Основная идеальная теорема

Эта статья о Hauptidealsatz теории полей классов. Теорему о нётеровых кольцах см. в теореме Крулла о главном идеале .

В математике основная идеальная теорема теории полей классов , раздела теории алгебраических чисел , гласит, что расширение идеалов дает отображение группы классов поля алгебраических чисел в группу классов его поля классов Гильберта , что отправляет все идеальные классы к классу главного идеала. Это явление также называют принципализацией или иногда капитуляцией .

Официальное заявление

Для любого поля алгебраических чисел K и любого идеала I кольца целых чисел , K если L является полем классов Гильберта поля K , то

$IO_{L}\$

— главный идеал αOL кольцо _— , где OL _и целых чисел L некоторый элемент α в нем.

История

Теорема о главном идеале была выдвинута Дэвидом Гильбертом ( 1902 ) и стала последним оставшимся аспектом его программы по полям классов, который должен был быть завершен в 1929 году.

Эмиль Артин ( 1927 , 1929 ) свел теорему о главном идеале к вопросу о конечных абелевых группах: он показал, что она будет следовать, если переход от конечной группы к ее производной подгруппе тривиален. Этот результат доказал Филипп Фуртвенглер (1929).

Ссылки

• Артин, Эмиль (1927), «Доказательство общего закона взаимности», Статьи математического семинара Гамбургского университета , 5 (1): 353–363, doi : 10.1007/BF02952531 , S2CID   123050778
• Артин, Эмиль (1929), «Идеальные классы верхней части тела и общий закон взаимности», Статьи математического семинара Гамбургского университета , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159 , S2CID   121475651
• Фуртвенглер, Филипп (1929). «Доказательство основной теоремы об идеале для полей классов полей алгебраических чисел». Трактаты математического семинара в Гамбургском университете . 7 :14–36. дои : 10.1007/BF02941157 . ЖФМ   55.0699.02 . S2CID   123544263 .
• Гра, Жорж (2003). Теория полей классов. От теории к практике . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-44133-6 . Збл   1019.11032 .
• Гильберт, Дэвид (1902) [1898], «К теории относительных абелевых числовых полей», Acta Mathematica , 26 (1): 99–131, doi : 10.1007/BF02415486
• Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . п. 104. ИСБН  3-540-63003-1 . Збл   0819.11044 .
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 67. Перевод Гринберга, Марвин Джей . Спрингер-Верлаг . стр. 120–122. ISBN  0-387-90424-7 . Збл   0423.12016 .