот закон взаимности позволил Артину перевести общую проблему принципализации числовых полей. $K\subseteq L\subseteq F$ на основе следующего сценария от теории чисел к теории групп. Позволять $F/K$ быть расширением Галуа полей алгебраических чисел с группой автоморфизмов $G=\mathrm {Gal} (F/K)$. Предположим, что $K\subseteq L\subseteq F$ является промежуточным полем с относительной группой $H=\mathrm {Gal} (F/L)\leq G$ и пусть $K'/K,L'/L$ — максимальное абелево подрасширение $K,L$ соответственно в пределах $F$. Тогда соответствующие относительные группы являются коммутантами $G'=\mathrm {Gal} (F/K')\leq G$, соотв. $H'=\mathrm {Gal} (F/L')\leq H$. По теории полей классов существуют промежуточные группы ${\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}_{K}}\leq {\mathcal {H}}_{K}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})$ и ${\mathcal {S}}_{L,{\mathfrak {m}}_{L}}\leq {\mathcal {H}}_{L}\leq {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})$ такие, что отображения Артина устанавливают изоморфизмы

$${\begin{aligned}&\left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right):{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to \mathrm {Gal} (K'/K)\simeq G/G'\\&\left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right):{\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{L}\to \mathrm {Gal} (L'/L)\simeq H/H'\end{aligned}}$$

Здесь ${\mathfrak {d}}={\mathfrak {d}}(F/K),{\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})$ означает ${\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}}{\mathcal {O}}_{L})$ и ${\mathfrak {m}}_{K},{\mathfrak {m}}_{L}$ некоторые модули делятся на ${\mathfrak {f}}(K'/K),{\mathfrak {f}}(L'/L)$ соответственно и всеми простыми числами, делящими ${\mathfrak {d}},{\mathfrak {d}}{\mathcal {O}}_{L}$ соответственно.

Гомоморфизм идеального расширения $\iota _{L/K}:\,{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})$, индуцированный перенос Артина ${\tilde {T}}_{G,H}$ и эти отображения Артина связаны формулой

$${\tilde {T}}_{G,H}\circ \left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right)=\left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right)\circ \iota _{L/K}.$$

С ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})$ порождается первичными идеалами $K$ который не делит ${\mathfrak {d}}$, достаточно проверить это равенство на этих генераторах. Следовательно, предположим, что ${\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}$ является главным идеалом $K$ который не делит ${\mathfrak {d}}$ и пусть ${\mathfrak {P}}\in \mathbb {P} _{F}$ быть главным идеалом $F$ лежащий над ${\mathfrak {p}}$. С одной стороны, идеальный гомоморфизм расширения $\iota _{L/K}$ отображает идеал ${\mathfrak {p}}$ базового поля $K$ к идеалу расширения $\iota _{L/K}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}$ в поле $L$и карта Артина ${\textstyle \left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right)}$ поля $L$ отображает это произведение простых идеалов в произведение сопряженных автоморфизмов Фробениуса.

$$\prod _{i=1}^{g}\left({\frac {L'/L}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=\prod _{i=1}^{g}\left[{\frac {F/L}{\tau _{i}({\mathfrak {P}})}}\right]\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/L}{\mathfrak {P}}}\right]\tau _{i}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H',$$

где разложение по двойным классам и его представители, использованные здесь, такие же, как и в предпоследнем разделе. С другой стороны, карта Артина ${\textstyle \left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right)}$ базового поля $K$ отображает идеал ${\mathfrak {p}}$ к автоморфизму Фробениуса ${\textstyle \left({\frac {K'/K}{\mathfrak {p}}}\right)=\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'}$. $g$-кортеж $(\tau _{1}^{-1},\ldots ,\tau _{g}^{-1})$ представляет собой систему представителей двойных смежных классов $D_{\mathfrak {P}}\backslash G/H$, которые соответствуют орбитам действия ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ на множестве левых смежных классов $G/H$ умножением слева и $f_{i}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}})=\#(D_{\mathfrak {P}}\cdot \tau _{i}^{-1}H)$ равен размеру орбиты смежного класса $\tau _{i}^{-1}H$ в этом действии. Следовательно, индуцированные трансферные отображения Артина ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'}$ к продукту

$${\tilde {T}}_{G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'\right)=T_{G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\right)=\prod _{i=1}^{g}(\tau _{i}^{-1})^{-1}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H'.$$

Это выражение произведения было исходной формой гомоморфизма переноса Артина, соответствующего разложению представления перестановки на непересекающиеся циклы .

Поскольку ядра отображений Артина $\left({\tfrac {K'/K}{\cdot }}\right)$ и $\left({\tfrac {L'/L}{\cdot }}\right)$ являются ${\mathcal {H}}_{K}$ и ${\mathcal {H}}_{L}$ соответственно, из предыдущей формулы следует, что $\iota _{L/K}({\mathcal {H}}_{K})\subseteq {\mathcal {H}}_{L}$. Отсюда следует, что существует гомоморфизм расширения классов $j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{L}$ и это $j_{L/K}$ и индуцированный перенос Артина ${\tilde {T}}_{G,H}$ соединены коммутативной диаграммой на рисунке 1 через изоморфизмы, индуцированные отображениями Артина, то есть мы имеем равенство двух композитов ${\tilde {T}}_{G,H}\circ \left({\tfrac {K'/K}{\cdot }}\right)=\left({\tfrac {L'/L}{\cdot }}\right)\circ j_{L/K}$.

Классовая полевая башня

Коммутативная диаграмма из предыдущего раздела, соединяющая теоретико-числовой гомоморфизм расширения классов $j_{L/K}$ с теоретико-групповым переносом Артина $T_{G,H}$, позволило Фуртвенглеру доказать основную теорему об идеале, специализируясь на ситуации, когда $L=F^{1}(K)$ является (первым) полем класса Гильберта $K$, то есть максимальное абелевое неразветвленное расширение $K$, и $F=F^{2}(K)$ является класса Гильберта вторым полем $K$, то есть максимальное метабелевое неразветвленное расширение $K$ (и максимальное абелевое неразветвленное расширение $F^{1}(K)$). Затем $K'=L,L'=F,{\mathfrak {d}}={\mathcal {O}}_{K},{\mathcal {H}}_{K}={\mathcal {P}}_{K},{\mathcal {H}}_{L}={\mathcal {P}}_{L}$ и $H=G'$ является коммутатором группы $G$. Точнее, Фуртвенглер показал, что в целом перенос Артина $T_{G,G'}$ из конечной метабелевой группы $G$ к его производной подгруппе $G'$ является тривиальным гомоморфизмом. На самом деле это верно, даже если $G$ не является метабелевым, потому что мы можем свести к метабелевому случаю, заменив $G$ с $G/G''$. Это справедливо и для бесконечных групп при условии, что $G$ конечно порождена и $[G:G']<\infty$. Отсюда следует, что всякий идеал $K$ простирается до главного идеала $F^{1}(K)$.

Однако коммутативная диаграмма таит в себе потенциал для множества более сложных приложений. В ситуации, что $p$ является простым числом, $F=F_{p}^{2}(K)$ является p-класса вторым гильбертовым полем $K$, то есть максимальное метабелевое неразветвленное расширение $K$ степени степень $p,L$ варьируется в промежуточном поле между $K$ и его первое гильбертова p-класса поле $F_{p}^{1}(K)$, и $H=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/L)\leq G=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/K)$ соответственно варьируется в промежуточных группах между $G$ и $G'$, вычисление всех ядер принципализации $\ker(j_{L/K})$ и все группы p-класса $\mathrm {Cl} _{p}(L)$ переводится в информацию о ядрах $\ker(T_{G,H})$ и цели $H/H'$ трансферов Артина $T_{G,H}$ и позволяет точно определить вторую группу p-класса $G=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/K)$ из $K$ посредством распознавания образов , а зачастую даже позволяет сделать выводы обо всей полевой башне p-класса . $K$, это группа Галуа $\mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)/K)$ максимального неразветвленного про- p- расширения $F_{p}^{\infty }(K)$ из $K$.

Эти идеи четко сформулированы уже в статье 1934 г. А. Шольца и О. Таусского. На этих ранних этапах распознавание образов заключалось в определении идеалов-аннуляторов , или символических порядков , и отношений Шрайера метабелевых p -групп, а затем в использовании теоремы единственности о расширениях групп О. Шрайера. В настоящее время мы используем p алгоритм генерации -групп М. Ф. Ньюмана. и Э.А. О'Брайен для построения деревьев-потомков - групп p и поиска шаблонов, определяемых ядрами и целями артин-трансферов , среди вершин этих деревьев.

Когомологии Галуа

В главе о циклических расширениях числовых полей простой степени своего числового отчета 1897 года Д. Гильберт доказывает ряд важнейших теорем, кульминацией которых является теорема 94, первоначальный зародыш теории полей классов. Сегодня эти теоремы можно рассматривать как начало того, что сейчас называют когомологиями Галуа. Гильберт рассматривает конечное относительное расширение $L/K$ полей алгебраических чисел с циклической группой Галуа $G=\mathrm {Gal} (L/K)=\langle \sigma \rangle$ порожденный автоморфизмом $\sigma$ такой, что $\sigma ^{\ell }=1$ для относительной степени $\ell =[L:K]$, которое считается нечетным простым числом.

Он исследует два эндоморфизма единичной группы. $U=U_{L}$ поля расширения, рассматриваемого как модуль Галуа относительно группы $G$, кратко а $G$-модуль. Первый эндоморфизм

$${\begin{cases}\Delta :U\to U\\E\mapsto E^{\sigma -1}:=\sigma (E)/E\end{cases}}$$

- символическое возведение в степень с разницей $\sigma -1\in \mathbb {Z} [G]$, а второй эндоморфизм

$${\begin{cases}N:U\to U\\E\mapsto E^{T_{G}}:=\prod _{i=0}^{\ell -1}\sigma ^{i}(E)\end{cases}}$$

— отображение алгебраической нормы , то есть символическое возведение в степень со следом

$$T_{G}=\sum _{i=0}^{\ell -1}\sigma ^{i}\in \mathbb {Z} [G].$$

Фактически образ отображения алгебраической нормы содержится в единичной группе $U_{K}$ базового поля и $N(E)=\mathrm {N} _{L/K}(E)$ совпадает с обычной арифметической (полевой) нормой как произведение всех сопряженных. Композиции эндоморфизмов удовлетворяют соотношениям $\Delta \circ N=1$ и $N\circ \Delta =1$.

Две важные группы когомологий можно определить с помощью ядер и образов этих эндоморфизмов. Нулевая когомологий Тейта группа $G$ в $U_{L}$ определяется коэффициентом $H^{0}(G,U_{L}):=\ker(\Delta )/\mathrm {im} (N)=U_{K}/\mathrm {N} _{L/K}(U_{L})$ состоящий из остатков нормированных $U_{K}$и минус первая группа когомологий Тейта $G$ в $U_{L}$ определяется коэффициентом $H^{-1}(G,U_{L}):=\ker(N)/\mathrm {im} (\Delta )=E_{L/K}/U_{L}^{\sigma -1}$ группы $E_{L/K}=\{E\in U_{L}|N(E)=1\}$ относительных единиц ​ $L/K$ по модулю подгруппа символических степеней единиц с формальным показателем $\sigma -1$.

В своей теореме 92 Гильберт доказывает существование относительной единицы $H\in E_{L/K}$ что не может быть выражено как $H=\sigma (E)/E$, для любой единицы $E\in U_{L}$, что означает, что минус первая группа когомологий $H^{-1}(G,U_{L})=E_{L/K}/U_{L}^{\sigma -1}$ нетривиален порядка, делящегося на $\ell$. Однако с помощью совершенно аналогичной конструкции минус первая группа когомологий $H^{-1}(G,L^{\times })=\{A\in L^{\times }|N(A)=1\}/(L^{\times })^{\sigma -1}$ принадлежащий $G$-модуль $L^{\times }=L\setminus \{0\}$, мультипликативная группа суперполя $L$, можно определить, и Гильберт показывает его тривиальность $H^{-1}(G,L^{\times })=1$ в его знаменитой теореме 90 .

В конце концов, Гильберт оказывается в состоянии сформулировать свою знаменитую теорему 94 : Если $L/K$ является циклическим расширением числовых полей нечетной простой степени $\ell$ с тривиальным относительным дискриминантом ${\mathfrak {d}}_{L/K}={\mathcal {O}}_{K}$, что означает, что он неразветвлен в конечных простых числах , то существует неглавный идеал ${\mathfrak {j}}\in {\mathcal {I}}_{K}\setminus {\mathcal {P}}_{K}$ базового поля $K$ который становится главным в поле расширения $L$, то есть ${\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {P}}_{L}$ для некоторых $A\in {\mathcal {O}}_{L}$. Кроме того, $\ell$-я степень этого неглавного идеала является главной в основном поле $K$, в частности ${\mathfrak {j}}^{\ell }=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{K}\in {\mathcal {P}}_{K}$, следовательно, номер класса базового поля должен делиться на $\ell$ и поле расширения $L$ можно назвать класса полем $K$. Доказательство состоит в следующем: теорема 92 утверждает, что существует единица $H\in E_{L/K}\setminus U_{L}^{\sigma -1}$, то теорема 90 обеспечивает существование (заведомо неединичного) $A\in L^{\times }$ такой, что $H=A^{\sigma -1}$, то есть, $A^{\sigma }=A\cdot H$. Умножая $A$ подходящим целым числом, если необходимо, мы можем предположить, что $A$ является целым алгебраическим числом. Неединичный $A$ является генератором неоднозначного главного идеала $L/K$, с $(A{\mathcal {O}}_{L})^{\sigma }=A^{\sigma }{\mathcal {O}}_{L}=A\cdot H{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}$. Однако основной идеал ${\mathfrak {j}}:=(A{\mathcal {O}}_{L})\cap {\mathcal {O}}_{K}$ подполя $K$ не может быть основным. Предположим противное, что ${\mathfrak {j}}=\beta {\mathcal {O}}_{K}$ для некоторых $\beta \in {\mathcal {O}}_{K}$. С $L/K$ неразветвлен, каждый двусмысленный идеал ${\mathfrak {a}}$ из ${\mathcal {O}}_{L}$ это лифт некоего идеала в ${\mathcal {O}}_{K}$, в частности ${\mathfrak {a}}=({\mathfrak {a}}\cap {\mathcal {O}}_{K}){\mathcal {O}}_{L}$. Следовательно $\beta {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}$ и таким образом $A=\beta E$ для какой-то единицы $E\in U_{L}$. Это означало бы противоречие $H=A^{\sigma -1}=(\beta E)^{\sigma -1}=E^{\sigma -1}$ потому что $\beta ^{\sigma -1}=1$. С другой стороны,

$${\mathfrak {j}}^{\ell }{\mathcal {O}}_{L}=({\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L})^{\ell }=\mathrm {N} _{L/K}({\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {O}}_{L}=\mathrm {N} _{L/K}(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {O}}_{L}=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{L},$$

таким образом ${\mathfrak {j}}^{\ell }=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{K}$ является главным в базовом поле $K$ уже.

Теоремы 92 и 94 не выполняются так, как утверждается для $\ell =2$, с полями $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ и $L=K(i)$ являясь контрпримером (в данном конкретном случае $L$ является классов Гильберта узким полем $K$). Причина в том, что Гильберт рассматривает ветвление только в конечных простых числах, но не в бесконечных простых числах (мы говорим, что действительное бесконечное простое число $K$ разветвляется в $L$ если существует невещественное расширение этого простого числа до $L$). Это не имеет значения, когда $[L:K]$ нечетно, поскольку тогда расширение неразветвлено в бесконечных простых числах. Однако он отмечает, что теоремы 92 и 94 верны для $\ell =2$ при условии, что мы далее предположим, что количество полей, сопряженных с $L$ вещественных, в два раза больше числа действительных полей, сопряженных с $K$. Это условие эквивалентно $L/K$ неразветвлен в бесконечных простых числах, поэтому теорема 94 справедлива для всех простых чисел $\ell$ если мы предположим, что $L/K$ везде неразветвлен.

Из теоремы 94 следует простое неравенство $\#\ker(j_{L/K})\geq \ell =[L:K]$ для порядка ядра принципализации расширения $L/K$. Однако точная формула порядка этого ядра может быть получена для циклического неразветвленного (включая бесконечные простые числа) расширения (не обязательно простой степени) с помощью фактора Эрбрана $h(G,U_{L})$ принадлежащий $G$-модуль $U_{L}$, который определяется

$$h(G,U_{L}):=\#H^{-1}(G,U_{L})/\#H^{0}(G,U_{L})=(\ker(N):\mathrm {im} (\Delta ))/(\ker(\Delta ):\mathrm {im} (N))=(E_{L/K}:U_{L}^{\sigma -1})/(U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L})).$$

Можно показать, что $h(G,U_{L})=[L:K]$ (без вычисления порядка какой-либо из групп когомологий). Поскольку расширение $L/K$ неразветвлен, это ${\mathcal {I}}_{L}^{G}={\mathcal {I}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}$ так ${\mathcal {P}}_{L}^{G}={\mathcal {P}}_{L}\cap {\mathcal {I}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}$ . С помощью изоморфизма К. Ивасавы $H^{1}(G,U_{L})\cong {\mathcal {P}}_{L}^{G}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}$, специализирующийся на циклическом расширении с периодическими когомологиями длины $2$, мы получаем

$${\begin{aligned}\#\ker(j_{L/K})&=\#({\mathcal {P}}_{L}\cap {\mathcal {I}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L})=\#({\mathcal {P}}_{L}^{G}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L})=\#H^{1}(G,U_{L})=\#H^{-1}(G,U_{L})\\&=h(G,U_{L})\cdot \#H^{0}(G,U_{L})=[L:K]\cdot \#H^{0}(G,U_{L})=[L:K]\cdot (U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L}))\end{aligned}}$$

Это соотношение увеличивает нижнюю границу на множитель $(U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L}))$, так называемый индекс единичной нормы .

История

Как упоминалось в ведущем разделе, несколько исследователей пытались обобщить теорему Гильберта-Артина-Фуртвенглера о главном идеале 1930 года на вопросы, касающиеся принципализации в промежуточных расширениях между основным полем и его полем классов Гильберта. С одной стороны, они установили общие теоремы о принципизации над произвольными числовыми полями, такие как Ф. Фуртвенглер 1932: О. Таусский 1932 г., О. Таусский 1970 г., и Х. Кисилевский 1970. С другой стороны, они искали конкретные числовые примеры принципализации в неразветвленных циклических расширениях определенных типов базовых полей.

Квадратичные поля

Принципализация $3$-классы мнимых квадратичных полей $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ с $3$-ранг второго класса в неразветвленных циклических кубических расширениях вычислялся вручную для трех дискриминантов. $d\in \{-3299,-4027,-9748\}$ А. Шольц и О. Таусский в 1934 г. Поскольку эти расчеты требуют составления бинарных квадратичных форм и явного знания фундаментальных систем единиц в полях кубических чисел, что было очень трудной задачей в 1934 г., исследования оставались на полвека бездействующими, пока Ф.-П. Хайдер и Б. Шмитальс использовал компьютер CDC Cyber ​​76 в Кельнском университете, чтобы расширить информацию о принципализации до диапазона $-2\cdot 10^{4}<d<10^{5}$ содержащий $27$ соответствующие дискриминанты в 1982 г.,тем самым обеспечив первый анализ пяти действительных квадратичных полей.Два года спустя Дж. Р. Бринк вычислил типы принципализации $66$ комплексные квадратичные поля.В настоящее время наиболее обширные вычисления данных принципала для всех $4596$ квадратичные поля с дискриминантами $-10^{6}<d<10^{7}$ и $3$-классовая группа типа $(3,3)$ принадлежит DC Mayer в 2010 году, который использовал недавно обнаруженную связь между ядрами передачи и целями передачи для разработки нового алгоритма принципализации .

The $2$-принципализации в неразветвленных квадратичных расширениях мнимых квадратичных полей с $2$-классовая группа типа $(2,2)$ был изучен Х. Кисилевским в 1976 г. Аналогичные исследования действительных квадратичных полей были проведены Э. Бенджамином и К. Снайдером в 1995 году.

Кубические поля

The $2$-принципализация в неразветвленных квадратичных расширениях циклических кубических полей с $2$-классовая группа типа $(2,2)$ был исследован А. Дерхемом в 1988 г. Семь лет спустя М. Аяди изучил $3$-принципализация в неразветвленных циклических кубических расширениях циклических кубических полей $K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{f})$, $\zeta _{f}^{f}=1$, с $3$-классовая группа типа $(3,3)$ и дирижер $f$ делится на два или три простых числа.

Секстические поля

В 1992 году М.К. Исмаили расследовал $3$-принципализация в неразветвленных циклических кубических расширениях нормального замыкания чистых кубических полей $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{D}})$, в случае, если это поле секстических чисел $N=K(\zeta _{3})$, $\zeta _{3}^{3}=1$, имеет $3$-классовая группа типа $(3,3)$.

Квартовые поля

В 1993 году А. Азизи изучал $2$-принципализация в неразветвленных квадратичных расширениях биквадратичных полей типа Дирихле $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}},{\sqrt {-1}})$ с $2$-классовая группа типа $(2,2)$. Совсем недавно, в 2014 г., А. Зехнини распространил исследования на поля Дирихле с $2$-классовая группа типа $(2,2,2)$, тем самым предоставив первые примеры $2$-принципализация в двух слоях неразветвленных квадратичных и биквадратичных расширений полей четвертой степени с группами классов $2$- третий ранг.

См. также

И алгебраический, теоретико-групповой доступ к проблеме принципализации Гильберта-Артина-Фуртвенглера, и арифметический, когомологический доступ Гильберта-Эрбрана-Ивасавы также подробно представлены в двух библиях капитуляции Ж.-Ф. Жолент 1988 г. и К. Мияке, 1989.

Вторичные источники

• Касселс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. Збл   0153.07403 .
• Ивасава, Кенкичи (1986). Теория полей локальных классов . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-504030-2 . МР   0863740 . Збл   0604.12014 .
• Януш, Джеральд Дж. (1973). Алгебраические числовые поля . Чистая и прикладная математика. Том. 55. Академическая пресса. п. 142. Збл   0307.12001 .
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук. Том 322. Шпрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей . Основные учения математических наук (на немецком языке). Том 323 (2-е изд.). Издательство Спрингер . ISBN  978-3-540-37888-4 . Збл   1136.11001 .