Метабелианская группа

В математике — метабелева группа это группа которой , коммутатор является абелевой . Эквивалентно, группа G является метабелевой тогда и только тогда, когда существует абелева нормальная подгруппа A такая, что факторгруппа G/A абелева.

Подгруппы метабелевых групп метабелевы, как и образы метабелевых групп над гомоморфизмами групп .

Метабелевы группы разрешимы . Фактически, это в точности разрешимые группы производной длины не более 2.

Примеры

• Любая группа диэдра является метабелевой, поскольку она имеет циклическую нормальную подгруппу индекса 2. В более общем смысле, любая обобщенная группа диэдра является метабелевой, поскольку она имеет абелеву нормальную подгруппу индекса 2.
• Если F — поле , группа аффинных отображений $x\mapsto ax+b$ (где a ≠ 0), действующая на F , метабелева. Здесь абелева нормальная подгруппа — это группа чистых трансляций $x\mapsto x+b$, а абелева факторгруппа изоморфна группе гомотетий $x\mapsto ax$. Если F — конечное поле с q элементами, эта метабелева группа имеет порядок q ( q − 1).
• Группа прямых изометрий евклидовой плоскости является метабелевой. Это похоже на приведенный выше пример, поскольку элементы снова являются аффинными картами. Сдвиги плоскости образуют абелеву нормальную подгруппу группы, а соответствующий фактор — группу окружностей .
• Конечная группа Гейзенберга H _{3, p} порядка p ³ является метабелианским. То же самое верно для любой группы Гейзенберга, определенной над кольцом (группой верхнетреугольных матриц размера 3 × 3 с элементами в коммутативном кольце ).
• Все нильпотентные группы класса 3 и ниже являются метабелианскими.
• Группа фонарщиков метабелианская.
• Все группы порядка p ⁵ метабелевы (для простого числа p ).
• Все группы порядка меньше 24 являются метабелианскими.

В отличие от этого последнего примера, симметрическая группа S ₄ порядка 24 не является метабелевой, поскольку ее коммутантом является неабелева знакопеременная группа A ₄ .

Ссылки

• Робинсон, Дерек Дж.С. (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94461-6

Внешние ссылки

• Райан Виснески , Разрешимые группы (подраздел Метабелевы группы )
• Groupprops, Свойства группы Wiki Метабелианская группа