Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

В математике гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера (часто называемая гипотезой Берча-Свиннертона-Дайера ) описывает множество рациональных решений уравнений, определяющих эллиптическую кривую . Это открытая проблема в области теории чисел , широко признанная одной из самых сложных математических задач. Она названа в честь математиков Брайана Джона Берча и Питера Суиннертона-Дайера , которые разработали гипотезу в первой половине 1960-х годов с помощью машинных вычислений. Доказаны только частные случаи гипотезы.

Современная формулировка гипотезы связывает арифметические данные, связанные с эллиптической кривой E над числовым полем K , с поведением Хассе – Вейля L -функции L ( E , s ) от E при s = 1. Более конкретно, предполагается, что что ранг абелевой группы E ( K ) точек E равен порядку нуля L ( E , s ) при s = 1. Первый ненулевой коэффициент в Тейлора разложении L ( E , s ) при s = 1 определяется более точными арифметическими данными, связанными с E над K ( Wiles 2006 ).

Эта гипотеза была выбрана в качестве одной из семи задач Премии тысячелетия, перечисленных Математическим институтом Клэя , который предложил премию в 1 000 000 долларов за первое правильное доказательство.

Фон

Морделл (1922) доказал теорему Морделла : группа рациональных точек на эллиптической кривой имеет конечный базис . Это означает, что для любой эллиптической кривой существует конечное подмножество рациональных точек на кривой, из которого могут быть созданы все дальнейшие рациональные точки.

Если число рациональных точек на кривой бесконечно , то некоторая точка конечного базиса должна иметь бесконечный порядок . Число независимых базисных точек бесконечного порядка называется рангом кривой и является важным инвариантным свойством эллиптической кривой.

Если ранг эллиптической кривой равен 0, то кривая имеет лишь конечное число рациональных точек. С другой стороны, если ранг кривой больше 0, то кривая имеет бесконечное число рациональных точек.

Хотя теорема Морделла показывает, что ранг эллиптической кривой всегда конечен, она не дает эффективного метода вычисления ранга каждой кривой. Ранг некоторых эллиптических кривых можно рассчитать с помощью численных методов, но (на современном уровне знаний) неизвестно, обрабатывают ли эти методы все кривые.

L L -функция ( E , s ) может быть определена для эллиптической кривой E путем построения произведения Эйлера из количества точек на кривой по модулю каждого простого числа p . Эта L -функция аналогична дзета-функции Римана и L-ряду Дирихле , определенному для бинарной квадратичной формы . Это частный случай L-функции Хассе – Вейля .

Естественное определение L ( E , s ) сходится только для значений s в комплексной плоскости с Re( s ) > 3/2. Гельмут Хассе предположил, что L ( E , s ) можно расширить путем аналитического продолжения на всю комплексную плоскость. Эта гипотеза была впервые доказана Дойрингом (1941) для эллиптических кривых с комплексным умножением . Впоследствии было показано, что это верно для всех эллиптических кривых над Q как следствие теоремы о модулярности в 2001 году.

Нахождение рациональных точек на общей эллиптической кривой — трудная задача. Найти точки на эллиптической кривой по модулю заданного простого числа p концептуально просто, поскольку существует только конечное число возможностей для проверки. Однако для больших простых чисел это требует больших вычислительных ресурсов.

История

В начале 1960-х годов Питер Суиннертон-Дайер использовал компьютер EDSAC-2 в компьютерной лаборатории Кембриджского университета для расчета количества точек по модулю p (обозначаемого N _p ) для большого количества простых чисел p на эллиптических кривых, ранг которых был известен. На основании этих численных результатов Берч и Суиннертон-Дайер (1965) предположили, что N _p для кривой E ранга r подчиняется асимптотическому закону

$\prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty$

где C — константа.

Первоначально это было основано на несколько слабых тенденциях в графических сюжетах; это вызвало определенный скептицизм у Дж. У. С. Касселса (научного руководителя Берча). Со временем числовые доказательства накопились.

Это, в свою очередь, привело их к выдвижению общей гипотезы о поведении L-функции кривой L ( E , s ) при s она будет иметь нуль порядка r = 1, а именно о том, что в этой точке . Для того времени это была дальновидная гипотеза, учитывая, что аналитическое продолжение L ( E , s ) было установлено только для кривых с комплексным умножением, которые также были основным источником численных примеров. (Обратите внимание, что обратная L-функция с некоторых точек зрения является более естественным объектом исследования; иногда это означает, что следует рассматривать полюсы, а не нули.)

Впоследствии гипотеза была расширена и теперь включает предсказание точного старшего коэффициента Тейлора -функции L при s = 1. Гипотетически она определяется формулой

${\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {tor} })^{2}}}$

где величины в правой части являются инвариантами кривой, изученной Касселсом, Тейтом , Шафаревичем и другими ( Wiles 2006 ):

$\#E_{\mathrm {tor} }$ порядок периодической группы ,

$\#\mathrm {Sha} (E)=$#Ш(E) — порядок группы Тейта–Шафаревича ,

$\Omega _{E}$ - действительный период E, умноженный на количество компонентов связности E ,

$R_{E}$ - регулятор E , который определяется через канонические высоты базиса рациональных точек,

$c_{p}$ - число Тамагавы E делящем простом числе p, проводник N E в . Его можно найти по алгоритму Тейта .

На момент появления гипотезы было мало что известно, даже о четкости левой части (называемой аналитической) или правой части (называемой алгебраической) этого уравнения. Джон Тейт выразил это в 1974 году в известной цитате.

Эта замечательная гипотеза связывает поведение функции $L$ в точке, где в настоящее время неизвестно, что она определена до порядка группы Ш , о конечности которой неизвестно!

По теореме модулярности, доказанной в 2001 году для эллиптических кривых над $\mathbb {Q}$ теперь известно, что левая часть корректно определена, а конечность Ш(Е) известна, если дополнительно аналитический ранг не превосходит 1, т. е. если $L(E,s)$ исчезает не более чем до порядка 1 при $s=1$. Обе части остаются открытыми.

Текущий статус

Сюжет, выделенный синим цветом, $\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}$ для кривой y ² = х ³ − 5 x , поскольку X изменяется в течение первых 100 000 простых чисел. Ось X имеет логарифмический (логарифмический) масштаб - X отрисовывается на расстоянии, пропорциональном $\log(\log(X))$ от 0-, а ось Y находится в логарифмическом масштабе, поэтому гипотеза предсказывает, что данные должны стремиться к линии наклона, равной рангу кривой, который в данном случае равен 1, то есть частное ${\frac {\log \left(\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}\right)}{\log C+r\log(\log X))}}\rightarrow 1$ как $X\rightarrow \infty$, с C , r как в тексте. Для сравнения: линия наклона 1 в (log(log),log)-шкале, то есть с уравнением $\log y=a+\log(\log x)$- на графике нарисовано красным.

Гипотеза Бёрча и Суиннертона-Дайера доказана только в особых случаях:

1. Коутс и Уайлс (1977) доказали, что если E — кривая над числовым полем F с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле K класса номер 1, F = K или Q и L ( E , 1) не равно 0, то E ( F ) конечная группа. это на случай, когда — любое конечное абелева расширение K. F Арто (1978) распространил
2. Гросс и Загер (1986) показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при s = 1, то у нее есть рациональная точка бесконечного порядка; см . теорему Гросса – Загера .
3. Колывагин (1989) показал, что модулярная эллиптическая кривая E , для которой L ( E , 1) не равна нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая E, для которой L ( E , 1) имеет нуль первого порядка при s = 1 . имеет ранг 1.
4. Рубин (1991) показал, что для эллиптических кривых, определенных над мнимым квадратичным полем K с комплексным умножением на K , если L -ряд эллиптической кривой не равен нулю при s = 1, то p -часть группы Тейта–Шафаревича имел порядок, предсказанный гипотезой Бёрча и Суиннертона-Дайера, для всех простых чисел p > 7.
5. Брейль и др. (2001) , расширяя работу Уайлса (1995) , доказали, что все эллиптические кривые, определенные над рациональными числами, являются модулярными , что распространяет результаты № 2 и № 3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что L -функции всех эллиптические кривые над Q определены при s = 1.
6. Бхаргава и Шанкар (2015) доказали, что средний ранг группы Морделла – Вейля эллиптической кривой над Q ограничен сверху 7/6. Объединив это с теоремой о p-четности Нековаржа (2009) и Докчицера и Докчицера (2010), а также с доказательством основной гипотезы теории Ивасавы для GL(2) Скиннером и Урбаном (2014) , они приходят к выводу, что положительная пропорция эллиптических кривых над Q имеют аналитический ранг нуль и, следовательно, согласно Колывагину (1989) , удовлетворяют гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера.

В настоящее время нет доказательств, включающих кривые ранга больше 1.

Существует обширное численное подтверждение истинности этой гипотезы.

Последствия

Как и гипотеза Римана , эта гипотеза имеет множество последствий, включая следующие два:

• Пусть n — нечетное целое число без квадратов . Предполагая гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера, n является площадью прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон ( конгруэнтное число ) тогда и только тогда, когда количество троек целых чисел ( x , y , z ), удовлетворяющих 2 x ² + и ² + 8 з ² = n — удвоенное количество троек, удовлетворяющих 2 x ² + и ² + 32 з ² = п . Это утверждение, обусловленное теоремой Таннелла ( Tunnell 1983 ), связано с тем фактом, что n является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда эллиптическая кривая y ² = х ³ − п ² x имеет рациональную точку бесконечного порядка (таким образом, согласно гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера, ее L -функция имеет нуль в точке 1 ). Интерес этого утверждения состоит в том, что условие легко проверяется.
• В другом направлении некоторые аналитические методы позволяют оценить порядок нуля в центре критической полосы семейств L -функций. Если допустить гипотезу BSD, то эти оценки соответствуют информации о ранге семейств рассматриваемых эллиптических кривых. Например: предположим, что обобщенная гипотеза Римана и гипотеза BSD, средний ранг кривых, заданный y ² = х ³ + ax + b меньше 2 .

Обобщения

Существует версия этой гипотезы для общих абелевых многообразий над числовыми полями. Версия для абелевых многообразий закончилась. $\mathbb {Q}$ следующее:

$\lim _{s\to 1}{\frac {L(A/\mathbb {Q} ,s)}{(s-1)^{r}}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (A)\Omega _{A}R_{A}\prod _{p|N}c_{p}}{\#A(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\cdot \#{\hat {A}}(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}}.$

Все термины имеют тот же смысл, что и для эллиптических кривых, за исключением того, что квадрат порядка кручения необходимо заменить произведением $\#A(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\cdot \#{\hat {A}}(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}$ с участием двойственного абелева многообразия ${\hat {A}}$. Эллиптические кривые как одномерные абелевы многообразия являются сами себе двойственными, т.е. ${\hat {E}}=E$, что упрощает формулировку гипотезы BSD. Регулятор $R_{A}$ необходимо понимать для спаривания между базисом свободных частей $A(\mathbb {Q} )$ и ${\hat {A}}(\mathbb {Q} )$ относительно пуанкаре на произведении $A\times {\hat {A}}$.

Гипотеза Берча-Суиннертона-Дайера о ранге один для модулярных эллиптических кривых и модулярных абелевых многообразий типа GL(2) над полностью действительными числовыми полями была доказана Шоу-Ву Чжаном в 2001 году.

Другое обобщение даёт гипотеза Блоха-Като .

Ссылки

• Арто, Николь (1978). «О гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера для эллиптических кривых с комплексным умножением». Математическая композиция . 37 (2): 209–232. МР   0504632 .
• Bhargava, Манджул ; Шанкар, Арул (2015). «Трнарные кубические формы, имеющие ограниченные инварианты, и существование положительной доли эллиптических кривых, имеющих ранг 0». Анналы математики . 181 (2): 587–621. arXiv : 1007.0052 . дои : 10.4007/анналы.2015.181.2.4 . S2CID   1456959 .
• Берч, Брайан ; Суиннертон-Дайер, Питер (1965). «Заметки об эллиптических кривых (II)». Дж. Рейн Анжью. Математика. 165 (218): 79–108. дои : 10.1515/crll.1965.218.79 . S2CID   122531425 .
• Брей, Кристоф ; Конрад, Брайан ; Даймонд, Фред ; Тейлор, Ричард (2001). «О модульности эллиптических кривых над Q: дикие 3-адические упражнения» . Журнал Американского математического общества . 14 (4): 843–939. дои : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 .
• Коутс, Дж. Х. ; Гринберг, Р.; Рибет, Калифорния ; Рубин, К. (1999). Арифметическая теория эллиптических кривых . Конспект лекций по математике. Том. 1716. Шпрингер-Верлаг . ISBN  3-540-66546-3 .
• Коутс, Дж .; Уайлс, А. (1977). «О гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера». Математические изобретения . 39 (3): 223–251. Бибкод : 1977InMat..39..223C . дои : 10.1007/BF01402975 . S2CID   189832636 . Збл   0359.14009 .
• Дойринг, Макс (1941). «Типы колец множителей эллиптических функциональных полей». Трактаты математического семинара в Гамбургском университете . 14 (1): 197–272. дои : 10.1007/BF02940746 . S2CID   124821516 .
• Докчицер, Тим ; Докчицер, Владимир (2010). «О факторах Берча – Суиннертона-Дайера по модулю квадратов». Анналы математики . 172 (1): 567–596. arXiv : math/0610290 . дои : 10.4007/анналы.2010.172.567 . МР   2680426 . S2CID   9479748 .
• Гросс, Бенедикт Х .; Загер, Дон Б. (1986). «Точки Хегнера и производные L-ряда». Математические изобретения . 84 (2): 225–320. Бибкод : 1986InMat..84..225G . дои : 10.1007/BF01388809 . МР   0833192 . S2CID   125716869 .
• Колывагин, Виктор (1989). «Конечность E ( Q ) и X ( E , Q ) для класса кривых Вейля». Математика. СССР Изв . 32 (3): 523–541. Бибкод : 1989ИзМат..32..523К . дои : 10.1070/im1989v032n03abeh000779 .
• Морделл, Луи (1922). «О рациональных решениях неопределенных уравнений третьей и четвертой степени». Учеб. Кэмб. Фил. Соц. 21 : 179–192.
• Нековарж, Ян (2009). «О равенстве рангов IV групп Зельмера» . Математическая композиция . 145 (6): 1351–1359. дои : 10.1112/S0010437X09003959 .
• Рубин, Карл (1991). «Основные гипотезы» теории Ивасавы для мнимых квадратичных полей». Математические изобретения . 103 (1): 25–68. Бибкод : 1991InMat.103...25R . дои : 10.1007/BF01239508 . S2CID   120179735 . Збл   0737.11030 .
• Скиннер, Кристофер ; Урбан, Эрик (2014). «Основные гипотезы Ивасавы для GL ₂ ». Математические изобретения . 195 (1): 1–277. Бибкод : 2014InMat.195....1S . CiteSeerX   10.1.1.363.2008 . дои : 10.1007/s00222-013-0448-1 . S2CID   120848645 .
• Таннелл, Джеррольд Б. (1983). «Классическая диофантова задача и модулярные формы веса 3/2» (PDF) . Математические изобретения . 72 (2): 323–334. Бибкод : 1983InMat..72..323T . дои : 10.1007/BF01389327 . hdl : 10338.dmlcz/137483 . S2CID   121099824 . Збл   0515.10013 .
• Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма». Анналы математики . Вторая серия. 141 (3): 443–551. дои : 10.2307/2118559 . ISSN   0003-486X . JSTOR   2118559 . МР   1333035 .
• Уайлс, Эндрю (2006). «Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера» (PDF) . В Карлсоне, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии «Миллениум» . Американское математическое общество. стр. 31–44. ISBN  978-0-8218-3679-8 . МР   2238272 . Архивировано из оригинала (PDF) 29 марта 2018 года . Проверено 16 декабря 2013 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Суиннертона-Дайера» . Математический мир .
• «Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера» . ПланетаМатематика .
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера : интервью с профессором Анри Дармоном Агнес Ф. Бодри
• Что такое гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера? лекция Манджула Бхаргавы (сентябрь 2016 г.), прочитанная во время конференции по исследованию глины, проходившей в Оксфордском университете.