Теория полей классов

В математике ( теория полей классов CFT ) — фундаментальная ветвь теории алгебраических чисел , цель которой — описать все абелевы расширения Галуа локальных полей с использованием объектов , и глобальных связанных с основным полем.

Гильберт считается одним из пионеров понятия классового поля. Однако это понятие уже было знакомо Кронекеру , и на самом деле именно Вебер придумал этот термин до выхода фундаментальных работ Гильберта. Соответствующие идеи развивались в течение нескольких десятилетий, породив ряд гипотез Гильберта, которые впоследствии были доказаны Такаги и Артином (с помощью теоремы Чеботарева ).

Один из основных результатов таков: для числового поля F и записи K для максимального абелева неразветвленного расширения F группа Галуа K над F канонически изоморфна группе классов идеалов F . Это утверждение было обобщено на так называемый закон взаимности Артина ; на идеальном языке, записывая CF _L для группы классов иделей и F принимая F в качестве любого конечного абелева расширения , этот закон дает канонический изоморфизм

$\theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/F),$

где $N_{L/F}$ обозначает идеальное отображение нормы из L в F . Этот изоморфизм называется отображением взаимности .

Теорема существования утверждает, что отображение взаимности можно использовать для создания взаимно однозначного соответствия между множеством абелевых расширений группы F и множеством замкнутых подгрупп конечного индекса группы F. $C_{F}.$

Стандартным методом разработки глобальной теории полей классов с 1930-х годов было построение локальной теории полей классов , которая описывает абелевы расширения локальных полей, а затем использование ее для построения глобальной теории полей классов. Впервые это сделали Эмиль Артин и Тейт, используя теорию групповых когомологий и, в частности, развивая понятие классовых образований. Позже Нойкирх нашел доказательство основных положений глобальной теории полей классов без использования когомологических идей. Его метод был явным и алгоритмическим.

Внутри теории полей классов можно выделить теория полей специальных классов и общая теория полей классов.

Явная теория полей классов обеспечивает явную конструкцию максимальных абелевых расширений числового поля в различных ситуациях. Эта часть теории состоит из теоремы Кронекера–Вебера , которую можно использовать для построения абелевых расширений $\mathbb {Q}$и теория комплексного умножения для построения абелевых расширений CM-полей .

Существует три основных обобщения теории полей классов: теория полей высших классов, программа Ленглендса (или «соответствия Ленглендса») и анабелева геометрия .

Формулировка на современном языке

На современном математическом языке теорию полей классов (ТКП) можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим максимальное абелево расширение A локального или глобального K. поля Оно имеет бесконечную степень над K ; Группа Галуа G группы A над K является бесконечной проконечной группой , то есть компактной топологической группой , и она абелева. Центральными целями теории полей классов являются: описать G в терминах некоторых подходящих топологических объектов, ассоциированных с K , описать конечные абелевы расширения K в терминах открытых подгрупп конечного индекса в топологическом объекте ассоциированном с K. , В частности, хочется установить взаимно однозначное соответствие между конечными абелевыми расширениями K и их нормальными группами в этом топологическом объекте для K . Этот топологический объект является мультипликативной группой в случае локальных полей с конечным полем вычетов и группой классов иделей в случае глобальных полей. Конечное абелево расширение, соответствующее открытой подгруппе конечного индекса, называется полем классов этой подгруппы, что и дало название теории.

Фундаментальный результат общей теории полей классов гласит, что группа G естественно изоморфна проконечному C пополнению K _, мультипликативной группе локального поля или группе идельных классов глобального поля, относительно естественной топологии на C _K. специфической структурой поля К. связано со Эквивалентно, для любого конечного расширения Галуа L поля K существует изоморфизм ( отображение взаимности Артина )

$\operatorname {Gal} (L/K)^{\operatorname {ab} }\to C_{K}/N_{L/K}(C_{L})$

абелианизации по группы Галуа расширения с факторгруппой классов иделей K образу нормы группы классов иделей L .

Для некоторых небольших полей, например поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ или ее квадратичных мнимых расширений, существует более подробная, очень явная, но слишком специфичная теория, дающая больше информации. Например, абелианизированная абсолютная группа Галуа G группы $\mathbb {Q}$ (естественно изоморфно) бесконечному произведению группы единиц p-адических целых чисел, взятых по всем простым числам p , и соответствующее максимальное абелево расширение рациональных чисел является полем, порожденным всеми корнями из единицы. Это известно как теорема Кронекера-Вебера , первоначально выдвинутая Леопольдом Кронекером . В этом случае изоморфизм взаимности теории полей классов (или отображение взаимности Артина) также допускает явное описание благодаря теореме Кронекера–Вебера. Однако основные конструкции таких более детальных теорий для малых полей алгебраических чисел не распространяются на общий случай полей алгебраических чисел, и в общей теории полей классов используются другие концептуальные принципы.

Стандартный метод построения гомоморфизма взаимности состоит в том, чтобы сначала построить локальный изоморфизм взаимности из мультипликативной группы пополнения глобального поля в группу Галуа его максимального абелева расширения (это делается в рамках локальной теории полей классов), а затем доказать, что произведение всех таких локальных отображений взаимности, определенных на группе иделей глобального поля, тривиально на образе мультипликативной группы глобального поля. Последнее свойство называется глобальным законом взаимности и является далеко идущим обобщением квадратичного закона взаимности Гаусса .

Один из методов построения гомоморфизма взаимности использует формирование классов , которое выводит теорию полей классов из аксиом теории полей классов. Этот вывод является чисто топологическим теоретико-групповым, а для установления аксиом необходимо использовать кольцевую структуру основного поля.

Существуют методы, использующие группы когомологий, в частности группу Брауэра, и методы, которые не используют группы когомологий и являются очень явными и плодотворными для приложений.

История

Основная статья: История теории полей классов

Истоки теории полей классов лежат в квадратичном законе взаимности, доказанном Гауссом. Обобщение происходило как долгосрочный исторический проект, включающий квадратичные формы и их « теорию рода », работы Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера/ Курта Хензеля по идеалам и пополнениям, теорию круговых и куммеровских расширений .

Первые две теории полей классов были очень явными теориями полей классов циклического и комплексного умножения. Они использовали дополнительные структуры: в случае поля рациональных чисел — корни из единицы, в случае мнимых квадратичных расширений поля рациональных чисел — эллиптические кривые с комплексным умножением и их точками конечного порядка. Намного позже теория Шимуры предоставила еще одну очень явную теорию полей классов для класса полей алгебраических чисел. В положительной характеристике $p$Кавада использовали дуальность Витта , и Сатаке чтобы получить очень простое описание $p$-часть гомоморфизма взаимности.

Однако эти очень явные теории нельзя было распространить на более общие числовые поля. Общая теория полей классов использовала различные концепции и конструкции, которые работают в каждом глобальном поле.

Знаменитые проблемы Давида Гильберта стимулировали дальнейшее развитие, которое привело к законам взаимности и доказательствам Тейджи Такаги , Филиппа Фуртвенглера , Эмиля Артина , Гельмута Хассе и многих других. Решающая теорема существования Такаги была известна к 1920 году, а все основные результаты — примерно к 1930 году. Одной из последних классических гипотез, которые нужно было доказать, было свойство принципализации . Первые доказательства теории полей классов использовали содержательные аналитические методы. В 1930-е годы и впоследствии наблюдалось все более широкое использование бесконечных расширений и Вольфганга Крулля теории об их группах Галуа. В сочетании с двойственностью Понтрягина это дало более ясную, хотя и более абстрактную формулировку центрального результата — закона взаимности Артина . Важным шагом стало введение Клодом Шевалле в 1930-е годы иделей для замены идеальных классов, что существенно прояснило и упростило описание абелевых расширений глобальных полей. Большинство основных результатов были доказаны к 1940 году.

Позже результаты были переформулированы в терминах групповых когомологий , которые стали стандартным способом изучения теории полей классов для нескольких поколений теоретиков чисел. Одним из недостатков когомологического метода является его относительная неясность. В результате местного вклада Бернарда Дворка , Джона Тейта , Мишеля Хазевинкеля и локальной и глобальной реинтерпретации Юргена Нойкирха , а также в связи с работой над явными формулами взаимности многих математиков, появилось очень явное и свободное от когомологий представление поля класса. Теория была создана в 1990-х годах. (См., например, «Теорию полей классов» Нойкирха.)

Приложения

Теория полей классов используется для доказательства двойственности Артена-Вердье . Очень явная теория полей классов используется во многих разделах теории алгебраических чисел, таких как теория Ивасавы и теория модулей Галуа.

Большинство основных достижений в области соответствия Ленглендса для числовых полей, гипотезы BSD для числовых полей и теории Ивасавы для числовых полей используют очень явные, но узкие методы теории полей классов или их обобщения. Поэтому остается открытым вопрос об использовании обобщений общей теории полей классов в этих трех направлениях.

Обобщения теории полей классов

Есть три основных обобщения, каждое из которых представляет большой интерес. Это программа Ленглендса , анабелева геометрия и теория поля высшего класса.

Часто соответствие Ленглендса рассматривают как неабелеву теорию полей классов. Если и когда она будет полностью установлена, она будет содержать определенную теорию неабелевых расширений Галуа глобальных полей. Однако соответствие Ленглендса не включает столько арифметической информации о конечных расширениях Галуа, сколько теория полей классов в абелевом случае. Он также не включает аналог теоремы существования в теории полей классов: понятие полей классов отсутствует в переписке Ленглендса. Существует несколько других неабелевых теорий, локальных и глобальных, которые предлагают альтернативы точке зрения соответствия Ленглендса.

Другим обобщением теории полей классов является анабелева геометрия , которая изучает алгоритмы восстановления исходного объекта (например, числового поля или гиперболической кривой над ним) на основе знания его полной абсолютной группы Галуа или алгебраической фундаментальной группы .

Другим естественным обобщением является теория поля более высокого класса, разделенная на теорию поля более высокого локального класса и теорию поля более высокого глобального класса . Он описывает абелевы расширения высших локальных полей и высших глобальных полей. Последние представляют собой функциональные поля схем конечного типа над целыми числами и их соответствующие локализации и пополнения. Он использует алгебраическую K-теорию , а соответствующие K-группы Милнора обобщают $K_{1}$ используется в одномерной теории полей классов.

См. также

• Неабелева теория полей классов
• Анабелева геометрия
• Фробениоид
• Переписка Ленглендса

Ссылки

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (1990), Теория поля классов , Редвуд-Сити, Калифорния: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-51011-9
• Кассельс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl   0153.07403
• Конрад, Кейт, История теории полей классов. (PDF)
• Фесенко Иван Б ; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, том. 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3259-2 , г-н   1915966
• Гра, Жорж (2003). Теория полей классов: от теории к практике . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-44133-5 .
• Ивасава, Кенкичи (1986), Теория поля локальных классов , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-504030-2 , МР   0863740 , Збл   0604.12014
• Кавада, Юкиёси (1955), «Классовые образования», Duke Math. Ж. , 22 (2): 165–177, doi : 10.1215/s0012-7094-55-02217-1 , Збл   0067.01904
• Кавада, Юкиёси; Сатаке, Ичиро (1956), «Классовые образования. II», J.Fac. Научный Университет. Токийская секта. 1А , 7 : 353–389, Збл   0101.02902
• Милн, Джеймс С. (2020), Теория поля классов (изд. 4.03)
• Нойкирх, Юрген (1986), Теория поля классов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-15251-4
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .